电磁场与电磁波理论第1章.ppt

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1、电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1-1第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论I1.1 矢量的代数运算矢量的代数运算I1.2 场的微分运算场的微分运算I1.3 矢量的恒等式和基本定理矢量的恒等式和基本定理I1.4 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系I三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系I物理量的分类物理量的分类I 主要内容主要内容I 基本要求基本要求电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1-2主要内容主要内容 电磁理论的一个重要的概念就

2、是关于场的概念。此电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念。此外，外，有很多物理量都是矢量有很多物理量都是矢量，一些用来描述电磁现象基一些用来描述电磁现象基本规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程。本规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程。因此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。因此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。本章仅讨论在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的本章仅讨论在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容，包括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散基本内容，包括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定度、旋度和拉

3、普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这三种坐标系中的表示式。旋度等算子在这三种坐标系中的表示式。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1-3基本要求基本要求掌握矢量和场的基本概念；掌握矢量和场的基本概念；掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度以及拉普拉斯运算；以及拉普拉斯运算；了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。电磁场与电

4、磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1-4I直角坐标系直角坐标系I圆柱坐标系圆柱坐标系 I球面坐标系球面坐标系I几点说明几点说明三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-5直角坐标系直角坐标系第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论直角坐标系的坐标直角坐标系的坐标直角坐标系的方向矢量直角坐标系的方向矢量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-6圆柱坐标系圆柱坐标系第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论圆柱坐标系的坐标圆

5、柱坐标系的坐标圆柱坐标系的方向矢量圆柱坐标系的方向矢量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-7球面坐标系球面坐标系第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论球面坐标系的坐标球面坐标系的坐标球面坐标系的方向矢量球面坐标系的方向矢量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-8几点说明：几点说明：广义坐标系广义坐标系 （方向单位矢量）（方向单位矢量）广义柱坐标系广义柱坐标系 （方向单位矢量）（方向单位矢量）不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。线积分线积分 或或 、面积分、面积分 或或 和体积

6、分和体积分 。不随位置坐标而改变。不随位置坐标而改变。随着位置坐标的改变而改变。随着位置坐标的改变而改变。三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）。量的转换）。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-9第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论物理量的分类物理量的分类物理量物理量与位置无关的量与位置无关的量 与位置有关的量与位置有关的量（场场量）量）时间时间、长长度、度、重量重量 标标量量场场（只有大小）（只有大小）矢量矢量场场（大小（大小+方向）方向

7、）温度、湿度、温度、湿度、电电位位 速度、速度、电场电场、磁磁场场 标量场标量场矢量场矢量场电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-101.1 矢量的代数运算矢量的代数运算第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论I1.1.1 矢量与矢量的表示法矢量与矢量的表示法I1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-111.1.1 矢量与矢量的表示法矢量与矢量的表示法 I1.矢量与单位矢量矢量与单位矢量I2.矢量表示法矢量表示法I3.位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量第第1章章 矢量分析与场论矢

8、量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-121.矢量与单位矢量矢量与单位矢量（1.1.1）单位矢量单位矢量模等于模等于1的矢量叫做单位矢量。的矢量叫做单位矢量。（1.1.2）矢量矢量在三维空间中的一根有方向的线段。在三维空间中的一根有方向的线段。该线段的长度该线段的长度 代表该矢量的模，代表该矢量的模，该线段的方向该线段的方向 代表该矢量的方向代表该矢量的方向第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论矢量的大小矢量的大小矢量的方向的单位矢量矢量的方向的单位矢量 矢量矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影电磁场与

9、电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-13在直角坐标系中矢量的表示在直角坐标系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.矢量表示法矢量表示法电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-14矢量的方向余弦矢量的方向余弦矢量的方向的单位矢量矢量的方向的单位矢量第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 矢量与三个坐标轴之间的夹角。矢量与三个坐标轴之间的夹角。（1.1.5）一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来表示矢量的方向，只有需要时，

10、才需要用到矢量与坐标轴表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴的夹角。的夹角。2.矢量表示法矢量表示法电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-15例如：在直角坐标系中有一个矢量例如：在直角坐标系中有一个矢量矢量的大小矢量的大小矢量的方向矢量的方向与三个坐标轴的夹角与三个坐标轴的夹角第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-16 场点场点 源点源点 场点矢径（位置矢量）场点矢径（位置矢量）源点矢径（位置矢量）源点矢径（位置矢量）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论3.位置矢

11、量与距离矢量位置矢量与距离矢量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-17位置矢量位置矢量由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。段，称为该点的位置矢量或矢径。场点场点源点源点第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论3.位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-18距离矢量距离矢量由由源点源点出发引向出发引向场点场点的矢量称为距离矢量的矢量称为距离矢量。距离距离距离的方向矢量距离的方向矢量（1.1.13）第第1章章 矢量分析

12、与场论矢量分析与场论3.位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量（1.1.15）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-191.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论I矢量与矢量相等矢量与矢量相等I1.矢量与标量的乘积矢量与标量的乘积I2.矢量加法和减法矢量加法和减法I3.矢量的标量积和矢量积矢量的标量积和矢量积I直角坐标系中矢量的代数运算直角坐标系中矢量的代数运算电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-20矢量与矢量相等矢量与矢量相等一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。一个矢量经

13、平移后所得到的新矢量与原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-21第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1.矢量与标量的乘积矢量与标量的乘积（1.1.18）（1.1.19）负矢量负矢量与原矢量大小相等，方向相反的矢量。与原矢量大小相等，方向相反的矢量。已给矢量已给矢量 与标量与标量 ，若矢量，若矢量 的各分量分别等于的各分量分别等于矢量矢量 的相应分量与标量的相应分量与标量 的乘积，则矢量的乘积，则矢量 称

14、为称为矢量矢量 与标量与标量 的乘积，记为的乘积，记为 或或 。在直角坐标系下在直角坐标系下电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-22（1.1.20）（1.1.21）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.矢量加法和减法矢量加法和减法电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-23矢量加法满足交换律和结合律矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。，矢量减法不满足交换律。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.矢量加法和减法矢量加法和减法电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论

15、1-24直角坐标系中矢量加法和减法直角坐标系中矢量加法和减法只有矢量和矢量之间才能进行相加减。只有矢量和矢量之间才能进行相加减。（1.1.24）（1.1.25）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.矢量加法和减法矢量加法和减法电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-25I矢量的标量积矢量的标量积I矢量的矢量积矢量的矢量积I“右手法则右手法则”和和“右手螺旋法则右手螺旋法则”I标量积和矢量积的特点标量积和矢量积的特点I标量积和矢量积在直角坐标系中的计算标量积和矢量积在直角坐标系中的计算第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论3.矢量的标量积和矢量积矢量的

16、标量积和矢量积电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-26矢量的标量积矢量的标量积（the dot product）两两个个矢矢量量的的标标量量积积（点点积积）定定义义为为这这两两个个矢矢量量的的模模以以及及这这两个两个矢量矢量 之间夹角的余弦三者的乘积之间夹角的余弦三者的乘积。（1.1.26）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-27标量积满足交换律和分配律标量积满足交换律和分配律。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论矢量的标量积矢量的标量积电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理

17、论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-28矢量的矢量积矢量的矢量积（the cross product）两两个个矢矢量量的的矢矢量量积积（叉叉积积）的的模模等等于于这这两两个个矢矢量量的的模模以以及及这这两两个个矢矢量量之之间间夹夹角角的的正正弦弦三三者者的的乘乘积积，而而方方向向垂垂直直于两矢量所构成的平面，其指向按于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则右手法则”来确定来确定。（1.1.29）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-29矢量积只满足分配律矢量积只满足分配律，不满足交换律。，不满足交换律。第第1章

18、章 矢量分析与场论矢量分析与场论矢量的矢量积矢量的矢量积电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-30第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论“右手法则右手法则”和和“右手螺旋法则右手螺旋法则”电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-31第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论标量积和矢量积的特点标量积和矢量积的特点若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为9090o o，则它们的标量，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若

19、两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-32标量积和矢量积在直角坐标系中的计算标量积和矢量积在直角坐标系中的计算（1.1.33）（1.1.35）第第1章章 矢量分析与

20、场论矢量分析与场论标量积和矢量积在直角坐标系中的计算可以利用分配率标量积和矢量积在直角坐标系中的计算可以利用分配率以及单位矢量的关系直接计算以及单位矢量的关系直接计算电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-331.2 场的微分运算场的微分运算I1.2.1 场的基本概念场的基本概念I1.2.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度I1.2.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度I1.2.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-341.2

21、.1 场的基本概念场的基本概念第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。在该空间中定义了这个物理量的场或函数。若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。例如，

22、某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分例如，某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等等。布等等。若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常数；若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常数；若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量为若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量为常矢。常矢。若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波

23、理论电磁场与电磁波理论1-35标量场的等值面标量场的等值面函数均取相同值的曲面。例如，静电函数均取相同值的曲面。例如，静电场中的等位面。场中的等位面。在三维空间中，每一点对应着也仅对在三维空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。有的等值面均互不相交。但是对于同一个常数值但是对于同一个常数值，可以有多，可以有多个互不相交的等值面。个互不相交的等值面。如果是在二维空间，函数均取相同值如果是在二维空间，函数均取相同值的点构

24、成就是一条条的等值线，例如的点构成就是一条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。山体的等高线就是一种常用的等值线。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1.2.1 场的基本概念场的基本概念电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-36矢量场的矢量线（通量线）矢量场的矢量线（通量线）一系列有方向曲线。线上一系列有方向曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。中的磁力线。一

25、般来说，矢量场中的每一点均有一般来说，矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线是充一条矢量线通过，所以矢量线是充满了整个矢量场所在的空间。满了整个矢量场所在的空间。矢量线可以汇聚于某一点，但是不矢量线可以汇聚于某一点，但是不能相互交叉。能相互交叉。矢量场的矢量线所满足的微分方程矢量场的矢量线所满足的微分方程通常画的是矢量线的示意图通常画的是矢量线的示意图第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1.2.1 场的基本概念场的基本概念电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-371.2.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度第第1章章 矢量分析与场论

26、矢量分析与场论I1.标量场的方向导数标量场的方向导数I2.标量场的梯度标量场的梯度I3.梯度的基本公式梯度的基本公式I例例1.2.1 电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-38第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1.标量场的方向导数标量场的方向导数（1.2.1）其中其中方向导数方向导数空间某一空间某一点点的的标量场沿标量场沿某一某一方向的变化率定方向的变化率定义为该标量场在义为该标量场在该该点沿点沿该该方向的方向导数，方向的方向导数，即即电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-39 根据求导法则，方向导数可以表示成根

27、据求导法则，方向导数可以表示成（1.2.2）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论方向余弦方向余弦该方向上的单位矢量该方向上的单位矢量（1.2.3）1.标量场的方向导数标量场的方向导数电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-40 对比两个矢量的标量积对比两个矢量的标量积（1.1.36）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论方向导数的另一种表示形式方向导数的另一种表示形式1.标量场的方向导数标量场的方向导数标量函数标量函数 在空间给定点沿在空间给定点沿 方向的方向导数等方向的方向导数等于该点的梯度矢量于该点的梯度矢量 在该方向上的投影在该方向上的投影。电磁

28、场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-412.标量场的梯度标量场的梯度（gradientgradient）（1.2.5）（1.2.6）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论标量场标量场 的梯度的梯度 大小等于标量函数大小等于标量函数在该点的最大方向在该点的最大方向的的导数值，方向指向使函数值增加最快的导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。方向。梯度的表示梯度的表示哈密顿（哈密顿（Hamilton）算子）算子 （读作（读作del）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-42直角坐标系中直角坐标系中的哈密顿算子的哈密顿算子（

29、1.2.7）直角坐标系中直角坐标系中的梯度表示式的梯度表示式（1.2.8）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.标量场的梯度标量场的梯度算子算子 具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分算子。算子。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-433.梯度的基本公式梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13）其中，其中，为常数；为常数；，为标量函数。为标量函数。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论例例1.2.1 试证明：（试证明：（1）；（；（2）。式中，式中

30、，和和 分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-44证明：（证明：（1）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-45（2）依梯度的基本公式）依梯度的基本公式第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-461.2.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度I1.矢量场的通量矢量场的通量 (flux)I2.矢量场的散度矢量场的散度(di

31、vergence)I3.直角坐标系中的散度表示式直角坐标系中的散度表示式I4.散度的基本公式散度的基本公式I例例1.2.2 第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-471.矢量场的通量矢量场的通量 (flux)（1.2.16）（1.2.17）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论通量线通量线或矢量线或矢量线 一系列有方向的曲线，该线上每一一系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。代表该点矢量场的大小。通量通量

32、 矢量场穿过曲面矢量场穿过曲面 的通量线的总数，它可表的通量线的总数，它可表示为矢量沿该曲面示为矢量沿该曲面 的面积分。的面积分。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-48几点说明几点说明开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元矢量的方向选取有关。积元矢量的方向选取有关。闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法线方向。线方向。通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量又

33、称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。量密度。发出通量线的点称为发出通量线的点称为“源源”，吸收通量线的点称为，吸收通量线的点称为“沟沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源源”，负电荷，负电荷是吸收电力线的是吸收电力线的“沟沟”。穿过整个闭合曲面的总通量等于穿过整个闭合曲面的总通量等于“源源”发出的通量线减去发出的通量线减去“沟沟”吸收的通量线。吸收的通量线。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论1.矢量场的通量矢量场的通量 (flux)电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理

34、论电磁场与电磁波理论1-492.矢量场的散度矢量场的散度(divergence)（1.2.18）一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通量源密度。量源密度。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。矢量场的散度矢量场的散度 矢量穿过闭合曲面的通量与矢量穿

35、过闭合曲面的通量与 该该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。闭合曲面所包围的小体积之比的极限。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-50三种典型的散度值三种典型的散度值对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.矢量场的散度矢量场的散度(divergence)电磁场与

36、电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-513.直角坐标系中直角坐标系中的散度表示式的散度表示式（1.2.22）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-524.散度的基本公式散度的基本公式（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。其中，其中，为常矢；为常矢；为常数；为常数；

37、为标量函数，为标量函数，为矢量函数。为矢量函数。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论例例1.2.2 设设 表示空间两点表示空间两点 与与 之间之间距离，试求距离，试求 。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-53解：解：第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-54值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离 不等于零。否则，函数不等于零。否则，函数 将出现奇异点。在第将出现奇异点。在第3章讨论章讨论 镜像法时（镜像法时（3.7节）

38、将会证明：节）将会证明：（1.2.27）（1.2.28）但是但是但是但是即即即即第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-551.2.4.矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度I1.矢量场的环量矢量场的环量（circulation）I2.矢量场的旋度矢量场的旋度（rotation或或curl）I3.直角坐标系中的旋度表示式直角坐标系中的旋度表示式I4.旋度的基本公式旋度的基本公式I例例1.2.3 第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论环量环量 矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。电磁场与电

39、磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-561.矢量场的环量矢量场的环量（circulation）（1.2.29）矢量场的环量是一个标量，矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。积分的环绕方向。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-57旋度在某一方向上的投影旋度在某一方向上的投影矢量场的旋度矢量场的旋度 或或 大小等于该点最大的环量密大小等于该点最大

40、的环量密度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向。度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向。2.矢量场的旋度矢量场的旋度（rotation或或curl）（1.2.30）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论环量密度环量密度矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限，其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。限，其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-58第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论不同闭合路径位置情况下的环量不同闭合路径位置情况下的环量2.矢量场的旋度矢量场的

41、旋度（rotation或或curl）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-593.直角坐标系中直角坐标系中的旋度表示式的旋度表示式 第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-60（1.2.34）（1.2.35）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论3.直角坐标系中直角坐标系中的旋度表示式的旋度表示式 电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-614.旋度的基本公式旋度的基本公式值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们值得注意的是：这些基

42、本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）其中，其中，为常矢；为常矢；为常数；为常数；为标量函数，为标量函数，为矢量函数。为矢量函数。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论例例1.2.3 试证明：试证明：。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-62证明：证明：第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-631.2.5 梯度、散度、旋度的

43、比较梯度、散度、旋度的比较第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论I表表1.2.1 梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、旋度的比较I梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度的特点的特点I矢量场的矢量场的“源源”I有源场和无源场有源场和无源场 电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-64表表1.2.1 梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、旋度的比较第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-65一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位

44、的最大变化率及其方向；量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系；矢量与旋涡源之间的关系；只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。可能定义梯度、

45、散度和旋度。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论梯度、散度、旋度的特点梯度、散度、旋度的特点电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-66矢量场的矢量场的“源源”有两种，建立散度的通量源和有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。建立旋度的旋涡源。若要使一个矢量场是非零场，则必须存在产生若要使一个矢量场是非零场，则必须存在产生这种场的一种源。这种场的一种源。一个非零的矢量场不可能既是无源场（通量源）一个非零的矢量场不可能既是无源场（通量源）又是无旋场（旋涡源）。又是无旋场（旋涡源）。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论矢量场的矢量场的“源源”电磁场与

46、电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-67若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，则若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，则该矢量场称为无源场（例如：恒定磁场）。该矢量场称为无源场（例如：恒定磁场）。若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，则若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，则该矢量场称为无旋场（例如：静电场）。该矢量场称为无旋场（例如：静电场）。存在通量源的矢量场称有源场。在源区，该矢量场的存在通量源的矢量场称有源场。在源区，该矢量场的散度不为零；而在非源区，该矢量场的散度仍然可以散度不为零；而在非源区，该矢量场的散度仍然可以为零。为零。

47、存在旋涡源的矢量场称为有旋场，但这个场的旋度仅存在旋涡源的矢量场称为有旋场，但这个场的旋度仅在存在旋涡源的空间点上不为零，在其它的点上仍然在存在旋涡源的空间点上不为零，在其它的点上仍然可以为零。可以为零。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论有源场和无源场有源场和无源场 电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-681.3 矢量的恒等式和基本定理矢量的恒等式和基本定理大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可以通大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可以通过直接计算加以证明。为了简单起见，可以过直接计算加以证明。为了简单起见，可以在直角坐标系中证明。对于其它的正交坐标在直

48、角坐标系中证明。对于其它的正交坐标系，也都是成立的。系，也都是成立的。I1.3.1 三个重要的恒等式三个重要的恒等式I1.3.2 矢量场的基本定理矢量场的基本定理第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-691.3.1 三个重要的恒等式三个重要的恒等式第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论I1.三个重要的恒等式三个重要的恒等式I2.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子I3.恒等式的恒等式的意义意义电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-701.三个重要的恒等式三个重要的恒等

49、式（1.3.1）（1.3.2）（1.3.3）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论（1.3.9）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-71拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐标系中的拉普拉斯算子直角坐标系中的拉普拉斯算子直角坐标系中标量场的拉普拉斯运算直角坐标系中标量场的拉普拉斯运算（1.3.4）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.2.拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）算子算子电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-72直角坐标系中矢量场的拉普拉斯运算直角坐标系中矢量场的拉普拉斯运算 其中其中对于其他坐标系对于其他坐

50、标系（1.3.9）第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论2.2.拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）算子算子电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论1-73恒等式恒等式 的意义的意义任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。任何一个梯度场（可以表示成某一标量函数的梯度的矢量任何一个梯度场（可以表示成某一标量函数的梯度的矢量场）必然为无旋场，而任何一个无旋场（旋度为零的矢量场）必然为无旋场，而任何一个无旋场（旋度为零的矢量场）也必为有位场。例如静电场。场）也必为有位场。例如静电场。第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论3.恒等式