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1、电磁场理论基础电磁场理论基础通信工程学院微波教研室通信工程学院微波教研室 丁卫平丁卫平电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科特点：特点：不是从已知的公理或严格的数学定理出发，而不是从已知的公理或严格的数学定理出发，而是在由长期实践中得到的实验定律的基础上，经是在由长期实践中得到的实验定律的基础上，经过理论概括而形成的一门科学。过理论概括而形成的一门科学。电磁场理论的核心内容是麦克斯韦方程组电磁场理论的核心内容是麦克斯韦方程组 （Maxwell EquationsMaxwel
2、l Equations）概概 述述一、课程目的一、课程目的 掌握宏观电磁现象的基本定律和基本性质掌握宏观电磁现象的基本定律和基本性质 深入了解电磁场与电磁波的相关概念深入了解电磁场与电磁波的相关概念 学会运用场的观点分析计算典型的电磁场问题学会运用场的观点分析计算典型的电磁场问题 为专业课程的学习打下坚实基础为专业课程的学习打下坚实基础微波技术微波技术天线技术天线技术电波传播电波传播雷达工程雷达工程电磁兼容电磁兼容光纤通信光纤通信与电磁场理论有关的学科与电磁场理论有关的学科空警空警2000预警机预警机微波技术微波技术天线技术天线技术电波传播电波传播雷达工程雷达工程电磁兼容电磁兼容光纤通信光纤通
3、信与电磁场理论有关的学科与电磁场理论有关的学科隐身飞机隐身飞机微波技术微波技术天线技术天线技术电波传播电波传播雷达工程雷达工程电磁兼容电磁兼容光纤通信光纤通信与电磁场理论有关的学科与电磁场理论有关的学科二、课程内容二、课程内容 1、矢量分析与场论、矢量分析与场论2、静态场（静电场、恒定电流的电场、恒定电、静态场（静电场、恒定电流的电场、恒定电流的磁场、静态场问题的解法。）流的磁场、静态场问题的解法。）3、电磁波（均匀平面波的传播、反射与折射、电磁波（均匀平面波的传播、反射与折射、电磁波的辐射、导行电磁波。）电磁波的辐射、导行电磁波。）三、几点要求三、几点要求 1 1、听（上课认真听）、听（上课
4、认真听）、听（上课认真听）、听（上课认真听）2 2、记（记笔记）、记（记笔记）、记（记笔记）、记（记笔记）3 3、读（精读教材）、读（精读教材）、读（精读教材）、读（精读教材）4 4、做（独立完成作业）、做（独立完成作业）、做（独立完成作业）、做（独立完成作业）电磁场理论内容广泛，概念多而且比较电磁场理论内容广泛，概念多而且比较抽象，对数学基础的要求较高。抽象，对数学基础的要求较高。参考书：参考书：谢处方等谢处方等谢处方等谢处方等 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社吴万春吴万春吴万春吴万春 电磁场理论电磁场理论电磁
5、场理论电磁场理论 电子工业出版社电子工业出版社电子工业出版社电子工业出版社毕德显毕德显毕德显毕德显 电磁场理论电磁场理论电磁场理论电磁场理论 电子工业出版社电子工业出版社电子工业出版社电子工业出版社教材和参考书教材和参考书 教材：教材：王增和等王增和等王增和等王增和等 电磁场与波电磁场与波电磁场与波电磁场与波 机械工业出版社机械工业出版社机械工业出版社机械工业出版社第一章第一章 矢量分析矢量分析 本章内容：本章内容：坐标系的构成、坐标变换坐标系的构成、坐标变换坐坐坐坐标标标标单单单单位位位位矢矢矢矢量量量量的的概概念念和和不不同同坐坐标标系系坐坐标标单单位位矢量之间的关系矢量之间的关系 矢量函
6、数和场的概念矢量函数和场的概念梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度的定义与计算的定义与计算矢量恒等式矢量恒等式矢量恒等式矢量恒等式亥姆霍兹定理的概念和意义亥姆霍兹定理的概念和意义在物理学中所遇到的物理量，一般分为两类：在物理学中所遇到的物理量，一般分为两类：1、标标量量（数数量量）：只只有有大大小小，在在取取定定其其单单位位后后可以用一个数来表示。可以用一个数来表示。2、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方向之别。向之别。标量与矢量标量与矢量 如如果果在在空空间间中中一一个个区区域域内内的的每每一一个个点点都都有有一一物物理
7、理量量的的确确定定值值与与它它对对应应，则则在在这这个个区区域域中中就就构构成成该该物物理量的场。理量的场。教室中的温度场、空气密度场等教室中的温度场、空气密度场等教室中的温度场、空气密度场等教室中的温度场、空气密度场等 根根据据构构成成场场的的物物理理量量不不同同，将将场场分分为为两两大大类类：标标量场和矢量场。量场和矢量场。场场的的概概念念与与函函数数的的概概念念是是一一致致的的，标标量量场场与与标标量量函数、矢量场与矢量函数在一般情况下是通用的。函数、矢量场与矢量函数在一般情况下是通用的。场的概念场的概念1.1 常用坐标系常用坐标系 电磁场理论中用得最多的有三种坐标系：电磁场理论中用得最
8、多的有三种坐标系：直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系 两两两两个个个个曲曲曲曲面面面面相相相相交交交交形形形形成成成成一一一一条条条条交交交交线线线线，三三三三个个个个曲曲曲曲面面面面相相相相交交交交可可可可以以以以得得得得到到到到一一一一个个个个交交交交点点点点。因因因因此此此此，空空空空间间间间一一一一点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标可可可可以以以以用用用用三三三三个个个个参参参参数数数数表表表表示示示示，每每每每个个个个参参参参数数数数确确确确定定定定一一一一个个个个坐坐坐坐标标标标曲曲曲曲面面面面。如如如如果果果果在在在在空空空空间间间间任任任任一一一一点
9、点点点上上上上，三三三三个个个个相相相相交交交交的的的的坐坐坐坐标标标标曲曲曲曲面面面面相相相相互互互互正正正正交交交交（即即即即各各各各曲曲曲曲面面面面在在在在交交交交点点点点上上上上的的的的法法法法线线线线相相相相互互互互垂垂垂垂直直直直），则则则则坐坐坐坐标标标标曲曲曲曲面面面面的的的的三三三三条条条条交交交交线线线线在在在在该该该该点点点点也也也也相相相相互互互互正正正正交交交交（即即即即各各各各交交交交线线线线在在在在该该该该点点点点的的的的切切切切线线线线相相相相互互互互垂垂垂垂直直直直）。这这这这样样样样构构构构成成成成的的的的坐坐坐坐标标标标系系系系称称称称为为为为正正正正交交
10、交交曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。正交曲线坐标系正交曲线坐标系一、三种常用坐标系的构成一、三种常用坐标系的构成坐标系的构成要素：坐标系的构成要素：坐标系的构成要素：坐标系的构成要素：1 1、坐标变量（三个）、坐标变量（三个）、坐标变量（三个）、坐标变量（三个）2 2、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）3 3、坐坐
11、坐坐标标标标曲曲曲曲线线线线（两两两两两两两两坐坐坐坐标标标标曲曲曲曲面面面面的的的的交交交交线线线线，又又又又称称称称为为为为坐坐坐坐标标标标轴）轴）轴）轴）4 4、坐坐坐坐标标标标单单单单位位位位矢矢矢矢量量量量：在在在在空空空空间间间间任任任任一一一一点点点点沿沿沿沿三三三三条条条条坐坐坐坐标标标标曲曲曲曲线线线线的的的的切切切切线线线线方方方方向向向向所所所所取取取取的的的的单单单单位位位位矢矢矢矢量量量量（模模模模为为为为1 1，方方方方向向向向为为为为坐坐坐坐标标标标变变变变量量量量正正正正的的的的增增增增加加加加方方方方向向向向），而而而而且且且且三三三三个个个个坐坐坐坐标标标标
12、单单单单位位位位矢量满足右手螺旋法则。矢量满足右手螺旋法则。矢量满足右手螺旋法则。矢量满足右手螺旋法则。（一）直角坐标系（一）直角坐标系 （二）圆柱坐标系（二）圆柱坐标系 （三）球坐标系（三）球坐标系 二、不同坐标系坐标变量之间的关系二、不同坐标系坐标变量之间的关系（2 2）圆柱坐标）圆柱坐标直角坐标直角坐标1 1、球坐标、球坐标圆柱坐标圆柱坐标直角坐标直角坐标（1 1）球坐标）球坐标圆柱坐标圆柱坐标 （3 3）球坐标）球坐标直角坐标直角坐标 2 2、直角坐标、直角坐标圆柱坐标圆柱坐标球坐标球坐标 （1 1）直角坐标）直角坐标圆柱坐标圆柱坐标（2 2）圆柱坐标）圆柱坐标球坐标球坐标（3 3）直
13、角坐标）直角坐标球坐标球坐标三、不同坐标系坐标单位矢量之间的关系三、不同坐标系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标系与圆柱坐标系坐标单位矢量的关系直角坐标系与圆柱坐标系坐标单位矢量的关系 直角坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系直角坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系 圆柱坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系圆柱坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系 1.2矢量函数矢量函数1、如果给定某矢量沿三个相互垂直的坐标单位矢量、如果给定某矢量沿三个相互垂直的坐标单位矢量方向的三个分量，则该矢量即被确定。方向的三个分量，则该矢量即被确定。直角坐标系中：直角坐标系中：圆柱坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：
14、一、矢量表示法一、矢量表示法 在直角坐标系中，由于矢量在各坐标轴的分量在直角坐标系中，由于矢量在各坐标轴的分量即为矢量在该坐标轴的投影，所以，如果已知矢即为矢量在该坐标轴的投影，所以，如果已知矢量量 的大小和与各坐标轴的夹角的大小和与各坐标轴的夹角、，则则矢量矢量 被确定。被确定。一、矢量表示法一、矢量表示法（续）（续）（续）（续）2、模等于、模等于1的矢量称为单位矢量的矢量称为单位矢量表示与表示与同方向的单位矢量同方向的单位矢量一、矢量表示法一、矢量表示法（续）（续）（续）（续）在直角坐标系中，以坐标原点在直角坐标系中，以坐标原点0为起点，引向空间为起点，引向空间任一点任一点M（x，y，z）
15、的矢量。的矢量。3、矢径、矢径单位矢径：单位矢径：空间任一点对应于一个矢径，反之，每一个矢径对空间任一点对应于一个矢径，反之，每一个矢径对应着空间一点，所以矢径又称为应着空间一点，所以矢径又称为位置矢量位置矢量位置矢量位置矢量。点点M（x，y，z）可以表示为可以表示为一、矢量表示法一、矢量表示法（续）（续）（续）（续）4、距离矢量、距离矢量空间任一矢量空间任一矢量，起点为起点为P（x,y,z），），终点为终点为 Q（x,y,z）。）。距离矢量距离矢量 称为从源点到场点的距离矢量。称为从源点到场点的距离矢量。模模一、矢量表示法一、矢量表示法（续）（续）（续）（续）5、空间任一长度元矢量（线元矢量
16、）、空间任一长度元矢量（线元矢量）在直角坐标系中表示为：在直角坐标系中表示为：模模一、矢量表示法一、矢量表示法（续）（续）（续）（续）二、矢量函数二、矢量函数 （一）矢量函数的定义：对于自变量的每一个数值（一）矢量函数的定义：对于自变量的每一个数值都有变动矢量都有变动矢量 的确定量（大小和方向都确定的一的确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则变动矢量个矢量）和它对应，则变动矢量 称为该自变量的称为该自变量的矢量函数。矢量函数。静电场中，位于坐标原点的点电荷，在其周围静电场中，位于坐标原点的点电荷，在其周围空间产生的电场：空间产生的电场：例如：例如：（二）矢量函数的导数（二）矢量函数的
17、导数 矢量函数求导数的运算法则，与标量函数求导相类似。矢量函数求导数的运算法则，与标量函数求导相类似。1 1、定义：对于矢量函数、定义：对于矢量函数 ，常矢量的导数为常矢量的导数为0 0，变矢量的一阶导数仍然为矢量。，变矢量的一阶导数仍然为矢量。二、矢量函数二、矢量函数（续）（续）（续）（续）2、对于标量函数、对于标量函数与矢量函数与矢量函数的乘积的乘积二、矢量函数二、矢量函数（续）（续）（续）（续）3、对于多变量函数、对于多变量函数和和求偏导数：求偏导数：4、对于矢量函数、对于矢量函数二、矢量函数二、矢量函数（续）（续）（续）（续）5、在圆柱坐标系和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量、在圆柱坐
18、标系和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随意将坐不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随意将坐标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢量是坐标标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢量是坐标变量的函数）。变量的函数）。6、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间变化，、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间变化，矢量函数对时间矢量函数对时间t求偏导数时，可以将它们作为常矢量求偏导数时，可以将它们作为常矢量提到偏微分符号之外。提到偏微分符号之外。例如，在球坐标系中：例如，在球坐标系中：二、矢量函数二、矢量函数（续）（续）（续）（续）（三）矢量函数的积分（三）矢量
19、函数的积分积积分分和和微微分分互互为为逆逆运运算算。一一般般标标量量函函数数积积分分的的运运算算法法则则对矢量函数同样适用。对矢量函数同样适用。在圆柱坐标系和球坐标系中，对矢量函数求积分时，仍在圆柱坐标系和球坐标系中，对矢量函数求积分时，仍需注意：有些坐标单位矢量不是常矢量，不能随意将坐需注意：有些坐标单位矢量不是常矢量，不能随意将坐标单位矢量提到积分运算符号之外。在一般情况下，坐标单位矢量提到积分运算符号之外。在一般情况下，坐标单位矢量可能是积分变量的函数。标单位矢量可能是积分变量的函数。二、矢量函数二、矢量函数（续）（续）（续）（续）例例题题设设，求积分：求积分：1.3标量函数的梯度标量函
20、数的梯度gradient对于一个标量函数对于一个标量函数，令：，令：（C为任意常数）为任意常数）称为该标量函数的等值面方程。称为该标量函数的等值面方程。对于二维标量函数对于二维标量函数 ，则，则 称为该标量函数的等值线方程。称为该标量函数的等值线方程。一、标量场的等值面和等值线一、标量场的等值面和等值线 根据标量场的定义，空间每一点上只对应于一根据标量场的定义，空间每一点上只对应于一个场函数的确定值。因此，充满整个标量场所个场函数的确定值。因此，充满整个标量场所在空间的许许多多等值面或等值线互不相交。在空间的许许多多等值面或等值线互不相交。或者说，场中的一个点只能在一个等值面或等或者说，场中的
21、一个点只能在一个等值面或等值线上。值线上。一、标量场的等值面和等值线一、标量场的等值面和等值线（续）（续）（续）（续）二、方向导数二、方向导数 1、定定义义：函函数数在在给给定定点点M0上上沿沿某某一一方方向向对距离的变化率。对距离的变化率。（函数在（函数在M0点沿点沿方向的方向导数）方向的方向导数）2、计算公式、计算公式二、方向导数二、方向导数（续）（续）（续）（续）三、梯度三、梯度gradient（一）梯度的定义：（一）梯度的定义：给出三个表达式：给出三个表达式：方向导数：方向导数：方向单位矢量：方向单位矢量：定义：定义：在直角坐标系中：在直角坐标系中：三、梯度三、梯度（续）（续）（续）（
22、续）引入引入Hamilton算子：算子：三、梯度三、梯度（续）（续）（续）（续）（二）梯度的性质（二）梯度的性质1、一个标量函数的梯度为一个矢量函数。、一个标量函数的梯度为一个矢量函数。2、函函数数u在在给给定定点点沿沿方方向向的的方方向向导导数数等等于于u的的梯梯度度在在方向上的投影。方向上的投影。3、标量场中任一点的梯度的方向为过该点等值面的、标量场中任一点的梯度的方向为过该点等值面的法线方向。法线方向。4、梯度的线积分与积分路径无关。、梯度的线积分与积分路径无关。三、梯度三、梯度（续）（续）（续）（续）（三）梯度的基本运算公式（三）梯度的基本运算公式三、梯度三、梯度（续）（续）（续）（续
23、）例例1：求一个二维标量场：求一个二维标量场的等值线方程和梯度。的等值线方程和梯度。例例2：求函数：求函数在点在点沿方向沿方向的方向导数。的方向导数。例例题题1.4矢量函数的散度矢量函数的散度一、矢量场的矢量线（力线）一、矢量场的矢量线（力线）1、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度由附近矢量线的密度来确定。由附近矢量线的密度来确定。2、矢量线方程：、矢量线方程：二、矢量场的通量二、矢量场的通量 1、定义：矢量、定义：矢量在场中某一曲面在场中某一曲面S上的面
24、积分，称为该上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。矢量场通过此曲面的通量。2、通量的特性：、通量的特性：通量的正负与面积元法线矢量方向的选取有关。通量的正负与面积元法线矢量方向的选取有关。通通量量可可以以定定性性地地认认为为是是穿穿过过曲曲面面S的的矢矢量量线线总总数数（定定性性概概念念）。所所以以可可以以称称为为通通量量面面密密度度矢矢量量，它它的的模模F等等于于在在某某点点与与垂垂直直的的单单位位面面积积上上穿穿过过的的矢矢量量线的数目。线的数目。通过面积元通过面积元的通量元的通量元一般规定：凹面指向凸面为一般规定：凹面指向凸面为的正方向。的正方向。二、矢量场的通量二、矢量场的通量（续
25、）（续）（续）（续）对于闭合曲面，一般规定面积元的单位法线矢量对于闭合曲面，一般规定面积元的单位法线矢量由面内指向面外。由面内指向面外。通量可以迭加通量可以迭加则通过则通过S面的矢量场面的矢量场的通量为：的通量为：如果一闭合曲面如果一闭合曲面S上任一点的矢量场为上任一点的矢量场为如果曲面如果曲面S为闭合曲面，则通过为闭合曲面，则通过S的总通量为：的总通量为：二、矢量场的通量二、矢量场的通量（续）（续）（续）（续）三、散度三、散度divergence1、定定义义：设设有有矢矢量量场场，在在场场中中任任一一点点M作作一一包包围围该该点点的的任任意意闭闭合合面面S，并并使使S所所限限定定的的体体积积
26、以以任任意意方方式式趋趋于于0。如如果果极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为矢矢量场量场在在M点的散度。点的散度。散度的定义与坐标系的选取无关散度的定义与坐标系的选取无关在任一点在任一点M上：上：若若，则该点有发出通量线的正源；，则该点有发出通量线的正源；若若，则该点有吸收通量线的负源；，则该点有吸收通量线的负源；若若，则该点无源。，则该点无源。若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0，则称该区域内的矢量场为无源场。，则称该区域内的矢量场为无源场。三、散度三、散度divergence（续）（续）（续）（续）2、散度在直角坐标系中的表示式、
27、散度在直角坐标系中的表示式对于一个矢量对于一个矢量三、散度三、散度divergence（续）（续）（续）（续）3、散度的基本公式、散度的基本公式三、散度三、散度divergence（续）（续）（续）（续）四、高斯散度定理四、高斯散度定理 任何一个矢量任何一个矢量穿出任意闭合曲面穿出任意闭合曲面S的通量，总可的通量，总可以表示为以表示为的散度在该面所围体积的散度在该面所围体积的积分。的积分。1.位置矢量（矢径）位置矢量（矢径）是一个矢量场，计算穿过一个是一个矢量场，计算穿过一个球心在坐标原点，半径为球心在坐标原点，半径为a 的球面的的球面的的通量；计的通量；计算算。2.已知已知，以每边为单位长度
28、的立方体，以每边为单位长度的立方体为例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐标系为例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐标系的第一卦限内，其中一个顶点在坐标原点上。的第一卦限内，其中一个顶点在坐标原点上。例例 题题 1.5矢量函数的旋度矢量函数的旋度环量的定义：矢量环量的定义：矢量，沿某一闭合曲线（闭合，沿某一闭合曲线（闭合路径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的路径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。环量。一、矢量的环量一、矢量的环量 如果某一矢量场的环量不等于如果某一矢量场的环量不等于0，则场中必有，则场中必有产生这种场的旋涡源。产生这种场的旋涡源。如果在一个矢量场中沿任何闭合路径的环
29、量恒如果在一个矢量场中沿任何闭合路径的环量恒等于等于0，则在这个场中不可能有旋涡源，这种，则在这个场中不可能有旋涡源，这种类型的场称为保守场或无旋场。类型的场称为保守场或无旋场。一、矢量的环量一、矢量的环量 二、矢量的旋度二、矢量的旋度 1 1、旋度的定义：、旋度的定义：矢量旋度的定义式：矢量旋度的定义式：2、旋度在直角坐标系中的表示式、旋度在直角坐标系中的表示式对于对于二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续）（续）（续）（续）3、旋度与散度的区别、旋度与散度的区别矢量场的旋度为矢量函数；矢量场的旋度为矢量函数；矢量场的散度为标量函数。矢量场的散度为标量函数。旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的变
30、化规律；旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的变化规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。旋度表示场中各点的场与旋涡源的关系。如果在矢量场所旋度表示场中各点的场与旋涡源的关系。如果在矢量场所 存在的全部空间内，场的旋度处处为存在的全部空间内，场的旋度处处为0 0，则这种场不可能有，则这种场不可能有旋涡源，因而称它为无旋场或保守场；旋涡源，因而称它为无旋场或保守场；散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间内，场的散度处处为存在的全部空间内，场的散度处处为0 0，则这种场
31、不可能，则这种场不可能有通量源，因而称它为管形场（无头无尾）或无源场。有通量源，因而称它为管形场（无头无尾）或无源场。二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续）（续）（续）（续）4、旋度的基本运算公式、旋度的基本运算公式二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续）（续）（续）（续）三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 矢量矢量的旋度的旋度在任意曲面在任意曲面S上的通量，等于上的通量，等于沿沿该曲面周界该曲面周界的环量的环量几种重要的场：几种重要的场：保守场（无旋场，位场）保守场（无旋场，位场）定义：定义：，则，则称为无旋场。称为无旋场。无源场（管形场）无源场（管形场）定义：定义：，则，则称为无源场。称为无源场。调和
32、场调和场定义：定义：，则，则称为调和场。称为调和场。1、矢量场、矢量场，求，求沿闭合曲线沿闭合曲线的环量，并的环量，并验证斯托克斯定理。验证斯托克斯定理。的参量方程是：的参量方程是：，为一条星形线。，为一条星形线。2、求位置矢量、求位置矢量沿折线沿折线的环量。其中的环量。其中由由、组成。组成。例例 题题 1.6矢量恒等式矢量恒等式一、一、哈密顿一阶微分算子及恒等式哈密顿一阶微分算子及恒等式 在直角坐标系中，哈密顿算子的表示式为：在直角坐标系中，哈密顿算子的表示式为：矢性微分算子矢性微分算子 1.2.二、哈密顿二阶微分算子及恒等式二、哈密顿二阶微分算子及恒等式 1证明：证明：标量函数梯度的旋度恒
33、等于标量函数梯度的旋度恒等于0 0；如如果果一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度等等于于0 0，则则这这个个矢矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。如果如果，则，则 结论：结论：2证明：证明：矢量函数旋度的散度恒等于矢量函数旋度的散度恒等于0如如果果一一个个矢矢量量函函数数的的散散度度等等于于0，则则这这个个矢矢量量函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。如果如果，则，则 结论：结论：3证明：证明：称为拉普拉斯算子，当称为拉普拉斯算子，当作用在标量函数上时，作用在标量函数上时，称为标性拉普拉斯算子；当称为标性拉普拉
34、斯算子；当作用在矢量函数上时，作用在矢量函数上时，称为矢性拉普拉斯算子。两者是本质上不同的两种称为矢性拉普拉斯算子。两者是本质上不同的两种二阶微分算子。二阶微分算子。4为矢量场的拉普拉辛运算为矢量场的拉普拉辛运算证明：证明：上式右边第一项展开是：上式右边第一项展开是：同理，第二项和第三项分别为：同理，第二项和第三项分别为：六个常用矢量恒等式六个常用矢量恒等式 1.7亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理Helmholtz 定理：在空间有限区域定理：在空间有限区域内的任一矢量场内的任一矢量场，由它的，由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定。散度、旋度和边界条件唯一地确定。边界条件指限定体积边界条件指限定体积的闭
35、合面的闭合面S上的矢量场分布。上的矢量场分布。对于无界区域，假定矢量场的散度和旋度在无穷远处对于无界区域，假定矢量场的散度和旋度在无穷远处均为均为0。矢量场可以表示成两部分之和：矢量场可以表示成两部分之和：（无旋场（无旋场+无源场）无源场）和和满足：满足：证明：如果仅仅已知一个矢量场的旋度，不能证明：如果仅仅已知一个矢量场的旋度，不能唯一地确定这个矢量场。唯一地确定这个矢量场。例例3：例例题题例例1：已知矢量函数：已知矢量函数（1）如果）如果是无旋的，确定常数是无旋的，确定常数c1、c2和和c3（2）确定其负梯度等于）确定其负梯度等于的标量函数的标量函数证明：如果仅仅已知一个矢量场的散度，不能证明：如果仅仅已知一个矢量场的散度，不能唯一地确定这个矢量场。唯一地确定这个矢量场。例例2：