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1、第一章现代控制理论预览第1页，此课件共61页哦现代控制理论预览现代控制理论预览建模建模分析分析设计设计状态空间状态空间表达式表达式建立建立求解求解转换转换可控可控性性可观可观性性稳定稳定性性状态反馈状态反馈状态观测器状态观测器最优控制最优控制第2页，此课件共61页哦第一章 控制系统的状态空间表达式本章主要内容：状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式的系统结构图状态变量及状态空间表达式的建立状态矢量的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵第3页，此课件共61页哦系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述系统的外部描述 传递函数传递函数 系统的内部描述系统的内部描述
2、状态空间描述状态空间描述第4页，此课件共61页哦1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 状态状态状态状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。义系统运动信息的集合为状态。状态变量状态变量状态变量状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。一组变量。第5页，此课件共61页哦完全描述完全描述：如果给定了：如果给定了 时刻这组变量值时刻这
3、组变量值 ，和，和 时输入的时间函数时输入的时间函数 ，那么，系统在，那么，系统在 的任的任何瞬间的行为何瞬间的行为 就完全确定了。就完全确定了。最小个数最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用：意味着这组变量是互相独立的。一个用 阶微阶微分方程描述的含有分方程描述的含有 个独立变量的系统，当求个独立变量的系统，当求 得得 个独个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于变量数目多于 ，必有变量不独立；若少于，必有变量不独立；若少于 ，又不足以，又不足以描述系统状态。描述系统状态。第6页，此课件共61页哦 状态矢量状态矢量
4、状态矢量状态矢量：设：设 是系统的一组状态变量，并将它们是系统的一组状态变量，并将它们看做矢量看做矢量 的分量，的分量，就称为状态矢量，记作：就称为状态矢量，记作：第7页，此课件共61页哦 状态轨迹状态轨迹状态轨迹状态轨迹：以：以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移，状状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨迹。态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨迹。状态空间状态空间状态空间状态空间：以状态变量：以状态变量 为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的 维空间。维空间。在某一特定时刻在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空间的一个点。是状态空间的一个点。第8页，此课
5、件共61页哦状态方程状态方程：描述系统：描述系统状态状态变量与系统变量与系统输入输入变量间关系的变量间关系的一一阶阶微分微分方程组方程组(连续系统连续系统)或一阶或一阶差分差分方程组（离散系统）。方程组（离散系统）。向量形式：向量形式：状态向量 输入向量第9页，此课件共61页哦输出方程输出方程：在指定系统输出的情况下，该：在指定系统输出的情况下，该输出输出与与状态状态变量间的变量间的 个个代数代数方程，称为系统的输出方程。方程，称为系统的输出方程。向量形式：向量形式：输出向量第10页，此课件共61页哦 解解：例例：建立如图所示的RCL电路的状态方程和输出方程。图1 微分方程微分方程 传递函数传
6、递函数 只反映外部情况，无法获知内部联系只反映外部情况，无法获知内部联系第11页，此课件共61页哦 定义状态变量定义状态变量 二阶微分方程，选择两个状态变量二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量状态向量 定义输出变量定义输出变量第12页，此课件共61页哦整理得一阶微分方程组为整理得一阶微分方程组为 即 输出输出方程方程 状态状态方程方程状态空间状态空间 表达式表达式第13页，此课件共61页哦写成矩阵相乘的形式第14页，此课件共61页哦可简写为 式中,第15页，此课件共61页哦状态空间表达式状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图1所
7、示电路,若 为输出,取 作为状态变量,则其状态空间表达式为 第16页，此课件共61页哦 若按照如下所示的微分方程：若按照如下所示的微分方程：选选 ,则得到一阶微分方程组：则得到一阶微分方程组：即即 状态变量选择不同，状态方程也不同。状态变量选择不同，状态方程也不同。第17页，此课件共61页哦两组状态变量之间两组状态变量之间的关系的关系P：非奇异矩阵：非奇异矩阵第18页，此课件共61页哦其其状态变量状态变量为为 ,则一般形式的状态空则一般形式的状态空间描述写作：间描述写作：单输入单输出定常线性系统单输入单输出定常线性系统第19页，此课件共61页哦 用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：用矢量矩阵表示
8、的状态空间表达式为：维列向量维列向量控制控制矩阵矩阵输入输入矩阵矩阵观测观测矩阵矩阵输出输出矩阵矩阵状态状态矩阵矩阵系统系统矩阵矩阵系数系数矩阵矩阵 为标量第20页，此课件共61页哦d d是标量，反映是标量，反映输出输出与与输入输入的直接关联的直接关联。第21页，此课件共61页哦写成矩阵形式有：写成矩阵形式有：多输入多输出定常线性系统第22页，此课件共61页哦第23页，此课件共61页哦本课程常用符号说明本课程常用符号说明小写小写细体细体字母字母标量、时间、复变量标量、时间、复变量小写小写粗体粗体字母字母向量向量大写大写粗体粗体字母字母矩阵矩阵大写大写细体细体字母字母拉氏变换符号、系统符号拉氏变
9、换符号、系统符号 第24页，此课件共61页哦 和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于上述系统，它们的框图分别如图a和b所示。状态空间表达式的系统框图状态空间表达式的系统框图 c第25页，此课件共61页哦常用符号常用符号常用符号常用符号：注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器1.2 状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图第26页，此课件共61页哦状态空间描述的模拟结构图状态空间描述的模拟结构图绘制步骤绘制步骤：画出所有积分器；画出所有积分器；积分器的积分器的个数个数等于状态变量数，
10、每个积分器的等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。输出表示相应的某个状态变量。根据根据状态状态方程和方程和输出输出方程，画出相应的加法器和方程，画出相应的加法器和 比例器；比例器；用箭头将这些元件连接起来。用箭头将这些元件连接起来。第27页，此课件共61页哦 例 画出一阶微分方程的模拟结构图。模拟结构图模拟结构图微分方程：微分方程：第28页，此课件共61页哦 例1-2 画出三阶微分方程的模拟结构图。微分方程微分方程：例1-3 画出下述状态空间表达式的模拟结构图。第29页，此课件共61页哦系统系统系统系统第30页，此课件共61页哦1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状
11、态变量及状态空间表达式的建立建立状态空间描述的三个建立状态空间描述的三个途径途径：1 1、由、由系统框图系统框图建立建立2 2、由系统、由系统机理机理进行推导进行推导3 3、由、由微分方程微分方程或或传递函数传递函数演化而得演化而得第31页，此课件共61页哦一、由一、由系统框图系统框图建立状态空间描述建立状态空间描述例例例例1-41-4：系统框图如下：系统框图如下：关键：关键：关键：关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换第32页，此课件共61页哦1、积分环节、积分环节2、惯性环节、惯性环节第33页，此课件共61页哦3、比例积分环节、比例积
12、分环节第34页，此课件共61页哦等效变换如下：等效变换如下：例例例例1-41-4：系统框图如下：系统框图如下：第35页，此课件共61页哦图中有图中有三个三个积分环节，积分环节，三阶三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量），则有：分环节后的变量为状态变量），则有：第36页，此课件共61页哦写成矩阵形式：写成矩阵形式：第37页，此课件共61页哦系统系统第38页，此课件共61页哦状态变量的选取原则状态变量的选取原则状态变量的选取原则状态变量的选取原则选择系统选择系统储能元件储能元件的输出物理量；的输出物理量；状态变量不唯一状态变量不唯一状态变
13、量的选取不同，状态空间表达式也不同！状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！二、由二、由系统机理系统机理建立状态空间表达式建立状态空间表达式使系统状态方程成为某种使系统状态方程成为某种标准形式标准形式的变量的变量（对角线对角线标准型和标准型和约旦约旦标准型）标准型）选择系统选择系统输出输出及其及其各阶导数各阶导数；第39页，此课件共61页哦电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。例例例例 L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1
14、i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1 解解解解 ：1)1)选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态为状态变量，且两者是独立的。变量，且两者是独立的。第40页，此课件共61页哦2 2）根据基尔霍夫电压定律，列）根据基尔霍夫电压定律，列写写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：整理得：整理得：L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1第41页，此课件共61页哦3 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：第42
15、页，此课件共61页哦 例例例例 试列出在外力试列出在外力f f作用下，作用下，以质量以质量的的位移位移为输出的状态为输出的状态空间表达式。空间表达式。解解：质量块受力图如下：质量块受力图如下：依据牛顿定律，有：依据牛顿定律，有：第43页，此课件共61页哦选取选取状态变量位移输入输入输出输出第44页，此课件共61页哦输出方程输出方程状态方程状态方程依据牛顿定律：依据牛顿定律：第45页，此课件共61页哦写成矩阵形式：写成矩阵形式：第46页，此课件共61页哦 1)1)选取选取 个状态变量个状态变量；确定；确定输入输入、输出输出变量；变量；建立状态空间表达式的步骤建立状态空间表达式的步骤状态变量状态变
16、量、输入变量输入变量、参数参数输出变量、输出变量、状态变量状态变量、输入变量输入变量、参数参数 2)2)根据系统微分方程列出根据系统微分方程列出 个个一阶微分方程一阶微分方程；3)3)根据系统微分方程，列出根据系统微分方程，列出 个个代数方程代数方程。第47页，此课件共61页哦 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现实现。三、由系统三、由系统微分方程微分方程或者或者传递函数传递函数建立状态
17、空间表达式建立状态空间表达式n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：第48页，此课件共61页哦线性定常系统的线性定常系统的状态空间表达式状态空间表达式为为可可实现实现的条件：的条件：系统的系统的传递函数传递函数为：为：第49页，此课件共61页哦应用长除法有当系统传递函数中当系统传递函数中 时，即时，即第50页，此课件共61页哦其其状态空间描述状态空间描述为为式中式中 是直接联系输入、输出量的是直接联系输入、输出量的前馈系数前馈系数，是是严格严格有理有理真真分式，其系数用分式，其系数用综合除法综合除法得得式中式中A A、b b、c c由实现方式确定，其形式不变，唯由
18、实现方式确定，其形式不变，唯输出方程输出方程中需中需增加增加一项一项 第51页，此课件共61页哦微分方程形式（微分方程中微分方程形式（微分方程中不包含不包含输入函数的导数项）：输入函数的导数项）：1 1、传递函数中、传递函数中没有零点没有零点时的实现时的实现系统的系统的传递函数传递函数为：为：第52页，此课件共61页哦选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量 状态方程状态方程输出方程输出方程第53页，此课件共61页哦2.2.）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：系统系统矩阵矩阵控制控制矩阵矩阵输出输出矩阵矩阵状态方程状态方程 输出方程输出方程
19、友友矩阵矩阵第54页，此课件共61页哦特点特点特点特点：状态变量是输出状态变量是输出y y及及y y的各阶导数的各阶导数系统矩阵系统矩阵A A特点：特点：主对角线上方主对角线上方的元素为的元素为1 1，最后一行为微分，最后一行为微分 方程方程系数的负值系数的负值，其它元素全为，其它元素全为0 0，称为，称为友矩阵友矩阵或或相伴矩阵相伴矩阵。3.3.3.3.）画）画）画）画系统结构图系统结构图系统结构图系统结构图：第55页，此课件共61页哦例例考虑系统考虑系统试写出其状态空间表达式试写出其状态空间表达式。则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：解：解：选择状态变量：选择状态变量：第56页，此课件
20、共61页哦标量标量系统结构图系统结构图第57页，此课件共61页哦2 2、传递函数中、传递函数中有零点有零点时的实现时的实现微分方程形式（微分方程微分方程形式（微分方程含有含有输入的导数项）：输入的导数项）：状态变量状态变量选择原则：选择原则：使导出的一阶微分方程组使导出的一阶微分方程组右边不出现右边不出现u u的导数项的导数项。第58页，此课件共61页哦设系统传递函数（m=n）为：综合综合除法除法严格有理严格有理真分式真分式若若则则第59页，此课件共61页哦串联分解：串联分解：选取状态变量：选取状态变量：第60页，此课件共61页哦可控标准型可控标准型输出输出方程方程：友友矩矩阵阵若若则则状态状态方程方程：第61页，此课件共61页哦