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1、第三章状态空间分析法第1页，本讲稿共48页三、状态和状态变量状态状态动力学系统的状态是表征系统运动的信息。只要知道t0的状态和tt0的输入，就能完全确 定tt0的 行为。状态变量状态变量是确定系统状态的最小一组变量。eg：x1(t),x2(t),x n(t)是一组状态变量。*状态变量并不一定是物理上可测或可观察的量。但为最佳控制规律需要把所有这些状态变量反馈，故最好为测量。状态向量状态向量将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，Z(t)就叫做状态变量。第2页，本讲稿共48页状态空间状态空间由x1轴，x2轴,，xn轴所组成的n维空间叫做 状态空间，任意状态则为其中一个点。例：第3页，本讲稿共
2、48页3-2 系统状态空间的表达式 线性微分方程作用函数中不含有导数项的n阶系统的状态空间表达式：y(n)+a1y(n-1)+an-1+any=u由数学知识知，若y(0),(0),y(n-1)(0)和t0时u(t)则系统未来的行为就可知。设：则微分方程可表示为：第4页，本讲稿共48页或者：第5页，本讲稿共48页输出方程为：或者：Y=CZ 第6页，本讲稿共48页例：设系统方程为 求状态空间表达式。解：设状态变量为：y-输出；u-输入。故有-11-66-6第7页，本讲稿共48页所以标准形式：状态变量的非唯一性：假设x,x,x是一组状态变量，则可取任一组函数。作为另一组状态变量，若对每一组，值都对应
3、于唯一的一组 的值，反之也成立。则：也是一个状态变量。P是非奇异的。第8页，本讲稿共48页阶矩阵A的特征值：即：|I-A|=0的根。设：特征方程：矩阵A的特征值为-1，-2，-3。第9页，本讲稿共48页例：上例中：假设一组新变量Z1，Z2，Z3作如下变换 第10页，本讲稿共48页特征值的不变性：证明：|I-P-1AP|=|P-1P-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|I-A|P|=|P-1|P|I-A|=|P-1 P|I-A|=|I-A|第11页，本讲稿共48页若 q将nn阶矩阵化成对角线矩阵：具有互不相同的特征值。式中：为A的n个特征值。第12页，本讲稿共48页若A 含有多重特征
4、值，则A不能化为对角矩阵，而只能化为约当标准型矩阵。比如：例：解：第13页，本讲稿共48页因此：令：3-33-1-6-2第14页，本讲稿共48页 具有r个作用函数的线性微分方程描述的n阶系统的 状态空间表达式：线性对象输出元件第15页，本讲稿共48页q作用函数含有导数项的线性微分方程所描述的n阶线性系统的状态空间表达式：当作一组状态变量，并且也不能采用前面的简洁方法。这是因为n个一阶微分方程。第16页，本讲稿共48页在 时，可能得不到唯一的解。q作为一状态变量必须是能消去状态方程中u的导数项。取：式中：第17页，本讲稿共48页就能保证状态方程解的存在性和唯一性。由上述可得：或：第18页，本讲稿
5、共48页该表达式表示了传递函数：例、研究图所示的控制系统，闭环传递函数为：解：对应的微分方程为：令：第19页，本讲稿共48页其中：第20页，本讲稿共48页3-3 定常系统状态方程的解法 齐次状态方程的解法：（纯量微分方程）假设x(t)为：将所设解代入方程中可得：显然有：第21页，本讲稿共48页的值可将t=0代入方程求得，即：方程的解x(t)可写为：现在来解矩阵微分方程：式中 x=n维向量，A=nn常系数矩阵设方程解为t的向量幂级数形式，即：要求t的同幂项系数相等，即：第22页，本讲稿共48页 将t=0代入方程中可得：方程的解：第23页，本讲稿共48页矩阵指数：一个nn阶矩阵A的矩阵指数：对于所
6、有有限时间是绝对收敛的。微分性：第24页，本讲稿共48页 齐次状态方程的拉普拉氏解法。首先考虑纯量状态方程：对方程取拉氏变换：第25页，本讲稿共48页 状态转移矩阵：的解写成为 x(t)=(t)x(0)式中(t)是nn阶矩阵，且是：的唯一解。由上可知：注意：状态转移矩阵第26页，本讲稿共48页状态转移矩阵的性质例：求系统的状态转移矩阵 和状态转移矩阵的逆第27页，本讲稿共48页解：由于：第28页，本讲稿共48页第29页，本讲稿共48页非齐次状态方程的解对纯量方程：或：第30页，本讲稿共48页非齐次状态方程：同理可求出：非齐次状态方程的拉普拉斯变换解法：略解得：第31页，本讲稿共48页解：由上例
7、：第32页，本讲稿共48页如果初始条件为零：第33页，本讲稿共48页3-4传递矩阵传递矩阵是传递函数的推广，传递函数：状态方程为：第34页，本讲稿共48页例：如图所示的传达室递函数：解：由图状态方程：5-22-23-12知阵表达式：第35页，本讲稿共48页所以，传递函数：传递矩阵G（s）：Y（s）=G(s)U(s)（1）若ur 维向量，ym 维向量，A则为m.r矩阵。则式展开为：第36页，本讲稿共48页表示第i个输出，j个输入的传递函数，即 传递函数矩阵为 如多变量控制的方框图为：第37页，本讲稿共48页多输入多输出系统消除交链的问题：设对象的传递函数阵为 （n*n阶矩阵），现设计一组补偿器
8、（也是n阶矩阵），使得n个输入和n个输出是相互独立的。即第38页，本讲稿共48页则闭环传递矩阵：现考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵，则：其中：或：由于 是对角阵，所以 也是对角阵。也是一个对角阵。第39页，本讲稿共48页例：现有一如图所是示的系统，试确定一组补偿器的传递矩阵，使得闭环传递矩阵为：1第40页，本讲稿共48页解：由于第41页，本讲稿共48页第42页，本讲稿共48页35 线形时变系统 状态空间法可适用于线形的时变系统。只要将转移矩阵 改为 ，前面 大部分都适用于时变系统的分析。但对时变系统而言，转移矩阵通常是不能用矩阵函数给出的。时变系统状态方程的解法：1、对纯量微分方程：其解为：状态
9、转移矩阵函数为：v这个结果不能用于矩阵微分方程。第43页，本讲稿共48页 2状态方程 维列向量阶矩阵，其各元素在 内是t的分段连续函数 解为：式中 为非奇异矩阵矩阵 就是由状态方程所描述的时变系统的状态转移矩阵。第44页，本讲稿共48页时变系统的状态转移矩阵 当 和 是可交换时，状态转移矩阵 才可用矩阵指数表示。为了能用数值计算方法计算 ，可将 展开成级数形式：通常,不能用封闭形式给出 。第45页，本讲稿共48页例如：求时变系统 的 。解：采用上述方程的形式：第46页，本讲稿共48页状态转移矩阵 的一些性质 线形时变状态方程的解法：状态方程：式中 x=n 维向量 u=r 维向量设 、的各元素都是在时间 间隔内分段连续。方程的解为：第47页，本讲稿共48页第48页，本讲稿共48页