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1、第十章第十章 具有耦合电感电路具有耦合电感电路 10.1 互感互感 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算 10.3 空心变压器空心变压器 10.4 理想变压器理想变压器章节内容章节内容10-1 互感互感一、一、互感和互感电压互感和互感电压+u11+u21i1 11 21N1N2当当 线线 圈圈 1中中 通通 入入 电电 流流 i1时时，在在 线线 圈圈 1中中 产产 生生 磁磁 通通(magnetic flux)，同同时时，有有部部分分磁磁通通穿穿过过临临近近线线圈圈2。当当i1为为时时变变电电流流时时，磁磁通通也也将将随随时时间间变变化化，从从而而在在线线圈圈两两端端产产生
2、感应电压。生感应电压。u11称为自感电压，称为自感电压，u21称为互感电压。称为互感电压。+u11+u21i1 11 21N1N2当当i1、u11、u21方方向向与与 符符合合右右手手螺螺旋旋时时，根根据据电电磁磁感应定律和楞次定律：感应定律和楞次定律：磁链：磁链(magnetic linkage)，=N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时，11、22与与i1成正比。成正比。+u11+u21i1 11 21N1N2+u12+u22i2 12 22N1N2可以证明可以证明：M12=M21=M。同同理理，当当线线圈圈2中中通通电电流流i2时时会会产产生生磁磁通通 2
3、2，12。i2为为时时变时，线圈变时，线圈2和线圈和线圈1两端分别产生感应电压两端分别产生感应电压u22，u12。当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：包含自感电压和互感电压：在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 互感的性质互感的性质从能量角度可以证明，对于线性电感从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M互感系数互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数只与两个线圈的几何尺寸、匝数、相互位置相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有和周围的介质磁导率有关，如
4、其他条件不变时，有M N1N2 （L N2）耦合系数耦合系数(coupling coefficient)k：k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合全耦合:s1=s2=0即即 11=21，22=12可以证明，可以证明，k 1。二、互感线圈的二、互感线圈的同名端同名端具具有有互互感感的的线线圈圈两两端端的的电电压压包包含含自自感感电电压压和和互互感感电电压压。表表达达式式的的符符号号与与参参考考方方向向和和线线圈圈绕绕向向有有关关。对对自自感感电电压压，当当u u,i i 取取关关联联参参考考方方向向，u u、i i与与 符符合合右右螺螺旋旋定则，其表达式为定则，其
5、表达式为 上上式式说说明明，对对于于自自感感电电压压由由于于电电压压电电流流为为同同一一线线圈圈上上的的，只只要要参参考考方方向向确确定定了了，其其数数学学描描述述便便可可容容易易地地写写出出，可不用考虑线圈绕向。可不用考虑线圈绕向。对对线线性性电电感感，用用 u,i 描描述述其其特特性性，当当 u,i 取取关关联联方方向向时，符号为正；当时，符号为正；当 u,i 为非关联方向时，符号为负。为非关联方向时，符号为负。i1u11对对互互感感电电压压，因因产产生生该该电电压压的的的的电电流流在在另另一一线线圈圈上上，因因此此，要要确确定定其其符符号号，就就必必须须知知道道两两个个线线圈圈的的绕绕向
6、向。这这在在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。+u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 s引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决这个问题。同同名名端端：当当两两个个电电流流分分别别从从两两个个线线圈圈的的对对应应端端子子流流入入，其其所所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。*同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1)当当两两个个线线圈圈中中电电流流同同时时由由同同名名端端流流入入(或或流流出出)时时，两两个电流产生的磁场相互增强。个电流
7、产生的磁场相互增强。i1122*112233*例例.注意：注意：线圈的同名端必须两两确定。线圈的同名端必须两两确定。确定图示电路的同名端确定图示电路的同名端 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。当闭合开关当闭合开关S时，时，i增加，增加，当当两两组组线线圈圈装装在在黑黑盒盒里里，只只引引出出四四个个端端线线组组，要要确确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。(2)当当随随时时间间增增大大的的时时变变电电流流从从一一线线圈圈的的一一端端流流入入时时，将将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线
8、圈相应同名端的电位升高。当断开当断开S时，如何判时，如何判定？定？三、由同名端及三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参参考前图，标出同名端得到下面结论考前图，标出同名端得到下面结论)。i1*u21+Mi1*u21+Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M*L1L2+_u1+_u2i2Mi1时域形式时域形式：i2*j L1j L2+_j M+_在正弦交流电路中，其在正弦交流电路
9、中，其相量形式相量形式的方程为的方程为注意：注意：有有三三个个线线圈圈，相相互互两两两两之之间间都都有有磁磁耦耦合合，每每对对耦耦合合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。线圈的同名端必须用不同的符号来标记。(1)一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；(2)互感电压的符号有两重含义。互感电压的符号有两重含义。同名端；同名端；参考方向；参考方向；互感现象的利与弊：互感现象的利与弊：利利 变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递弊弊 干扰干扰,合理布置线圈相互位置减少互感作用。合理布置线圈相互位置减少互感作用。互感线圈的串联和并联互感线圈的串联和并联一、
10、互感线圈的串联一、互感线圈的串联1.顺串顺串i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+2.反串反串i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。*顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：*全耦合全耦合 当当 L1=L2 时时 ,M=L4M 顺接顺接0 反接反接L=互感的测量方法：互感的测量方法：在正弦激励下：在正弦激励下：相量图相量图：(a)正串正串(b)反串反串*+R1R2j L1+j L2j M +1.同名端在同侧同名端在同侧i=i1+i2 解得解得u,i的关系：的关系：二、互感线圈的并
11、联二、互感线圈的并联*Mi2i1L1L2ui+如全耦合：如全耦合：L1L2=M2当当 L1 L2 ，Leq=0 (物理意义不明确物理意义不明确)当当 L1=L2，Leq=L(相当于导线加粗，电感不变相当于导线加粗，电感不变)故故互感小于两元件自感的几何平均值。互感小于两元件自感的几何平均值。2.同名端在异侧同名端在异侧i=i1+i2 解得解得u,i的关系：的关系：*Mi2i1L1L2ui+三、互感消去法三、互感消去法1.去耦等效去耦等效(两电感有公共端两电感有公共端)*j L1123j L2j M*j (L1M)123j (L2M)j M整理得整理得(a)同名端接在一起同名端接在一起*j L1
12、123j L2j Mj (L1+M)123j (L2+M)j (-M)整理得整理得(b)非非同名端接在一起同名端接在一起+j L1j L2+*j L1j L2j M+2.受控源等效电路受控源等效电路其中其中两种等效电路的特点两种等效电路的特点：(1)去去耦耦等等效效电电路路简简单单，等等值值电电路路与与参参考考方方向向无无关关，但但必须有公共端；必须有公共端；(2)受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电的相量分
13、析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。压除自感电压外，还应包含互感电压。例例 1、列写下图电路的方程。列写下图电路的方程。M12+_+_ L1L2L3R1R2R310-2 含有耦合互感电路的计算含有耦合互感电路的计算M12+_+_ L1L2L3R1R2R3支路电流法：支路电流法：12M12+_+_ L1L2L3R1R2R3回路电流法：回路电流法：(1)不考虑互感不考虑互感(2)考虑互感考虑互感注意注意:互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便
14、。例例 2.M12+_+_*M23M31L1L2L3R1R2R3支路法：支路法：12整理，得整理，得M12+_+_*M23M31L1L2L3R1R2R312M12+_+_*M23M31L1L2L3R1R2R3回路法：回路法：M12+_+_*M23M31L1L2L3R1R2R3整理得整理得:此题可先作出去耦等效电路，再列方程此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消一对一对消):M12*M23M13L1L2L3*M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12+M23 M13 L2M12M23+M13 L3+M12M23 M13 L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M2
15、3M+_+_ L1L2R1R2例例3:已知已知:求其戴维南等效电路。求其戴维南等效电路。+_Z1+M L1L2R1R2+_求内阻：求内阻：Zi（1）加压求流：）加压求流：列回路电流方程列回路电流方程M L1L2R1R2（2）去耦等效：）去耦等效：R1R2*j L1j L2j M+R1R2Z=R+jX例例5：空心变压器：空心变压器：Z11=R1+j L1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)+Z11原边等效电路原边等效电路Zl=Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引入阻抗。负号反映了付边的感性阻抗负号反映了付边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗反映到原边为一个容性阻抗*j L1j
16、L2j M+R1R2Z=R+jX+Z11原边等效电路原边等效电路这这说说明明了了副副边边回回路路对对初初级级回回路路的的影影响响可可以以用用引引入入阻阻抗抗来来考考虑虑。从从物物理理意意义义讲讲，虽虽然然原原副副边边没没有有电电的的联联系系，但但由由于于互互感感作作用用使使闭闭合合的的副副边边产产生生电电流流，反反过过来来这这个个电电流流又又影影响原边电流电压。响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说:不论变压器的绕法如何，不论变压器的绕法如何，恒为正恒为正,这表示电路电阻吸收功率，这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。它是靠原边供给的。电源发出有功电源发出有功=电阻吸收有功电阻吸收有
17、功=I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输。消耗在付边，由互感传输。同样可解得：同样可解得：+Z22原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。副边吸收的功率：副边吸收的功率：空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。副边等效电路副边等效电路副边开路时，原边电副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。流在副边产生的互感电压。例例a：已知已知 US=20 V,原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j10.求求:ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：
18、此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：*j10 j10 j2+10 ZX+10+j10 Zl=10j10 例例b：L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20 ,R2=0.08 ,RL=42 ,=314=314rad/s,法一法一：回路法（略）。：回路法（略）。法二法二：空心变压器原边等效电路。：空心变压器原边等效电路。*j L1j L2j M+R1R2RL+Z11+Z22又解：副边等效电路又解：副边等效电路*j L1j L2j M+1.全耦合变压器全耦合变压器(transformer)1122N1N210-310-3、4 4 空心变压器和理想变压器空心
19、变压器和理想变压器当当L1,M,L2 ，L1/L2 比值不变比值不变(磁导率磁导率m m ),则有则有2.理想变压器理想变压器(ideal transformer)：*+n:1全耦合变压器的电压、电流关系：全耦合变压器的电压、电流关系：理想变压器的元件特性理想变压器的元件特性理想变压器的电路模型理想变压器的电路模型(a)阻抗变换性质阻抗变换性质 理想变压器的性质：理想变压器的性质：*+n:1Z+n2Z(b)功率性质：功率性质：理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。*+n:1u1i1i2+u2由由此此可可以以看看出出，理理想想变变压压器器
20、既既不不储储能能，也也不不耗耗能能，在电路中只起传递信号和能量的作用。在电路中只起传递信号和能量的作用。全耦合变压器的电路模型全耦合变压器的电路模型:*+n:1理想变压器理想变压器*+n:1理想变压器理想变压器例例1.已已知知电电源源内内阻阻RS=1k，负负载载电电阻阻RL=10。为为使使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。*n:1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100，n=10.例例2.*+1:1050+1 方法方法1：列方程：列方程解得解得方法方法2：阻抗变换：阻抗变换+1 方法方法3
21、：戴维南等效：戴维南等效*+1:10+1 求求R0：*1:101 R0R0=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+100 50 例例3.理想变压器副边有两个线圈，变比分别为理想变压器副边有两个线圈，变比分别为5:1和和6:1。求：原边等效电阻求：原边等效电阻R。*+5:14*6:15+R100 180*+5:14*6:15+*变压器的电路模型变压器的电路模型实实际际变变压压器器是是有有损损耗耗的的，也也不不可可能能全全耦耦合合，k 1。且且 L1，M，L2 ,。除除了了用用具具有有互互感感的的电电路路来来分分析析计计算算以以外外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。还常用含有
22、理想变压器的电路模型来表示。一、理想变压器一、理想变压器(全耦合，无损，全耦合，无损，m m=线性变压器线性变压器)*+n:1i1i2u1u2二、全耦合变压器二、全耦合变压器(k=1，无损无损，m m，线性线性)与与理理想想变变压压器器不不同同之之处处是是要要考考虑自感虑自感L1、L2和互感和互感M。*j L1j L2j M+全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L1+n:1理想变压器理想变压器L1：激磁电感激磁电感 (magnetizing inductance)（空载激磁电流）（空载激磁电流）三、无损非全耦合变压器、无损非全耦合变压器(忽略损耗，忽略损耗，k 1，m m，线
23、性线性)21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2全耦合全耦合 磁通磁通在线性情况下，有在线性情况下，有全耦合部分全耦合部分全耦合部分全耦合部分由此得无损非全耦合变压器的电路模型：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：*L10+n:1全耦合变压器全耦合变压器L1SL2Si1u1u2i2+u1+u2L1S,L2S：漏电感漏电感(leakage inductance)全耦合部分全耦合部分四四、考考虑虑导导线线电电阻阻(铜铜损损)和和铁铁心心损损耗耗的的非非全全耦耦合合变变压压器器(k k 1 1，m m，线性线性)上上面面考考虑虑的的实实际际变变压压器器认认为为是是线线性性的的情情况况下下讨讨
24、论论的的。实实际际上上铁铁心心变变压压器器由由于于铁铁磁磁材材料料 BH特特性性的的非非线线性性,初初级级和和次次级级都都是是非非线线性性元元件件，本本来来不不能能利利用用线线性性电电路路的的方方法法来来分分析析计计算算，但但漏漏磁磁通通是是通通过过空空气气闭闭合合的的，所所以以漏漏感感LS1，LS2 基基本本上上是是线线性性的的，但但磁磁化化电电感感LM(L10)仍仍是是非非线线性性的的，但但是是其其值值很很大大，并并联联在在电电路路上上起起的的影影响响很很小小，只只取取很很小小的的电电流流，电电机机学学中中常常用用这这种种等等值值电路。电路。*L10+n:1L1SL2Si1u1u2i2RmR1R2小结：小结：变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。空空心心变变压压器器：电电路路参参数数 L1、L2、M,储能。储能。理理想想变变压压器器：电电路路参参数数n,不不耗耗能能、不不储储能能、变变压压、变变流流、变变阻阻抗抗，等值电路为：等值电路为：Z11Z引入引入n2Z2注意注意：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。铁心变压器铁心变压器：电路参数：电路参数 L1,L2,n,M,R1,R2.