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1、第七章第七章 状态空间描述法状态空间描述法 7.1 7.1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 7.2 7.2 状态方程求解状态方程求解 7.3 7.3 可控性与可观测性可控性与可观测性7.4 7.4 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器End End 控制理控制理论的的发展展经典控制典控制论：现代控制代控制论：大系大系统理理论、智能控制理、智能控制理论：时间：本世：本世纪30-50年代年代对象：象：线性定常，性定常，单输入入输出系出系统方法：方法：传递函数，函数，频域特性域特性时间：本世：本世纪50-70年代年代对象：象：时变、离散、非、离散、非线性的多性的多输入入输出系出系统
2、方法：方法：时域，域，线性代数，状性代数，状态空空间时间：本世：本世纪60年代末年代末-今今对象：复象：复杂系系统，交叉学科，生医、信号，交叉学科，生医、信号处理、理、软件算法件算法方法：人工智能，神方法：人工智能，神经网网络，模糊集，运筹学，模糊集，运筹学现代控制代控制论的的五个分支：五个分支：建模和系统辨识建模和系统辨识最优滤波理论最优滤波理论最优控制最优控制自适应控制自适应控制线性系统理论线性系统理论现代控制原理代控制原理预览建模建模分析分析设计状状态空空间表达式表达式建立建立求解求解转换可控可控性性可可观性性稳定性定性状状态反反馈状状态观测器器最最优控制控制线性系性系统理理论是是现代控
3、制代控制论的基的基础最完善，技最完善，技术上上较为成熟，成熟，应用最广泛用最广泛的部分的部分主要研究主要研究线性系性系统在在输入作用下状入作用下状态运运动过程的程的规律和改律和改变这些些规律的可能性律的可能性与措施与措施建立和揭示系建立和揭示系统的的结构性构性质、动态行行为和性能之和性能之间的关系的关系主要研究内容包括状主要研究内容包括状态空空间描述、能空描述、能空性、能性、能观性和状性和状态反反馈、状、状态观测等等现代控制代控制论VS经典控制典控制论特特 点点已工程化，直观，具体，已工程化，直观，具体，精度一般精度一般已规范化，精度高，有标已规范化，精度高，有标准的算法程序准的算法程序控制器
4、控制器以模拟硬件为主以模拟硬件为主以单片机、微处理器，软以单片机、微处理器，软件为主件为主结构图结构图经经 典典现现 代代时时 间间1940-1960年年1960年至现在年至现在数学模型数学模型传递函数、微分方程传递函数、微分方程传递矩阵、状态方程传递矩阵、状态方程数学工具数学工具常微分方程、复变函数、常微分方程、复变函数、Laplace变换等变换等矩阵理论、泛函分析、矩阵理论、泛函分析、概率统计等概率统计等应用范围应用范围单输入单输出线性定常单输入单输出线性定常连续、离散时变集中参连续、离散时变集中参数系统数系统多输入多输出连续、离多输入多输出连续、离散时变集中参数系统散时变集中参数系统应用
5、情况应用情况极为普遍极为普遍范围广范围广经典控制典控制论以微分方程或以微分方程或传递函数函数为描述系描述系统动态特性的数学模型特性的数学模型常采用常采用频域分析法分析系域分析法分析系统特性特性表达系表达系统输入与入与输出之出之间的关系的关系只描述系只描述系统的外部特性，不反的外部特性，不反应内部各物理量的内部各物理量的变化化仅仅考考虑零初始条件，不足以揭示系零初始条件，不足以揭示系统全部特性全部特性现代控制代控制论采用状采用状态空空间表达式作表达式作为系系统的数学模型的数学模型用用时域分析系域分析系统输入、入、输出与内部状出与内部状态之之间的关系的关系状状态空空间表达式是一表达式是一阶矩矩阵-
6、向量微分方程向量微分方程组揭示系揭示系统内部的运内部的运动规律，反律，反应系系统动态特性的全部信息特性的全部信息7.1.状状态和状和状态空空间基本概念基本概念(5)状状态方程方程：描述系：描述系统状状态与与输入之入之间关系的、一关系的、一阶微微分方程（分方程（组）：）：(6)输出方程出方程：描述系：描述系统输出与状出与状态、输入之入之间关系的数关系的数学表达式：学表达式：(7)状状态空空间表达式表达式：(5)+(6).(4)状状态空空间：以状：以状态变量量为坐坐标轴构成构成的的n维空空间7.1.状状态和状和状态空空间 1.1.先看一个例子先看一个例子先看一个例子先看一个例子：例例7.1 试建立
7、建立图示示电路的数学模型。路的数学模型。RLCi(t)ur(t)uc(t)思考和第二章思考和第二章建模的区别建模的区别“经典典”是是高高阶微分微分，一个方程一个方程，无中，无中间变量量“现代代”是是一一阶微分微分，一个方程一个方程组，有中，有中间变量量经典控制论中：经典控制论中：n阶系统阶系统n阶微分方程阶微分方程只是输入与输出的关系，无中间变量只是输入与输出的关系，无中间变量现代控制论中：现代控制论中：n阶系统阶系统n个一阶微分方程个一阶微分方程体现输入，输出与各个中间变量的线性关系体现输入，输出与各个中间变量的线性关系在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道uc(t)和和
8、i(t)的的变化特性，化特性，则其其他他变量的量的变化均可知道。故化均可知道。故uc(t)和和i(t)称称为“状状态变量量”。记转换成矩成矩阵方程方程一一阶矩矩阵微分方微分方程式程式7.1.状状态和状和状态空空间基本概念基本概念(1)状状态：系系统过去、去、现在和将来的状况在和将来的状况(2)状状态变量量：能能够完全表征系完全表征系统运运动状状态的最小一的最小一组变量：量：表示系表示系统在在时刻的状刻的状态若初若初值给定，定，时的的给定，定，则状状态变量完全量完全确定系确定系统在在时的行的行为。淡化了淡化了输出的概念，都出的概念，都归结为状状态变量量已知已知输入及所有状入及所有状态变量量，就能
9、刻画整个系，就能刻画整个系统如上例中如上例中,为系系统的状的状态向量，向量，为状状态变量。量。(3)状状态向量向量：以系：以系统的的n个独立状个独立状态变量量作作为分量的向量，即分量的向量，即7.1.状状态和状和状态空空间基本概念基本概念(5)状状态方程方程：描述系：描述系统状状态与与输入之入之间关系的、一关系的、一阶微微分方程（分方程（组）：）：(6)输出方程出方程：描述系：描述系统输出与状出与状态、输入之入之间关系的数关系的数学表达式：学表达式：(7)状状态空空间表达式表达式：(5)(6).(4)状状态空空间：以状：以状态变量量为坐坐标轴构成构成的的n维空空间求上述求上述RLC电路的状路的
10、状态空空间表达式表达式状态方程状态方程输出方程输出方程状状态空空间表达式表达式其中其中状状态空空间表达式就是用状表达式就是用状态向量将向量将状状态方程和方程和输出表示出来出表示出来求上述求上述RLC电路的状路的状态空空间表达式表达式状状态空空间表达式表达式状状态空空间表达式表达式 1)1)选取取 n n个状个状态变量量；确定；确定输入入、输出出变量；量；建立状建立状态空空间表达式的步表达式的步骤状状态变量量、输入入变量、量、参数参数输出出变量、量、状状态变量量、输入入变量、量、参数参数 2)2)根据系根据系统微分方程列出微分方程列出n n个个一一阶微分方程微分方程；3)3)根据系根据系统微分方
11、程，列出微分方程，列出m m个个代数方程代数方程。结论：(1)(1)状状态变量量选取具有取具有非唯一性非唯一性。状。状态变量个数量个数系系统的的阶次；次；(2)(2)状状态变量具有量具有独立性独立性；(3)(3)不同不同组状状态变量之量之间可做等价可做等价变换线性性变换。三三.状状态变量的量的选取取1.状状态变量的量的选取是非唯一的。取是非唯一的。2.选取方法取方法（1）可）可选取初始条件取初始条件对应的的变量或与其相关的量或与其相关的变量作量作为系系统的状的状态变量。量。（2）可）可选取独立取独立储能（或能（或储信息）元件的特征信息）元件的特征变量或量或与其相关的与其相关的变量作量作为控制系
12、控制系统的状的状态变量。（如量。（如电感感电流流i、电容容电压uc、质量量m 的速度的速度v 等。等。系统的状态变量选取是不唯一的（对应空间的基不唯一）系统的状态变量选取是不唯一的（对应空间的基不唯一）不同组状态变量对系统的表达形式不同不同组状态变量对系统的表达形式不同变量的个数是唯一的，等于系统的阶数（空间的维度）变量的个数是唯一的，等于系统的阶数（空间的维度）例例7.3已知系已知系统微分方程微分方程组为 其中，其中，ur为输入，入，uc为输出，出，R1、C1、R2、C2为常数。常数。试列写系列写系统状状态方程和方程和输出方程。出方程。解：解：选写成向量写成向量矩矩阵形式：形式：四四.状状态
13、空空间表达式表达式1.单输入入单输出出线性定常性定常连续系系统SISO系系统中，中，y和和u是是标量量MIMO系系统中，中，y和和u是向量是向量所有状所有状态分量的一分量的一阶导是其他状是其他状态分量与分量与输入入的的线性性组合合2.一般一般线性系性系统状态空间表达式（状态空间表达式（p输入输入q输出）输出）3.线性性定常定常系系统状态空间表达式状态空间表达式 （t 域）域）（域）域）uxyBCDAb)结构构图系系统A a)结构关系构关系图DBC不管不管X再怎么状再怎么状态改改变，输出只与状出只与状态变量有关，与状量有关，与状态变量的改量的改变无关无关五五.线性定常系性定常系统状状态空空间表达
14、式的建立表达式的建立1.方法方法:机理分析法、机理分析法、实验法法2.线性定常性定常单变量系量系统(单输入入单输出系出系统)(1)由微分方程建立由微分方程建立在在输入量中不含有入量中不含有导数数项时：微分方程有几微分方程有几阶，就，就有几个状有几个状态变量量写成向量写成向量-矩矩阵形式形式例例7.4已知系已知系统微分方程微分方程为 列写系列写系统的状的状态空空间表达式。表达式。解：解：选反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数输入量中含有入量中含有导数数项时：转为传递函数法函数法设控制系控制系统由下列由下列 n n 阶微分方程来描述微分方程来描述这时，不能，
15、不能简单地把地把 选作状作状态变量，量，即不能采即不能采用上述的方法用上述的方法。因。因为采用上述方法化成一采用上述方法化成一阶微分方程微分方程组 这样，最后一个方程中包含了，最后一个方程中包含了输入信号入信号 的各的各阶导数，数，系系统将得不到唯一解。将得不到唯一解。输入量中含有入量中含有导数数项时：转为传递函数法函数法手段：引入手段：引入变量，改量，改变方程方程组形式形式目目标：生成的状：生成的状态方程方程组右右边不能有不能有u的的导数数方法：方法：可控可控规范型范型实现能能观测规范型范型实现对角角线规范范实现约当当规范型范型实现不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的状态变量选取方法获得
16、的对系统不同的表示方式不同的表示方式可控可控规范型范型实现分子分子阶数小于数小于分母分母阶数数传递函数函数多多项式表式表达形式达形式反反拉拉普普拉拉斯斯和前面和前面一致一致令状令状态变量量B）bn0分子分母同分子分母同阶与上面做法相同与上面做法相同例例7.5已知系已知系统的的传递函数函数为 试求其能控求其能控规范型范型实现解解:由由bn=b3=0,对照照标准型准型,可得可得实现为例例7.67.6 已知系已知系统的的传递函数函数为试求其能控求其能控规范型范型实现解解:由由bn=b30,对照照标准型准型总结：能控：能控标准型准型实现写成状写成状态方程和方程和输出方程出方程正常情况下，正常情况下，n
17、m。分母首位系分母首位系数数为1例例 已知系已知系统的的传递函数函数为试求出其求出其对应的能控的能控标准型。准型。解解:首先把首先把G(s)分母中分母中s最高次最高次项系数系数变成成1,用用2除除G(s)的分母与分子的分母与分子,得得直接写出系直接写出系统的能控的能控标准型准型:与能控规范型关系：与能控规范型关系：A*=AT，B*=CT，C*=BT 能能观测规范型范型实现能控能控标准型和能准型和能观测标准型：其系准型：其系数矩数矩阵互互为转置关系置关系,而前者的而前者的b为后者的后者的CT,前者的前者的CT为后者的后者的b。具具有有这种种结构关系的称构关系的称为互有互有对偶对偶关关系。系。例例
18、7.7已知系已知系统的的传递函数函数为 试求其能求其能观测规范型范型实现。反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数对角角线规范范实现 重点在于重点在于，与传递函数系数之间的关系与传递函数系数之间的关系结构构图+x1y(t)u(t)1 1c1x22 2c c2xnn nc cn+信号流信号流图 （t 域）域）（域）域）解：解：则对角角线规范型范型实现为的的对角角线规范型范型实现，并画出系，并画出系统状状态图。例例7.8求求当当G(s)有重极点有重极点时，设-pi中有中有k重极点重极点约当当规范型范型实现-特征方程有重根特征方程有重根时对角块对角块约当块约当块约
19、当当规范型范型实现-特征方程有重根特征方程有重根时 例例7.9由状由状态空空间表达式求表达式求传递函数函数已知已知其取拉式其取拉式变换：例如：某系例如：某系统统的状的状态态方程方程为为：求其求其传递函数函数7.2 7.2 状态方程求解状态方程求解线性定常性定常连续系系统1.齐次状次状态方程的解方程的解（1 1）幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法设解为：设解为：拉氏变换法拉氏变换法由由两两边取拉氏取拉氏变换，得得SX(s)-X(0)=AX(s)(SI A)X(s)=X(0)X(s)=(SIA)-1.X(0)两两边取拉氏反取拉氏反变换x(t)=L-1X(s)=L-1(SI-A)-1X(0)=L-1(
20、SI-A)-1X(0)比比较前式，有前式，有eAt=L-1(SI-A)-1 状状态转移矩移矩阵的运算的运算性性性性质质(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+(0)=I初始状初始状态 (2)(t1t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)-线性关系性关系-1(t)=(-t)，-1(-t)=(t)-可逆性可逆性x(t)=(t-t0)x(t0)x(t0)=(t0)x(0),则x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0)=(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A可分
21、可分阶段段转移移(t)k=(kt)e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)e(A+B)teAt.eBteBt.eAt(ABBA)引入非奇异引入非奇异变换后，后，两种常两种常见的状的状态转移矩移矩阵 例例7.13设有一控制系有一控制系统，其状，其状态方程方程为 在在t0=0时，状，状态变量的初量的初值为x1(0)x2(0)x3(0),试求求该方程的解。方程的解。试求求A及及(t)。例例7.14设系统状态方程为设系统状态方程为解方程解方程组得，得，11(t)=2e-te-2t,12(t)=2e-t2e-2t21(t)=-e-t+e-2t,22(t)=-e-t+2e-2t例例7.
22、15设系系统运运动方程方程为式中式中a、b、c均均为实数，数，试求：求：求系求系统状状态空空间表达式。表达式。求系求系统状状态转移矩移矩阵。2.非非齐次状次状态方程方程的解的解直接法（直接法（积分法）分法）(2)拉氏拉氏变换法法sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s)(由由eAt=-1(sI-A)-1可得可得)例例7.16在上例中，当在上例中，当输入函数入函数u(t)=1(t)时，求系，求系统状状态方程的解。方程的解
23、。例例7.17设有一有一电液位置伺服系液位置伺服系统，已知系，已知系统方方块图如下如下所示。所示。试用状用状态空空间法法对系系统进行分析行分析。解：解：由由图32/s1-电动伺服伺服阀放大器放大器油缸油缸位移位移传感器感器u(s)y(s)7.3 7.3 可控性与可观测性可控性与可观测性本章本章主要内容主要内容：线性线性定常定常系统的可控性的系统的可控性的定义定义及及判别判别线性线性定常定常系统的可观测性的系统的可观测性的定义定义及及判别判别可控性与可观测性的可控性与可观测性的对偶原理对偶原理可控标准型和可观测标准型可控标准型和可观测标准型可控性可控性：反映了控制：反映了控制输入输入对系统对系统
24、状态状态的制约能力。的制约能力。输入能否控制状态输入能否控制状态（控制问题）（控制问题）可观性可观性：反映了：反映了输出输出对系统对系统状态状态的判断能力。的判断能力。状态能否由输出反映状态能否由输出反映（估计问题）（估计问题）7.3 7.3 可控性与可观测性可控性与可观测性能控性和能能控性和能观性是性是现代控制代控制论中的两个重要的基本概念中的两个重要的基本概念现代控制代控制论建立在状建立在状态空空间描述的基描述的基础上上状状态方程：方程：输入入u(t)引起的状引起的状态x(t)的的变化化过程程输出方程：状出方程：状态变化化对输出的影响出的影响能控性：分析能控性：分析u(t)对状状态x(t)
25、的控制能力的控制能力能能观性：分析性：分析y(t)对状状态x(t)的反的反应能力能力-（控制（控制问题）-（估（估计问题）例例2-12-1：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。可以控制可以控制 无法反映无法反映 系系统完全可控！完全可控！系系统不完全可不完全可观！设线性定常性定常连续系系统的状的状态空空间表达式表达式为：如果存在一个控制如果存在一个控制u u(t t)，能在有限，能在有限时间间隔隔 t to o,t tf f 内，内，使系使系统从其一初从其一初态x x(t to o)转移到任意指定的移到任意指定的终态x x(t tf f)，
26、则称称此状此状态x x(t to o)是完全可控的，是完全可控的，简称系称系统可（能）控。（只要有可（能）控。（只要有一个状一个状态变量不可控，量不可控，则系系统不可控）。不可控）。二、定二、定义1.可控性可控性定定义三、可控性与可三、可控性与可观测性判据性判据 系系统在在稳定定输入入u u(t t)作用下，作用下，对任意初始任意初始时刻刻t to o ，若能，若能在有限在有限时间间隔隔 t to o,t tf f 之内，根据从之内，根据从t to o到到t tf f对系系统输出出y(t)y(t)的的观测值和和输入入u(t)u(t)，唯一地确定系，唯一地确定系统在在t to o时刻的状刻的状态
27、x x(t to o)，则称系称系统是状是状态完全可完全可观测的，的，简称系称系统可（能）可（能）观测。（只要有一个状（只要有一个状态变量不能（可）量不能（可）观测，则系系统不可不可观测）。）。2 2.可观测性可观测性定义定义可控可控规范型：范型：=-=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.可控性判据可控性判据线性定常性定常连续系系统状状态完全可控的充要条件是完全可控的充要条件是可控性判可控性判别阵：必必须满秩。即秩。即（n为系系统维数）数）判据一判据一：试判判别其状其状态的可控性。的可控性。解：解：例例7.18设系系统状状态方程方程为：系系统可控！可
28、控！设线性定常系性定常系统具有互异的特征具有互异的特征值，则系系统可控的可控的充要条件是，系充要条件是，系统经非奇异非奇异变换后的后的对角角线规范型方程：范型方程：中，中，阵不包含元素全不包含元素全为零的行。零的行。判据二判据二:例例7.19已知三已知三阶二二输入系入系统状状态方程方程,试判判别其状其状态的的可控性。可控性。解：解：不可控！不可控！例例7.20试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。可控性。例例7.21试判断下列已判断下列已经非奇异非奇异变换成成约当当规范型的系范型的系统的的可控性。可控性。中，与每个中，与每个约当
29、小当小块的最后一行相的最后一行相对应的的阵中的所有那些行，其元素不全中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个零。（若两个约当当块有有相同特征相同特征值，此，此结论不成立。）不成立。）约当规范型约当规范型 判据三：判据三：判判据据一一:线性性定定常常连续系系统状状态完完全全能能观测的的充充分分必必要要条件条件为可可观测性矩性矩阵:2.可观测性判据可观测性判据必必须满秩，即秩，即rankQo=n（n为系系统维数）数）可可观测规范型：范型：例例7.22已知系已知系统的的A,C阵如下，如下，试判断其可判断其可观性。性。例例9.23试判判别如下系如下系统的可的可观测性。性。解：解：解：解：的矩的矩阵中不
30、包含元素全中不包含元素全为零的列。零的列。设线性性定定常常连续系系统具具有有不不相相等等的的特特征征值,则其其状状态可可观测的充要条件是系的充要条件是系统经非奇异非奇异变换后的后的对角角线规范型范型:例例7.24试判判别以下系以下系统的状的状态可可观测性性.判据二判据二:中中,与每个与每个约当当块首行相首行相对应的矩的矩阵中的中的那些列那些列,其元素不全其元素不全为零。零。(如果两个如果两个约当当块有相同的特征有相同的特征值,此此结论不成立不成立)。约当当规范型范型判据三判据三:例例7.25试判判别下列系下列系统的状的状态可可观测性。性。1 1）可控可观测的充要条件：）可控可观测的充要条件：由
31、由动态方程方程导出的出的传递函数不存在零极点函数不存在零极点对消（即消（即传递函函数可数可约）。）。2 2）可控的充要条件：）可控的充要条件：(SI-A)-1b不存在零极点不存在零极点对消。消。3 3）可观测的充要条件：）可观测的充要条件：c(SI-A)-1不存在零极点不存在零极点对消。消。四、四、能控能观性与传递函数的关系能控能观性与传递函数的关系例例7.26判断以下系判断以下系统的状的状态可控性与可可控性与可观测性。性。1.单输入入单输出系出系统例例7.27系系统传递函数如下，判断其可控性与可函数如下，判断其可控性与可观测性。性。解：解：，故不，故不满足足可控可可控可观测的条件的条件。2.
32、多多输入多入多输出系出系统1）可控的充要条件：）可控的充要条件：(SI SI-A A)-1-1B B 的的的的n n行线性无关。行线性无关。行线性无关。行线性无关。2）可观测的充要条件：）可观测的充要条件：C C(SI SI-A A)-1-1的的的的n n列线性无关。列线性无关。列线性无关。列线性无关。例例7.28用两种方法用两种方法验证：系：系统（1）的状）的状态可控性；系可控性；系统（2）的状）的状态可可观测性。性。例例7.29五、五、对偶原理偶原理设系统设系统S1(A1,B1,C1)与系统与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则互为对偶系统，则:若系若系统S1(A1,B1,C1)可
33、控可控可控可控，则系系统S2(A2,B2,C2)可可可可观测观测；若系若系统S1(A1,B1,C1)可可可可观测观测，则系系统S2(A2,B2,C2)可控可控可控可控；证明：明：六、六、线性系性系统的的规范分解范分解*例例7.30判断以下系判断以下系统及其的状及其的状态可控性与可可控性与可观测性。性。线性系性系统可分解可分解为四种系四种系统：能控能控能能观测1 2.3.4.1.能控性能控性规范分解范分解定理定理n 阶阶系系统统(A,B,C)，rankQc=kn，则则通通过过非奇异非奇异变换变换可可导导出原系出原系统统按能控性按能控性规规范分解的新系范分解的新系统统(Ac,Bc,Cc)，有，有x
34、c是是k维维能控状能控状态态分量，分量，为为(n-k)维维不能控分量，不能控分量，为为能控子系能控子系统统。5-3 Tc的求法：的求法：i)从从QC中任中任选k(rankQC=k)个个线性无关的列向量，性无关的列向量，它它为Tc的前的前k列：列：V1,V2,Vk；ii)在在Rn中再中再选n-k个个列向量，列向量，记为Vk+1,Vn,需使得：需使得：为为非奇异。非奇异。设线性定常系性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能如下，判断其能控性；若不完全能控，控，试将将该系系统按能控性按能控性进行分解。行分解。例例7.31 解解系系统能控性判能控性判别阵rankQc=2n=3,所以系所以系统是是不完全
35、能控不完全能控的。的。其中其中Tc3是任意是任意的，只要能保的，只要能保证Tc非奇异即可。非奇异即可。变换后的系后的系统的状的状态空空间表达式表达式即即能控子系能控子系统为为能能观测子系子系统。可将原系可将原系统变换为统变换为按能按能观测规观测规范分解的新系范分解的新系统统(Ao,Bo,Co)，有，有5-4定理定理n 阶阶系系统统(A,B,C)，rankQo=rn，通，通过过非奇异非奇异变换变换，xo为r 维能能观测状状态分量；分量；是（是（n-r）维不能不能观测的状的状态分量。分量。2.能能观测性性规范分解范分解 To-1的求法的求法:i)从从Qo中任中任选r(rankWo=r)个个线性无关
36、性无关的行向量，作的行向量，作为To-1的前的前r 个行向量。个行向量。ii)在在Rn中再中再选（n-r）个行向量，构成）个行向量，构成To-1，并使，并使To-1为非奇异非奇异。例例7.32设线性定常系性定常系统如下，判断其能如下，判断其能观测性；若不性；若不完全能完全能观测，试将将该系系统按能按能观测性性进行分解。行分解。解解系系统能能观测性判性判别阵rankQo=2n所以系所以系统是是不完全能不完全能观测的。的。即即其中其中是任意的，只要能保是任意的，只要能保证证非奇异非奇异即可。即可。变换后的系后的系统的状的状态空空间表达式表达式能能观测子系子系统为3.线性系性系统的的规范分解范分解引
37、理引理系系统(A,B,C)完全能控且完全能完全能控且完全能观测的的充要条件充要条件是：是：证明明能控的充要条件：能控的充要条件：rankQc=n 能能观的充要条件：的充要条件：rankQo=n 又由又由Sylvester不等式：不等式：其中，其中，因此，系因此，系统完全能控且完全能完全能控且完全能观测，则必有必有定理定理不完全能控、不完全能不完全能控、不完全能观测的的n阶系系统(A,B,C)则可通可通过非奇异非奇异变换,将原系将原系统(A,B,C)变换为按能控性按能控性和能和能观测性性规范分解的系范分解的系统（Aco,Bco,Cco）有：）有：(1)能能控控 能能观测观测 为为能控且能能控且能
38、观测观测子系子系统统。5-5按能控性和能按能控性和能观测性性进行行规范分解的步范分解的步骤:是状是状态不完全能控和不完全能不完全能控和不完全能观测的，的，试将将该系系统按能控性按能控性和能和能观测性性进行行结构分解。构分解。可只可只须经过一次一次变换对系系统同同时按能控性和能按能控性和能观测性性进行行结构分解，但构分解，但变换阵的构造需要涉及的构造需要涉及较多的多的线性空性空间概念。下概念。下面介面介绍一种一种逐步分解逐步分解的方法。的方法。(1)先将系先将系统按按能控能控性分解；性分解；(2)将不能控的子系将不能控的子系统按按能能观测性分解；性分解；(3)将能控的子系将能控的子系统按按能能观
39、测性分解；性分解；(4)综合以上三次合以上三次变换，导出出系系统同同时按能控性和能按能控性和能观测性性进行行结构分解的表达式。构分解的表达式。例例7.33已知系已知系统解解前例已将前例已将该系系统按能控性分解按能控性分解不能控子空不能控子空间是能是能观测的，无需再的，无需再进行分解。行分解。将能控子空将能控子空间按能按能观测性性进行分解。行分解。即即综合以上两次合以上两次变换结果，系果，系统按能控性和能按能控性和能观测性性分解分解为本本 节节 总结总结1.系统状态空间表达式系统状态空间表达式2.从系统的传递函数建立状态空间表达式从系统的传递函数建立状态空间表达式3.从系统的状态空间表达式建立系统传递函数从系统的状态空间表达式建立系统传递函数4.从系统的状态空间表达式分析系统的能控性和能观性从系统的状态空间表达式分析系统的能控性和能观性