现代控制理论第一章01.ppt

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1、第一章控制系统的状态空间表达式本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。制系统的数学模型。本章主要内容为：本章主要内容为：1 1、状态和状态空间表达式、状态和状态空间表达式2、系统状态空间模型的建立、系统状态空间模型的建立3、状态空间描述和传递函数矩阵、状态空间描述和传递函数矩阵6、离散系统的数学模型、离散系统的数学模型4、线性变换、线性变换5、组合系统的数学描述、组合系统的数学描述线性连

2、续时间线性连续时间系统为主系统为主控制理论主要是研究动态系统的系统分析、控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题优化和综合等问题动态系统（动力学系统）指能储存输入信息动态系统（动力学系统）指能储存输入信息（或能量）的系统。（或能量）的系统。含有电感和电容等储能元件的电网络系统含有电感和电容等储能元件的电网络系统含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的刚体力学系统刚体力学系统存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等这类系统与静力学系统的区别在于：这类系统与静力学系统的区别在于：静态系统的

3、输出取决于当前系统的瞬时输入，而动静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入，而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加影响的叠加如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比的电流的积分值与电容值之比在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该系统的数学模型系统的数学模型在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态在系统和控制科学领域内，数学

4、模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式，系统的动态特性的数学表达式，数值型和逻辑型数值型和逻辑型线性和非线性线性和非线性时变和定常的时变和定常的连续时间型和离散时间型连续时间型和离散时间型集中参数和分布参数等集中参数和分布参数等这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态方程方程建立数学模型的主要方法有建立数学模型的主要方法有机理分析建模机理分析建模实验建模（系统辨识）实验建模（系统辨识）动态系统数学描述的基本方法动态系统数学描述的基本方法外部描述输入输出描述外部描述输入输出描述内部描述状态空间描述内部描述状态空间描述 典典 型型 控控 制

5、制 系系 统统 方方 框框 图图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测观测y控制控制u被控过程x反馈控制 被被 控控 过过 程程系统数学描述的两种基本方法系统数学描述的两种基本方法1.1 系统描述中的基本概念1、系统系统 一些相互制约的部分构成的且具有一定功能的整体2、输入和输出输入和输出 输入：环境对系统的作用 输出：系统对环境的作用3、系统数学描述的类型系统数学描述的类型 （1）系统的外部描述 传递函数 （2）系统的内部描述 状态空间表达式x1,x2,xnu1u2upy1y2yq系统的方块图表示 例:考察下图所示的考察下图所示的n n级级RCRC网络。图中虚线框内网络。图中虚线框内为具有放

6、大器隔离的为具有放大器隔离的n n级级RCRC电路电路,设放大器的输入阻设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1 1。图图图图1 1 n n级级级级RCRC网络网络网络网络 （1）系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为高阶线性常系数微分方程,即（2）及及(3)在已知输入在已知输入在已知输入在已知输入u u u u的情况下，解方程式（的情况下，解方程式（的情况下，解方程式（的情况下，解方程式（2 2 2 2）、式（）、式（）、式（）、式（3 3 3 3）,不仅可求出输出响应不仅可求出输出响应不仅可求出输出响应不仅可求出输出响应y y y y，而

7、且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（式（式（式（2 2 2 2）、）、）、）、式式式式(3)(3)(3)(3)是图所示电网络系统的一种完全描述。是图所示电网络系统的一种完全描述。是图所示电网络系统的一种完全描述。是图所示电网络系统的一种完全描述。重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组重新考察以上电网络，利用电路知识容易得

8、到如下一阶微分方程组重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组4、因果性、因果性 系统在t时刻的输出取决于t时刻和t时刻之前的输入，和t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。5、线性、线性 当对于任何输入u1和u2及任何实数a，均有 可加性：H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)齐次性:H(au1)=aH(u1)则称系统是线性的，否则为非线性。1.2 系统状态空间描述中的基本概念1、状态状态 表征系统运动的信息和行为2、状态变量状态变量 完全表征系统运动状态的完全表征系统运动状态的最小个数最小个数的一组变量。的一组变量。表示符号表示符号：x1(t),x2(t),xn(t)注

9、注：状态变量的选取不唯一。状态变量的选取不唯一。状态变量不一定在物理上可量测。状态变量不一定在物理上可量测。尽可能选取易量测的量作为状态变量。尽可能选取易量测的量作为状态变量。1.2 系统状态空间描述中的基本概念3、状态向量状态向量 把系统的n个状态变量构成一个列向量x(t)，称x(t)为n维状态向量。4、状态空间、状态空间以n个状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。5、状态轨线、状态轨线 q 状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨线。图 二维空

10、间的状态轨线二维空间的状态轨线6、状态方程状态方程 描述描述系统状态变量和输入变量系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。一般形式一般形式：7、输出方程输出方程 描述系统输出变量和系统状态变量、输入变量之间关系的代数方程。一般形式：8、状态空间表达式状态空间表达式状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。称为动态系统的状态空间表达式。或9、线性系统、线性系统 向量方程中f

11、(x,u,t)和g(x,u,t)的所有元都是状态变量和输入变量的线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。A(t)系统矩阵B(t)控制矩阵C(t)输出矩阵D(t)直接传输矩阵10、线性定常系统线性定常系统简记为系统(A,B,C,D)简记为系统(G,H,C,D)例例:离散系统离散系统tk=kT（T为采样周期）例例：如下图所示电路，：如下图所示电路，为输入量，为输入量，为为输出量。输出量。建立方程：建立方程：初始条件：初始条件：和和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量组状态变量前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：前面电路

12、的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。设：设：则可以写成状态空间表达式：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：推广到一般形式：A系统矩阵系统矩阵B控制矩阵控制矩阵C输出矩阵输出矩阵D直接传输矩阵直接传输矩阵对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程状态方程描述的是系统动态特性，其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的

13、关系。系统矩阵系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直接传输矩阵直接传输矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即矩阵D=0。1.3 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。n系统结构图主要有三种基本元件:积分器积分器加法器加法器比例器比例器常用符号常用符号常用符号常用符号：状态空间表达式结构图的绘制步骤状

14、态空间表达式结构图的绘制步骤l 画出所有的积分器 每个积分器的输出对应一个状态变量，积分器个数为每个积分器的输出对应一个状态变量，积分器个数为系统状态变量的个数。系统状态变量的个数。l 根据状态方程和输出方程，画出加法器和比例器；l 用箭头将各元件连接起来。例例1 设一阶系统状态方程为则其状态图为例例2 设三阶系统状态空间表达式为则其状态图为则其状态图为若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。例例3：2入入2出系统出系统双输入双输出线性定常系统结构图例4 线性时变系统的结构图下图所示。多输入多输出线性时变系统的

15、结构图多输入多输出线性时变系统的结构图1.4 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立根据系统的机理建立根据系统的结构图建立根据系统的其他数学模型建立l 由微分方程建立l 由传递函数建立1、根据系统的机理建立状态空间表达式根据系统的机理建立状态空间表达式步骤：步骤：1）确定系统的输入、输出量；）确定系统的输入、输出量；2）根据系统的内部机理建立响应的微分方程或差分方程；）根据系统的内部机理建立响应的微分方程或差分方程；3）选取状态变量；选取状态变量；4）导出标准形式的状态空间表达式。）导出标准形式的状态空间表达式。建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它建立状态空间模型的关键在于状态变量的

16、选取，它是建立状态空间模型的前提是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法状态变量的主要选取办法p 系统储能元件的输出系统储能元件的输出p 系统输出及其输出变量的各阶导数系统输出及其输出变量的各阶导数p 上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）标准形式的变量）电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。例例例例1 1 1 1 电网络系统状态空间表达式的建立电网络系统状态空间表达式的建立电网络系统状态

17、空间表达式的建立电网络系统状态空间表达式的建立图图L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1 解解解解 ：1)1)选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，为状态变量，且两者是独立的。且两者是独立的。2 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：整理得：整理得：L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2 2R R2 2R

18、 R1 1L L1 13 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：例例2：机械系统机械系统.列出在外列出在外力力f作用下，以质量作用下，以质量 的位移的位移 为输出的状为输出的状态空间描述。态空间描述。解解解解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：质量块受力图如下：则有：则有：及：及：将所选的状态变量将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得：输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：写成矩阵形式：写成矩阵形式：=432100100001xxxxy例例3:3:机电系统的状态空间描述机电系统的状态空

19、间描述 电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机,其中其中Ra和和La为电枢回路总电阻和总电为电枢回路总电阻和总电感感,J为机械旋转部分转动惯量为机械旋转部分转动惯量,负载为摩擦系数为负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦的阻尼摩擦.试列写以电枢电压试列写以电枢电压u(t)为输入为输入,轴的角位移轴的角位移(t)为输出的状为输出的状态空间表达式态空间表达式.解解 1.设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照上图所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt,M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量

20、).因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2.选择状态变量选择状态变量.对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程4.建立输出方程y=x25.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型本节小结：本节小结：根据系统机理建立状态空间表达式适于系统结构、参数根据系统机理建立状态空间表达式适于系统结构、参数已知，系统的内部机理清楚的情况下；已知，系统的内部机理清楚的情况下；所选择的状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个所选择的状态变量的个数

21、等于系统中独立储能元件的个数，并将独立储能元件上的物理量选为系统的状态变量；数，并将独立储能元件上的物理量选为系统的状态变量；对于系统机理、结构和参数未知的系统只能通过辨识对于系统机理、结构和参数未知的系统只能通过辨识的途径建立其状态空间模型。的途径建立其状态空间模型。2、根据系统的微分方程建立状态空间表达式、根据系统的微分方程建立状态空间表达式p 实现问题p 关键问题如何选择状态变量保持系统的输入输出间的关系不变p 主要讨论由SISO系统输入输出关系的线性常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论不含输入量导数项不含输入量导数项含输入量导数项含输入量导数项考虑单输入单输出（SISO）的线性定

22、常系统1）不含输入导数项不含输入导数项这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量?其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。p由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),以上微分方程有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。p因此,选择状态变量为如下相变量相变量,可完全刻划系统的动态特性。p取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量。将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程输出方程 y=x1写成矩阵形式：写成

23、矩阵形式：系统的状态图如下：系统的状态图如下：p例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6up解 本例中a0=6 a1=11 a2=6 b0=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,可得状态空间模型如下 p其系统结构图如下所示p若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。2 2）微分方程中含

24、有输入的导数项）微分方程中含有输入的导数项p为避免状态方程中显式出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面介绍其中一种。选择选择 n 个状态变量为个状态变量为系统方程为系统方程为系统的方框图p由于传递函数与线性常系数微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法3 3、根据系统的传递函数求状态空间表达式、根据系统的传递函数求状态空间表达式线性定常微分方程

25、线性定常微分方程传递函数传递函数上一节的方法上一节的方法本节的方法本节的方法建立状态空间模型方法建立状态空间模型方法拉氏变换拉氏变换微分方程和传递函数的对应关系：本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。上述常数项即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直接传输矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。1）极点互异极点互异,即无重极点情况即无重极点情况p 传递函数分为极点互异极点互异有重极点有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解

26、其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。q考虑到输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则,经反变换可得系统状态方程为p相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxnp整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型系统矩阵A具有对角线形式的状态空间模型。将系统转换为将系统转换为n个一阶子系统个一阶子系统(惯性环节惯性环节)的并联的并联.p 例 将传递函数变换为状态空间模型解解 由系统特

27、征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有其中p故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型q使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。2)传递函数含重极点传递函数含重极点 设n阶严格有理真分式传递函数为 当传递函数含重实极点时，不失一般性，假设 其中，q重极点 所对应的部分分式系数 按式 计算对于单极点 对应的部分分式的系数 则按下式计算 p选择系统状态变量的拉选择系统状态变量的拉氏变换为氏变换为 整理 得取拉氏反变换，得输出方程为 取拉氏反变换，得状态方程为 系统的向量-矩阵形式的状态空间表达式为 p系统状态变量图 p 例 将下述传递函数变换为状态空间模型其中解解 由系统特征多项式 s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有p故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型q“状态空间模型不具有唯一性”。