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1、关于状态空间描述法第1页，讲稿共130张，创作于星期二9.1 9.1 线性系统的状态空间描述法线性系统的状态空间描述法 1 1控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：输入输入输出描述法输出描述法经典控制理论经典控制理论状态空间描述法状态空间描述法现代控制理论现代控制理论2 2经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：(1)优点：对单入优点：对单入单出系统的分析和综合特别有效。单出系统的分析和综合特别有效。(2)缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入单出
2、系统。单出系统。3.3.现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论(1)适应控制工程的高性能发展需要，于适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。年代提出。(2)可处理时变、非线性、多输入可处理时变、非线性、多输入多输出问题。多输出问题。(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制9.29.39.4一、问题的提出一、问题的提出第2页，讲稿共130张，创作于星期二 1.1.先看一个例子先看一个例子先看一个例子先看一个例子：例例9.1 试建立图示电路的数学模型。试建立图示电路的数学模型。RLCi(t)ur(t)uc(t)二二.
3、状态和状态空间状态和状态空间第3页，讲稿共130张，创作于星期二2.状态与状态变量的定义状态与状态变量的定义在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道uc(t)和和i(t)的变化特性，则其他的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故变量的变化均可知道。故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记控控制制系系统统的的状状态态为为完完全全描描述述系系统统的的一一个个最最小小变变量量组组，该该组组中中的的每个变量称为状态变量。每个变量称为状态变量。如上例中如上例中,为系统的状态，为系统的状态，为状态变量。为状态变量。第4页，讲稿共130张，创作于星期二3.3.状态向量状
4、态向量状态向量状态向量4.4.状态空间状态空间状态空间状态空间:定义定义:所有状态构成的一个实数域上的所有状态构成的一个实数域上的(线性线性)向量空间称为向量空间称为状态空间。状态空间。5.5.方程方程方程方程:状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程式称为状态方程(见上例见上例);系统输出量系统输出量y(t)与状态变量、输入量的关系的表达式称与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。为输出方程。第5页，讲稿共130张，创作于星期二三三.状态变量的选取状态变量的选取1.状态变量的选取是非唯一的。状态变量的选取是非唯一的。2.
5、选取方法选取方法（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。态变量。（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压电容电压uc、质量、质量m 的速度的速度v 等。等。第6页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.2图示弹簧图示弹簧质量质量阻尼器系统，外作用力阻尼器系统，外作用力u(t)为该系为该系统的输入量，质量的位移统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该
6、系统的状态方程为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。和输出方程。kmu(t)y(t)f第7页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.3已知系统微分方程组为已知系统微分方程组为 其中，其中，ur为输入，为输入，uc为输出，为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统为常数。试列写系统状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。第8页，讲稿共130张，创作于星期二解：解：选选写成向量写成向量矩阵形式：矩阵形式：第9页，讲稿共130张，创作于星期二四四.状态空间表达式状态空间表达式1.单输入单输出线性定常连续系统单输入单输出线性定常连续系统第10页，讲稿共130张，创作于星期二2.一般线性系统一
7、般线性系统状态空间表达式（状态空间表达式（p输入输入q输出）输出）3.线性线性定常定常系统系统状态空间表达式状态空间表达式第11页，讲稿共130张，创作于星期二 （t 域）域）（域）域）uxyBCDAb)结构图结构图系统系统A a)结构关系图结构关系图DBC第12页，讲稿共130张，创作于星期二五五.线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立1.方法方法:机理分析法、实验法机理分析法、实验法2.线性定常单变量系统线性定常单变量系统(单输入单输入单输出系统单输出系统)(1)由微分方程建立由微分方程建立在输入量中不含有导数项时：在输入量中不含有导数项时：第13页，讲稿共130
8、张，创作于星期二例例9.4已知系统微分方程为已知系统微分方程为 列写系统的状态空间表达式。列写系统的状态空间表达式。写成向量写成向量-矩阵形式矩阵形式(或系统动态结构图或系统动态结构图):解：解：选选输入量中含有导数项时：输入量中含有导数项时：第14页，讲稿共130张，创作于星期二可控规范型实现可控规范型实现(2)由传递函数建立由传递函数建立即实现即实现 第15页，讲稿共130张，创作于星期二B）bn0第16页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.5已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。解解:由由bn=b3=0
9、,对照标准型对照标准型,可得实现为可得实现为第17页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.69.6 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。解解:由由bn=b30,对照标准型对照标准型第18页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.7已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。与能控规范型关系：与能控规范型关系：A A*=A AT T，B B*=C CT T，C C*=B BT T 能观测规范型实现能观测规范型实现第19页，讲稿共130
10、张，创作于星期二对角线规范实现对角线规范实现 第20页，讲稿共130张，创作于星期二结构图结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图的对角线规范型实现，并画出系统状态图。例例9.8求求+x1y(t)u(t)1 1c1x22 2c c2xnn nc cn+第21页，讲稿共130张，创作于星期二解：解：则对角线规范型实现为则对角线规范型实现为第22页，讲稿共130张，创作于星期二约当规范型实现约当规范型实现-特征方程有重根时特征方程有重根时 第23页，讲稿共130张，创作于星期二第24页，讲稿共130张，创作于星期二xn x4x11x12x13y(t)u(t)+1 14 4n n1 11 1c11
11、c12 c13 c4 cn第25页，讲稿共130张，创作于星期二当当G(s)有重极点时，设有重极点时，设-pi中有中有k重极点重极点第26页，讲稿共130张，创作于星期二11111第27页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.9-1-21111-111第28页，讲稿共130张，创作于星期二(3)状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换思路：思路：变换前后系数矩阵关系：变换前后系数矩阵关系：代入原状态方程，有代入原状态方程，有 第29页，讲稿共130张，创作于星期二变换为对角线规范型。变换为对角线规范型。例例9.10试将状态方程试将状态方程解：解：.求特征值：求特征值：.求特征向量和变换
12、矩阵求特征向量和变换矩阵P=-1对应的对应的p1 第30页，讲稿共130张，创作于星期二3线性定常多输入线性定常多输入多输出系统多输出系统(1)传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系 第31页，讲稿共130张，创作于星期二(2)开环与闭环传递矩阵开环与闭环传递矩阵(3)传递矩阵的对角化传递矩阵的对角化单入单入单出系统单出系统y(s)e(s)u(s)G(s)H(s)-y(s)e(s)u(s)G(s)H(s)多入多入多出系统多出系统-第32页，讲稿共130张，创作于星期二(4)传递矩阵的实现传递矩阵的实现1)单输入单输入多输出时的实现多输出时的实现第33页，讲稿共13
13、0张，创作于星期二可控规范型可控规范型第34页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.11试求下列单输入试求下列单输入双输出系统传递函数矩阵的可控标双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。准形实现。解解：第35页，讲稿共130张，创作于星期二2)多输入多输入单输出时的实现单输出时的实现解题解题思路思路：求对应的单入多出系统求对应的单入多出系统GT(s)的实现；的实现；利用对偶关系求利用对偶关系求G(s)的实现。的实现。例例9.12线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。实现。解：解：1）先求对应的单输入）先求对应的单输入双输出系统的实
14、现双输出系统的实现第36页，讲稿共130张，创作于星期二第37页，讲稿共130张，创作于星期二2）再转换为双输入）再转换为双输入单输出系统的实现单输出系统的实现故原系统的实现为故原系统的实现为:第38页，讲稿共130张，创作于星期二v方法的验证方法的验证第39页，讲稿共130张，创作于星期二对比原题所给传递函数，可见结果一致。对比原题所给传递函数，可见结果一致。第40页，讲稿共130张，创作于星期二本本 节节 作作 业业刘豹刘豹.P481-41-5(1)1-7第41页，讲稿共130张，创作于星期二9.2 9.2 状态方程求解状态方程求解线性定常连续系统线性定常连续系统1.齐次状态方程的解齐次状
15、态方程的解（1 1）幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法设解为：设解为：9.39.49.1第42页，讲稿共130张，创作于星期二第43页，讲稿共130张，创作于星期二拉氏变换法拉氏变换法由由两边取拉氏变换，两边取拉氏变换，得得SX(s)-X(0)=AX(s)(SI A)X(s)=X(0)X(s)=(SIA)-1.X(0)两边取拉氏反变换两边取拉氏反变换x(t)=L-1X(s)=L-1(SI-A)-1X(0)=L-1(SI-A)-1X(0)比较前式，有比较前式，有eAt=L-1(SI-A)-1第44页，讲稿共130张，创作于星期二状态转移矩阵的运算状态转移矩阵的运算性质性质性质性质(t)=eAt=I
16、+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+(0)=I初始状态初始状态 (2)(t1t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)-线性关系线性关系-1(t)=(-t)，-1(-t)=(t)-可逆性可逆性x(t)=(t-t0)x(t0)x(t0)=(t0)x(0),第45页，讲稿共130张，创作于星期二则则x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0)=(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A可分阶段转移可分阶段转移(t)k=(kt)e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt(AB=
17、BA)e(A+B)teAt.eBteBt.eAt(ABBA)引入非奇异变换引入非奇异变换后，后，两种常见的状态转移矩阵两种常见的状态转移矩阵第46页，讲稿共130张，创作于星期二第47页，讲稿共130张，创作于星期二 例例9.13设有一控制系统，其状态方程为设有一控制系统，其状态方程为 在在t0=0时，状态变量的初值为时，状态变量的初值为x1(0)x2(0)x3(0),试求该方程的解。试求该方程的解。第48页，讲稿共130张，创作于星期二第49页，讲稿共130张，创作于星期二第50页，讲稿共130张，创作于星期二试求试求A及及(t)。例例9.14设系统状态方程为设系统状态方程为第51页，讲稿共
18、130张，创作于星期二解方程组得，解方程组得，11(t)=2e-te-2t,12(t)=2e-t2e-2t21(t)=-e-t+e-2t,22(t)=-e-t+2e-2t第52页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.15设系统运动方程为设系统运动方程为式中式中a、b、c均为实数，试求：均为实数，试求：求系统状态空间表达式。求系统状态空间表达式。求系统状态转移矩阵。求系统状态转移矩阵。第53页，讲稿共130张，创作于星期二2.非齐次状态方程非齐次状态方程的解的解直接法（积分法）直接法（积分法）(2)拉氏变换法拉氏变换法sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+B
19、u(s)x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则则x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s)(由由eAt=-1(sI-A)-1可得可得)第54页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.16在上例中，当输入函数在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方时，求系统状态方程的解。程的解。第55页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.17设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析所示。试用状态空间法对系统进行分析。解：解：由图由图32/s1-电动伺服阀电动伺服阀放大
20、器放大器油缸油缸位移传感器位移传感器u(s)y(s)第56页，讲稿共130张，创作于星期二第57页，讲稿共130张，创作于星期二本本 节节 作作 业业刘豹刘豹.P772-32-5(3)2-6第58页，讲稿共130张，创作于星期二一、可控一、可控与可观测的与可观测的概念、意义概念、意义9.3 9.3 可控性与可观测性可控性与可观测性9.29.49.1第59页，讲稿共130张，创作于星期二设线性定常连续系统的状态空间表达式为：设线性定常连续系统的状态空间表达式为：如果存在一个控制如果存在一个控制u u(t t)，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔 t to o,t tf f 内，使系统从其内，使系
21、统从其一初态一初态x x(t to o)转移到任意指定的终态转移到任意指定的终态x x(t tf f)，则称此状态，则称此状态x x(t to o)是完全是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。则系统不可控）。二、定义二、定义1.可控性可控性定义定义第60页，讲稿共130张，创作于星期二三、可控性与可观测性判据三、可控性与可观测性判据 系统在稳定输入系统在稳定输入u u(t t)作用下，对任意初始时刻作用下，对任意初始时刻t to o ，若能在有限，若能在有限时间间隔时间间隔 t to o,t tf
22、f 之内，根据从之内，根据从t to o到到t tf f对系统输出对系统输出y(t)y(t)的观测值和输的观测值和输入入u(t)u(t)，唯一地确定系统在，唯一地确定系统在t to o时刻的状态时刻的状态x x(t to o)，则称系统是状态完全，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。观测，则系统不可观测）。2 2.可观测性可观测性定义定义可控规范型：可控规范型：=-=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.可控性判据可控性判据
23、第61页，讲稿共130张，创作于星期二线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：控性判别阵：必须满秩。即必须满秩。即（n为系统维数）为系统维数）判据一判据一：试判别其状态的可控性。试判别其状态的可控性。解：解：例例9.18设系统状态方程为：设系统状态方程为：系统可控！系统可控！第62页，讲稿共130张，创作于星期二设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：中，中，阵不包含元素全为零的行。阵不包含元
24、素全为零的行。判据二判据二:例例9.19已知三阶二输入系统状态方程已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控试判别其状态的可控性。性。解：解：不可控！不可控！第63页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.20试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。性。第64页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.21试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。控性。中，与每个约当小块中，与每个约当小块的最后一行相对应的最后一行相对应的的阵阵中中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当
25、块有相同特征值，的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）此结论不成立。）约当规范型约当规范型 判据三：判据三：第65页，讲稿共130张，创作于星期二判判据据一一:线线性性定定常常连连续续系系统统状状态态完完全全能能观观测测的的充充分分必必要要条条件件为可观测性矩阵为可观测性矩阵:2.可观测性判据可观测性判据必须满秩，即必须满秩，即rankQo=n（n为系统维数）为系统维数）可观测规范型：可观测规范型：第66页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.22已知系统的已知系统的A,C阵如下，试判断其可观性。阵如下，试判断其可观性。例例9.23试判别如下系统的可观测性。
26、试判别如下系统的可观测性。解：解：解：解：第67页，讲稿共130张，创作于星期二的矩阵的矩阵中不包含元素全为零的列。中不包含元素全为零的列。设设线线性性定定常常连连续续系系统统具具有有不不相相等等的的特特征征值值,则则其其状状态态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型:例例9.24试判别以下系统的状态可观测性试判别以下系统的状态可观测性.判据二判据二:第68页，讲稿共130张，创作于星期二中中,与每个约当块与每个约当块首行相对应的矩阵首行相对应的矩阵中的那些列中的那些列,其其元素不全为零。元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值
27、如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立此结论不成立)。约当规范型约当规范型判据三判据三:第69页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.25试判别下列系统的状态可观测性。试判别下列系统的状态可观测性。第70页，讲稿共130张，创作于星期二1 1）可控可观测的充要条件：）可控可观测的充要条件：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。2 2）可控的充要条件：）可控的充要条件：(SI-A)-1b不存在零极点对消。不存在零极点对消。3 3）可观测的充要条件：）可观测的充要条件：c(SI-A)-1不存在零极点对消。不存在零
28、极点对消。四、四、能控能观性与传递函数的关系能控能观性与传递函数的关系例例9.26判断以下系统的状态可控性与可观测性。判断以下系统的状态可控性与可观测性。1.单输入单输出系统单输入单输出系统第71页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.27系统传递函数如下，判断其可系统传递函数如下，判断其可控控性与可观测性。性与可观测性。解：解：，故不满足，故不满足可控可观测的条件可控可观测的条件。第72页，讲稿共130张，创作于星期二2.多输入多输出系统多输入多输出系统1）可控的充要条件：）可控的充要条件：(SISI-A A)-1-1B B 的的的的n n行线性无关。行线性无关。行线性无关。行线性无关。2）
29、可观测的充要条件：）可观测的充要条件：C C(SISI-A A)-1-1的的的的n n列线性无关。列线性无关。列线性无关。列线性无关。例例9.28用两种方法验证：系统（用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（）的状态可控性；系统（2）的状）的状态可观测性。态可观测性。第73页，讲稿共130张，创作于星期二例例9.29第74页，讲稿共130张，创作于星期二第75页，讲稿共130张，创作于星期二五、对偶原理五、对偶原理设系统设系统S1(A1,B1,C1)与系统与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则互为对偶系统，则:若系统若系统S1(A1,B1,C1)可控可控可控可控，则系统，则系统S
30、2(A2,B2,C2)可观测可观测可观测可观测；若系统若系统S1(A1,B1,C1)可观测可观测可观测可观测，则系统，则系统S2(A2,B2,C2)可控可控可控可控；证明：证明：第76页，讲稿共130张，创作于星期二六、线性系统的规范分解六、线性系统的规范分解*例例9.30判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。线性系统可分解为线性系统可分解为四种系统四种系统：能控能控能观测能观测1 2.3.4.第77页，讲稿共130张，创作于星期二1.能控性规范分解能控性规范分解定理定理n 阶阶系系统统(A,B,C)，rankQc=kn，则则通通过过非奇异非奇异变换变
31、换可可导导出原系出原系统统按能控性按能控性规规范分解的新系范分解的新系统统(Ac,Bc,Cc)，有，有xc是是k维维能控状能控状态态分量，分量，为为(n-k)维维不能控分量，不能控分量，为为能控子系能控子系统统。第78页，讲稿共130张，创作于星期二5-3 Tc的求法：的求法：i)从从QC中任选中任选k(rankQC=k)个个线性无关的列向量，线性无关的列向量，它为它为Tc的前的前k列：列：V1,V2,Vk；ii)在在Rn中再选中再选n-k个个列向量，记为列向量，记为Vk+1,Vn,需使得：需使得：为为非奇异。非奇异。第79页，讲稿共130张，创作于星期二设线性定常系统如下，判断其能控性；若不
32、完全能控，试将该设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。系统按能控性进行分解。例例9.31 解解系统能控性判别阵系统能控性判别阵rankQc=2n=3,所以系统是所以系统是不完全能控不完全能控的。的。第80页，讲稿共130张，创作于星期二其中其中Tc3是任意是任意的，只要能保证的，只要能保证Tc非奇异即可。非奇异即可。变换后的系统的状态空间表达式变换后的系统的状态空间表达式即即能控子系统能控子系统为为第81页，讲稿共130张，创作于星期二为能观测子系统。为能观测子系统。可将原系可将原系统变换为统变换为按能按能观测规观测规范分解的新系范分解的新系统统(Ao,B
33、o,Co)，有，有5-4定理定理n 阶阶系系统统(A,B,C)，rankQo=rn，通，通过过非奇异非奇异变换变换，xo为为r 维维能观测能观测状态分量；状态分量；是（是（n-r）维）维不能观测不能观测的状态分量。的状态分量。2.能观测性规范分解能观测性规范分解第82页，讲稿共130张，创作于星期二 To-1的求法的求法:i)从从Qo中任选中任选r(rankWo=r)个个线性无关线性无关的行向量，作为的行向量，作为To-1的前的前r 个行向量。个行向量。ii)在在Rn中再选（中再选（n-r）个行向量，构成）个行向量，构成To-1，并使，并使To-1为为非奇异非奇异。例例9.32设线性定常系统如
34、下，判断其能观测性；若不完全能观测，设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。试将该系统按能观测性进行分解。解解系统能观测性判别阵系统能观测性判别阵rankQo=20;当当x=0,则则|x|=0(2)|x|=|x|,为任意标量为任意标量.(3)对于两个向量对于两个向量x,y有有|x+y|x|+|y|.(三角不等式三角不等式)几种常见的向量范数：几种常见的向量范数：n维空间上的点到原点的距离。维空间上的点到原点的距离。第104页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.1.2 矩阵的范数矩阵的范数 (x的的 范数也定义：范数也定义：矩阵矩阵A=aijn m，其
35、范数，其范数|A|满足满足:(1)当当A 0时，时，|A|0；当；当A=0时，时，|A|=0；(2)|A|=|A|为任意向量；为任意向量；(3)|A+B|A|+|B|；(4)|AB|A|B|；第105页，讲稿共130张，创作于星期二几种常见的几种常见的矩阵矩阵范数：范数：2范数范数1范数范数第106页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.2平衡状态和稳定性平衡状态和稳定性 9.5.2.1 9.5.2.1 平衡状态（平衡点）平衡状态（平衡点）xe xe一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。力及扰动的情况下，总处
36、于此状态。任意状态任意状态x(t)可表达为：可表达为：x(t)=(t;t0,x(t0),u(t)平衡状态平衡状态xe零输入状态下的不变状态，有零输入状态下的不变状态，有 xe=(t;t0,xe,0)=常量常量对于线性定常对于线性定常连续连续系统：系统：xe为平衡状态为平衡状态线线性定常性定常离散离散系系统统：x(k+1)=Gx(k)(2)第107页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.2.2 几个稳定性概念几个稳定性概念 可见，由线性定常连续系统（可见，由线性定常连续系统（1）、离散系统（）、离散系统（2）：）：xe=0线性定常系统：线性定常系统：xe=0是唯一的渐近稳定的平衡状态。是唯一的渐
37、近稳定的平衡状态。(1)李亚普若夫意义下的稳定性李亚普若夫意义下的稳定性(SisLStability in the sense of lyapunov 或或i.s.L 稳定稳定)xe平衡状态，平衡状态，x0初始状态（初始状态（t0时刻）时刻）当且仅当当且仅当对于任一实数对于任一实数 0，对应地存在一个实数对应地存在一个实数 0，使：，使：|x0-xe|时，从任一初始状态时，从任一初始状态x0出发的零输入响应出发的零输入响应(t;t0,x0,0)都满足都满足|(t;t0,x0,0)-xe|,t t0则称则称xe为为lyapunov意义下稳定的（意义下稳定的（SisL）。）。第108页，讲稿共13
38、0张，创作于星期二 球域球域s()，半径为，半径为；球域球域s()，半径为，半径为 。s()内的状态的自由运动总在内的状态的自由运动总在s()内。内。若若 与与t0无关，则称此平衡态无关，则称此平衡态xe是是i.s.L一致稳定的，如下图。一致稳定的，如下图。一般，一般，=(,t0)，即与，即与 和和t0有关；有关；状状态态空空间间，以，以xe为为原点，原点，对给对给定正定正实实数数，以，以xe为为球心、球心、为为半径半径构造一个超球体，球域构造一个超球体，球域记为记为s()。几何解释：几何解释：第109页，讲稿共130张，创作于星期二(2)渐近稳定渐近稳定（ASasymptotic stabi
39、lity）称平衡态称平衡态xe是渐近稳定（是渐近稳定（AS）的，如果满足：）的，如果满足：xe是是i.s.L稳定的；稳定的；对对于于 (,t0)和任意和任意给给定的定的实实数数 0，对应对应地存在地存在实实数数 T(,t0)0使得使得满满足足的任一初的任一初态态x0出出发发的零的零输输入响入响应应都都满满足：足：|(t;t0,x0,0)-xe|,t t0+T(,t0),而且而且第110页，讲稿共130张，创作于星期二如果从任一初态如果从任一初态x0的受扰运动均为渐近稳定的，的受扰运动均为渐近稳定的，线性系统：线性系统：渐近稳定渐近稳定大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。记：记：=Sisl.=一致一
40、致Sisl.=AS.=一致一致AS.=大范围大范围AS.=大范围一致大范围一致AS.几种稳定定义的包含关系：几种稳定定义的包含关系：线性系统：线性系统：则称平衡状态是则称平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。）（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。）xe为大范围渐近稳定：为大范围渐近稳定：第111页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.3 李亚普若夫第一法李亚普若夫第一法9.5.3.1线性定常连续系统的渐近稳定性线性定常连续系统的渐近稳定性 线性定常连续系统：线性定常连续系统：若若u(
41、t)=0,t0;对任意对任意x(0),有有称为系统是渐近稳定的。称为系统是渐近稳定的。定理定理4.1特征值判据特征值判据线性定常连续系统为渐近稳定的充要线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是：条件是：系统矩阵系统矩阵A的全部特征值都具有负实部，即的全部特征值都具有负实部，即 iA的特征值。的特征值。第112页，讲稿共130张，创作于星期二几个判据几个判据1必要条件判据必要条件判据若线性定常系统为若线性定常系统为AS，则特征多项式，则特征多项式的系数的系数 i(i=0,1,n-1)必全为正。必全为正。系统为系统为AS i0(i=0,1,n-1)；有缺项或有负的有缺项或有负的系统不是系统不是AS。
42、第113页，讲稿共130张，创作于星期二2Hurwitz行列式判据行列式判据:线性定常系统为线性定常系统为AS的充要条件判据的充要条件判据第114页，讲稿共130张，创作于星期二3Lienardchipart判据判据只需要计算一半只需要计算一半Hurwitz行列式。行列式。例例9.37 例例9.38第115页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.3.2线性定常离散系统的渐近稳定性线性定常离散系统的渐近稳定性若对于任意若对于任意x(0),有有定理定理4.2特征值判据特征值判据线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：G的所有特征值的幅值均小于的所有特征值的幅值均
43、小于1，即，即（即（即G的特征值的特征值 i均位于均位于Z平面的单位内）。平面的单位内）。第116页，讲稿共130张，创作于星期二9.5.4李亚普若夫第二法李亚普若夫第二法基本思路：基本思路：从能量观点进行稳定性分析：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡
44、状态是不稳定的；平衡状态是不稳定的；3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。意义下的稳定。由于实际系统的复杂性和多样性，往往由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系的能量关系;于是于是Lyapunov定义了一个正定的标量函定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。微分的符号特征来判断系统的稳定性。第117页，讲稿共130张，创作于星期二9
45、.5.4.1(实实)二次型二次型 一般的一个实二次型是指一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式个变量的二次齐次多项式可写成：可写成：其中其中qij=qji。其系数确定了一个其系数确定了一个n阶实对称矩阵：阶实对称矩阵：第118页，讲稿共130张，创作于星期二Q称为二次型称为二次型(2)的矩阵。的矩阵。设设x=x1,x2,xnT，则实二次型，则实二次型(2)可记为：可记为：f(x1,x2,xn)=xTQx定义定义(实实)二次型是二次型是xRn的标量函数的标量函数f(x1,x2,xn)=xTQx式中，式中，Q为一实对称为一实对称n n矩阵，称为二次型矩阵，称为二次型f的矩阵，并将的矩阵，并
46、将Q的秩的秩称为二次型称为二次型f的秩。的秩。x 0,若若xTQx0,则称二次型则称二次型f为为正定正定的，的，Q称为正定矩阵，称为正定矩阵，记为记为Q0。x 0,若若xTQx0,，则称二次型，则称二次型f为为半正定半正定的，的，Q称为半正定称为半正定矩阵，记为为矩阵，记为为Q0。若若xTQx0(0),称称f为负定的为负定的(半负定的半负定的)，Q称为称为负定负定(半负定半负定)矩阵，矩阵，记为记为Q0V(x)为正定二次型。为正定二次型。V(x)称为二次型称为二次型Lyapunov函数。函数。第122页，讲稿共130张，创作于星期二定理定理4.3设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定系统平
47、衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例9.39设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：由平衡点方程得由平衡点方程得解得唯一的平衡点为解得唯一的平衡点为x1=0,x2=0,即即xe=0,为坐标原点。选为坐标原点。选故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是渐近稳定渐近稳定的。的。第123页，讲稿共130张，创作于星期二定理定理4.4设系统的状态方程为设系统的状态方程为若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是渐近稳定渐近稳定的。的。试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的
48、稳定性。例例9.40设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在可见系统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的。处是稳定的，但不是渐近稳定的。第124页，讲稿共130张，创作于星期二定理定理4.5设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例9.41设系统的状态方程为设系统的状态方程为若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是不稳定不稳定的。的。解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在可见系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的
49、。第125页，讲稿共130张，创作于星期二定理定理4.6设系统的状态方程为设系统的状态方程为若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是不稳定不稳定的。的。试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例9.42设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选由于当由于当x1为任意值，为任意值，x2=0时时而而所以所以x2=0是暂时的，是暂时的，不会恒等于零，故系统是不稳不会恒等于零，故系统是不稳定的。定的。第126页，讲稿共130张，创作于星期二因因k0,故故M0(正定正定)。对于二次型对于二次型V(x)=xTQx,
50、Q0：9.5.4.3线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析定理定理4.7线性定常自治系统线性定常自治系统若存在二次型若存在二次型Lyapunov函数，则此系统是函数，则此系统是渐近稳定渐近稳定的。的。第127页，讲稿共130张，创作于星期二由此，给出由此，给出检验任意函数是否为检验任意函数是否为lyapunov函数的方法函数的方法：1）选一实数对称矩阵）选一实数对称矩阵Q0.2）由）由ATQ+QA=-M，算出，算出M.3）若）若M0,则则V(x)=xTQx是一个是一个lyapunov函数，系统是函数，系统是AS；若若M0,则需另选一则需另选一Q0，再作检验。，再作检验