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1、现代控制第一章现在学习的是第1页，共43页第一节第一节 状态空间表达式状态空间表达式一、状态、状态变量组和状态空间一、状态、状态变量组和状态空间先看几个例子！状态变量组：状态变量组：一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组，表为 ，其中 为自变量时间。状态：状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量，并且，状态 的维数定义为其组成状态变量的个数。状态空间：状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数。现在学习的是第2页，共43页二、状态空间表达式二、状态空间表达式 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程
2、组称为系统的状态空间表达式。它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统状态变量和输入量之间的关系，也就是说状态方程是由状态变量、输入量和系统参数构成的一阶微分方程组，是矩阵微分方程，其一般式为 其中，输出方程是描述系统输出量和状态变量之间的变换关系，是矩阵代数方程，其一般式为现在学习的是第3页，共43页其中，状态空间表达式由于方程(1-5)是多输入、多输出(MIMO)系统，故为多变量系统；如果是单输入、单输出(SISO)系统，则称为但变量系统，此时系统方程表达式为现在学习的是第4页，共43页线性定常系统（线性时不变系统）线性定常系统（线性时不变系统）：若方程(1-5)或(1-6)中的矩阵
3、的诸元素是实常数。线性时变系统：线性时变系统：若方程(1-5)或(1-6)中的矩阵 的诸元素中只要有一个元素是时间 的函数。一般表达式满足矩阵运算。控制系统方程也可用图形来标示，称为系统的状态图状态图。也容易转换为信号流图信号流图。现在学习的是第5页，共43页对于非线性系统，状态空间表达式，即状态方程与输出方程的一般描述是其中，。（注意向量函数与函数向量的区别！）如果非线性系统方程不显含时间 ，则称为非线性定常系统，其状态空间表达式为现在学习的是第6页，共43页三、状态变量的选取状态变量的选取状态变量的选取可以视所研究的问题性质和输入特性而定；状态变量的选取的非唯一性；系统状态变量的数目是唯一
4、的；状态变量组对系统行为的完全表征性；是指只要给定初始时刻 的任意初始状态变量组 和 各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在 各时刻的运动现在学习的是第7页，共43页行为也就随之而完全确定。状态变量组最小性的物理特征状态变量组 最小是指减少其中的一个变量就会破坏它们对系统行为表征的完全性，而增加一个变量将不增加行为表征的信息量，即是完全表征系统行为所不需要的。状态变量组最小性的数学特征状态变量组 为最小是指它们是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组，也即 以外的系统内部变量都必和它们线性相关。现在学习的是第8页，共43页系统任意两个状态变量组之间的关系系统任意选取的两个状态
5、和 之间为线性非奇异变换的关系。有穷维系统和无穷维系统动态系统的维数定义为其状态的维数。用 表系统，表示系统的状态，为状态的维数，则有 。若维数 为有穷正整数，称相应系统为有穷维系统，所有集总参数系统；若维数 为无穷大，称相应系统为无穷维系统，所有分布参数系统；现在学习的是第9页，共43页四、状态空间表达式建立的举例状态空间表达式建立的举例一般步骤：选取状态变量由机理法列原始动态方程化为规范形式导出状态变量方程和输出变量方程导出状态方程和输出方程例1例2例3现在学习的是第10页，共43页第二节第二节 由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式一、微分方程中不含有输入信号导数项一、微分
6、方程中不含有输入信号导数项先看一个简单的例子状态变量的选取！图112再看一般化的 阶微分方程向量、矩阵形式为现在学习的是第11页，共43页 图113现在学习的是第12页，共43页二、微分方程中含有输入信号的导数项微分方程中含有输入信号的导数项先看一个简单的例子状态变量选择再引入中间变量其中 为待定系数，反解出 及其导数项，再带入上式，等式两边同次幂项的系数应该现在学习的是第13页，共43页相等，解得待定系数为且得到系统状态方程记成向量、矩阵形式图114现在学习的是第14页，共43页再看一般化的 阶微分方程选取 个状态变量 (1-33)则系统方程为现在学习的是第15页，共43页 其中现在学习的是
7、第16页，共43页 系统的状态图如图图115例14现在学习的是第17页，共43页第三节第三节 传递函数矩阵传递函数矩阵一、传递函数一、传递函数定义，初始松弛系统，输入量输出量之间的关系，外部描述。SISO线性定常系统状态空间表达式为其中，对上式取拉氏变换，系统输出量对输入量的传递函数为现在学习的是第18页，共43页例15。二、传递函数阵二、传递函数阵MIMO线性定常系统状态空间表达式为其中，系统输出量对输入量的传递函数阵为现在学习的是第19页，共43页其中，表示只有第j输入作用时第i个输出量 对第j个输入量 的传递函数。例17耦合与解耦现在学习的是第20页，共43页三、正则（严格正则）有理传递
8、函数（矩阵）三、正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）传递函数未必是S的有理函数。如延迟系统的传递函数；有理函数 是正则的，若当S为 时，是有限常量；有理函数 是严格正则的，若当S为 时，；非正则传函系统在实际工程中是不能应用的。现在学习的是第21页，共43页四、闭环系统传递函数矩阵闭环系统传递函数矩阵参考图117前向通道的传递函数矩阵为 ，反馈通道的传递函数为 ，若误差向量为 ，则开环传递函数矩阵从 到 的传递函数矩阵闭环传递函数矩阵从 到 的传递函数矩阵现在学习的是第22页，共43页五、传递函数矩阵描述与状态空间描述的比较传递函数矩阵描述与状态空间描述的比较对于松弛与非松弛系统，状态空间都可
9、以描述；对于线性定常与时变系统，状态空间都可以描述；对于机理不甚明确的复杂系统，可以建立传函模型，但建状态空间模型较难；反映的信息量不一样；现在学习的是第23页，共43页第四节第四节 离散系统的数学模型离散系统的数学模型连续系统：输入和输出都是时间的连续函数离散系统：系统的输入、输出以及状态等仅定义在一些离散时间点上，假设离散时间是等间隔的并用T表示，称时间T为采样周期。用 表示 ，用 表示 ，。离散系统模型：状态空间表达式；线性定常离散系统的脉冲传递函数；现在学习的是第24页，共43页一、状态空间表达式状态空间表达式1.差分方程中不含有输入量差分项先看一个简单例子如果选取连续的三个时刻输出
10、作为状态变量，令现在学习的是第25页，共43页状态方程：向量、矩阵形式：或系统的状态图：现在学习的是第26页，共43页 阶线性定常差分方程选取 作为 状态变量，则系统状态方程为输出方程现在学习的是第27页，共43页2.差分方程中含有输入量差分项先看一个简单例子类似于连续系统选取状态变量的做法，即现在学习的是第28页，共43页其中，待定系数 可按下列方程求得系统状态方程输出方程现在学习的是第29页，共43页可以写为系统状态图如图119。例18多输入多输出线性时变离散系统的状态空间表达式定常离散系统的状态空间表达式现在学习的是第30页，共43页二、脉冲传递函数脉冲传递函数（矩阵）对于线性定常离散系
11、统的差分方程形式或状态空间描述，通过 变换，在初始松弛条件下，可求脉冲传递函数（矩阵），以方程(1-64)为例。现在学习的是第31页，共43页现在学习的是第32页，共43页例19如果系统为SISO线性定常离散系统，即系统脉冲传递函数为正则、严格正则现在学习的是第33页，共43页第五节第五节 线性变换线性变换一、等价系统方程等价系统方程1.线性定常系统某个基底下的系统方程引入 型非奇异变换矩阵 ，对状态变量 进行线性变换。现在学习的是第34页，共43页变换以后得到系统方程方程(1-70)经过基底变换(1-71)得到方程(1-75)，称这两个方程描述的系统为互为等价系统方程。2.线性时变系统引入
12、型非奇异变换矩阵 ，且对所有 都是非奇异且连续的。现在学习的是第35页，共43页变换以后得到系统方程方程(1-76)经过基底变换(1-77)得到方程(1-81)，称这两个方程描述的系统为互为等价系统方程。二、线性变换的基本特性线性变换的基本特性（要求自己能证明）1.线性变换不改变系统特征值（乘积的行列式等于各行列式的乘积）2.线性变换不改变系统的传递函数现在学习的是第36页，共43页二、化系数矩阵化系数矩阵A为标准形为标准形指一般型的A阵化为对角型、约当型、模态型特征向量：设 是 型矩阵A的特征值，若存在一个 维非零向量 使成立，则称 为A的对于于特征值 的特征向量1.当A阵的 个特征值互异时
13、，化A阵为对角阵对应每个特征值，求出特征向量，得到 例110现在学习的是第37页，共43页若A阵为如下形式范德蒙特(Vandermonde)矩阵。例111现在学习的是第38页，共43页2.化A阵为约当（Jordan）形阵若矩阵A的n个特征值中有重特征值时，可分为虽有重特征值，但矩阵A仍有n个独立的特征向量，即每个重特征值所对应的独立特征向量数恰好等于重特征值的重数；和没有重特征值情况一样；阵A若有m个重特征值，能化为对角阵的充要条件是A有重特征值，A的独立特征向量的个数小于n，只能化为约当阵；看一个例子：阵A若有n个重特征值 ，只对应一个特征向量 ，寻找线性变换 ，实现现在学习的是第39页，共43页！找 阵的方法：设对应 个重特征值的 个特征向量为由特征向量定义，则现在学习的是第40页，共43页得展开改写为现在学习的是第41页，共43页可以求出 ，称为普通特征向量，称对应于 的广义特征向量。变换矩阵为有几个普通特征向量，就有几个约当块！如44，2个普通特征向量（3+1）例112现在学习的是第42页，共43页3.模态形若矩阵A有复数特征值，可化为如下模态形如 ，A的模态型为是一实部和虚部为元的矩阵，但不是对角阵。设 为对应于 的特征向量，则其中，为二维复数向量，为二维实数向量则变换矩阵 例113现在学习的是第43页，共43页