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1、第三章泛函分析初步1第1页，共43页，编辑于2022年，星期二第三章 泛函分析初步3.1 线性空间3.2 线性子空间3.3 距离空间3.4 Banach空间 3.5 Hilbert空间 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 第2页，共43页，编辑于2022年，星期二3.1 线性空间线性空间：设W（W为非空集合）(1)W中元对“+”构成交换群，即对 X X,Y Y,ZZ W,有.第3页，共43页，编辑于2022年，星期二3.1 线性空间(2)对 X,Y W，,C（复数域）有：.称W为线性空间；若,C，则W为复线性空间；若,R，则W为实线性空间。第4页，共43页，编辑于2022年，星期二3.1
2、线性空间 第5页，共43页，编辑于2022年，星期二3.1 线性空间线性空间W上的算子L为线性算子零状态线性系统系统算子为线性算子第6页，共43页，编辑于2022年，星期二3.2 线性子空间线性子空间：设 V W，V是W的线性子空间直和：设第7页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间（度量空间Metric Space）距离空间：设W，称W为距离空间，指在W中定义了映射：（包 括0），X X,Y Y W 满足以下三条公理：称为W上的距离，为度量空间。第8页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间例：例：第9页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间例：第10
3、页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间收敛收敛：定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。第11页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间完备度量空间柯西序列Cauchy Sequence例：第12页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间完备度量空间 中任意收敛序列是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 中例：第13页，共43页，编辑于2022年，星期二3.3 距离空间完备度量空间完备度量空间Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。极限运算在完备时可行如何完备化？W不要求线性空间第14页，共43页，编辑于20
4、22年，星期二3.4 巴拿赫（Banach）空间 第15页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间赋范线性空间：设W是线性空间，若对 X X W，X X 满足：称为X X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。第16页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间（广义）长度的推广：例1：第17页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间（广义）长度的推广：例2：第18页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间Minkowski不等式：第19页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线
5、性空间 第20页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间例 第21页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间强收敛：弱收敛：依泛函收敛。注：强收敛弱收敛。第22页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.1 赋范线性空间度量空间与赋范线性空间的关系：例 第23页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.2.Banach空间 Banach空间：完备的 称为Banach空间。是Banach空间。在 中，取 完备。第24页，共43页，编辑于2022年，星期二3.4.2.Banach空间定理：若Hlder不等式：证明思路：第25页，共43页，编辑于2022年
6、，星期二3.5 Hilbert空间 第26页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.1 内积空间 内积：设W为实或复线性空间，若对 X X,Y Y,ZZ W,C，均有一个实数或复数与之对应，记为X X,Y Y，满足：则称X X,Y Y为X X与Y Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。第27页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.1 内积空间注：例子：第28页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.1 内积空间例子：第29页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.2 Hilbert空间定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内
7、积空间称为Hilbert空间。有限维内积空间必完备：完备。完备，定义内积 。H空间是能量有限信号的集合。第30页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.2 Hilbert空间Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间，X X,Y YW，有 注：1.在Hlder不等式中，取 ，就成为Cauchy-Schwarz不等式。2.在 空间中，有Cauchy不等式：3.在 空间中，有Schwarz不等式：第31页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.3 线性泛函 算子Operator：X,Y为线性空间，算子：其中，为定义域，为值域。第32页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.3 线
8、性泛函泛函Functional：值域是实复数域的算子为泛函。注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。线性算子：X,Y为线性空间，若对 ，有：则T为线性算子。第33页，共43页，编辑于2022年，星期二3.5.3 线性泛函线性泛函：线性算子T的值域为实复数集。距离、范数是泛函，但非线性泛函。连续线性算子T线性算子：有界连续内积为连续线性泛函积分算子第34页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 第35页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.1 正交Orthogonal 正交：在内积空间W中，若 ，满足：，则称 正交，记为：
9、。其中k为常数，为Kronecker符号 正交（子）集：中任意两个元正交。第36页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.1 正交集正交：若 正交补：规范正交完备集V：1.（完备性）2.（规范正交）第37页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.1 正交定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。定理：W是Hilbert空间，V是W的正交子集。第38页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.2正交投影Orthogonal Projection 正交投影：W是Hilbert空间，在V上的正交投影或投影，记为：。注：的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。第39页，共43页，编辑于20
10、22年，星期二3.6.3 广义傅里叶展开 广义傅里叶展开：设 是H空间W的规范正交完备集，则对 为广义傅里叶系数。注：是Hilbert空间W的规范且完备的一组基。是 X 在 上的投影。第40页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.3 广义傅里叶展开Parseval等式：设 ，则物理解释：信号的总能量各个分量的能量的和。几何解释：广义勾股定理。第41页，共43页，编辑于2022年，星期二3.6.3 广义傅里叶展开用N项广义傅里叶展开逼近X：设 是Hilbert空间W的规范正交完备集，X在 上的投影：。这里 规范正交，但不完备。第42页，共43页，编辑于2022年，星期二结束第43页，共43页，编辑于2022年，星期二