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1、.1/20 高中数学选修 2-1 测试题全套与答案 一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1给出命题：若 x2y20,则 xy0,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2若命题 pq 与命题p都是真命题,则 A命题 p 不一定是假命题 B命题 q 一定是真命题 C命题 q 不一定是真命题 D命题 p 与命题 q 的真假相同 3设 xZ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集若命题 p：xA,2xB,则 Ap：xA,2xBBp：xA,2xB Cp：x0A,2x0BDp：
2、x0A,2x0B 4命题若 f是奇函数,则 f是奇函数的否命题是 A若 f是偶函数,则 f是偶函数 B若 f不是奇函数,则 f不是奇函数 C若 f是奇函数,则 f是奇函数 D若 f不是奇函数,则 f不是奇函数 5 设U为全集,A,B是集合,则存在集合C使得CCBCAU,是BA的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6命题若ABC 有一内角为错误!,则ABC 的三内角成等差数列的逆命题 A与原命题同为假命题 B与原命题的否命题同为假命题 C与原命题的逆否命题同为假命题 D与原命题同为真命题 7 若0 x1是x0的充分不必要条件,则实数 a 的取值 X
3、围是 A B.2/20 C1,0 D 8命题 p：若 ab0,则 a 与 b 的夹角为锐角；命题 q：若函数 f在,0与上都是减函数,则 f在上是减函数下列说法中正确的是 Apq是真命题 Bpq是假命题 Cp 为假命题 Dq 为假命题 9下列命题中是假命题的是 A存在,R,使 tantan tan B对任意 x0,有 lg2xlg x10 CABC 中,AB 的充要条件是 sin Asin B D对任意 R,函数 ysin都不是偶函数 10下面四个条件中,使 ab 成立的充分不必要的条件是 Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3 11已知 A：13x,B：(2)()0 xxa,若 A 是 B
4、的充分不必要条件,则实数 a 的取值X 围是 A B4,+C-,4 D 12 已知命题 p:不等式0 的解集为 A,命题 q:不等式 x2xa0 的解集为B,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值 X 围是 A 二、填空题本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上 13 若关于 x 的不等式|xm|2 成立的充分不必要条件是 2x3,则实数 m 的取值 X 围是_ 14若命题xR,ax2ax20是真命题,则实数 a 的取值 X 围是_ 15关于 x 的方程 x2xa220 至少有一个非负实根的充要条件的 a 的取值 X围是_.3/20 16给出下列四个
5、说法：一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真；命题设 a,bR,若 ab6,则 a3 或 b3是一个假命题；x2是错误!错误!的充分不必要条件；一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 其中说法不正确的序号是_ 17已知命题 p：x1,2都有 x2a命题 q：xR,使得 x22ax2a0 成立,若命题pq是真命题,则实数 a 的取值 X 围是_ 18如果甲是乙的必要不充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要不充分条件,则丁是甲的_条件 三、解答题本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19 10 分已知命题 p:若,0ac则二次方程02cbxax没有实
6、根.写出命题 p 的否命题；判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论.2010分 已知集合Ax|x24mx2m60,Bx|x0,若命题AB是假命题,#数 m 的取值 X 围 21 10 分已知 Px|x28x200,Sx|1mx1m 是否存在实数 m,使 xP 是 xS 的充要条件,若存在,求出 m 的 X 围；若不存在,请说明理由；是否存在实数 m,使 xP 是 xS 的必要条件,若存在,求出 m 的 X 围；若不存在,请说明理由 22 10 分已知 c0,且 c1,设命题 p：函数 ycx在 R 上单调递减；命题 q：函数 fx22cx1 在错误!上为增函数,若命题pq为假,命题pq为
7、真,#数 c 的取值 X 围 23 10 分已知命题 p：方程 2x2axa20 在1,1上有解；命题 q：只有一个实数.4/20 x0满足不等式 x错误!2ax02a0,若命题 pq 是假命题,求 a 的取值 X 围 24 10 分已知数列an的前 n 项和为 Sn,数列错误!是公比为 2 的等比数列 证明：数列an成等比数列的充要条件是 a13.参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.A 11.D 12.A 提示：1逆命题为：若 xy0,则 x2y20,是真命题 否命题为：若 x2y20,则 x0 或 y0,是真命题 逆否命题为：
8、若 x0 或 y0,则 x2y20,是真命题 2p为真命题,则命题 p 为假,又 p 或 q 为真,则 q 为真,故选 B.3由命题的否定的定义与全称命题的否定为特称命题可得命题 p 是全称命题：xA,2xB,则p 是特称命题：x0A,2x0B.故选 D.4原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故若 f是奇函数,则 f是奇函数的否命题是 B 选项 5 6原命题显然为真,原命题的逆命题为若ABC 的三内角成等差数列,则ABC 有一内角为错误!,它是真命题.5/20 7x0axa2,由集合的包含关系知：错误!a1,0 8因为当 ab0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,所以命题 p 是假命题；
9、命题 q 是假命题,例如 f错误!综上可知,p 或 q是假命题.9对于 A,当 0 时,tan0tan tan,因此选项 A 是真命题；对于 B,注意到lg2xlg x1错误!2错误!错误!0,因此选项 B 是真命题；对于 C,在ABC中,ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B,因此选项C是真命题；对于 D,注意到当 错误!时,ysincos 2x 是偶函数,因此选项 D 是假命题.10.ab1ab10ab,但 a2,b1 满足 ab,但 ab1,故 A 项正确对于 B,ab1不能推出ab,排除B；而a2b2不能推出ab,如a2,b1,212,但2ba3b3,它们互为充要条件
10、,排除 D.11 由题知1324xx ,当2a 时,(2)()02xxaxa ,若 A 是B 的充分不必要条件,则有AB且BA,故有4a,即4a ；当2a 时,B=,显然不成立；当2a 时,(2)()02xxaax ,不可能有AB,故,4a .12.不等式x-1 x-20,解得 x2 或 x1,所以 A 为不等式 x2xa0 可以化为0,当a1 时,解得 x1 或 xa,即 B 为,此时 a1；当a1 时,不等式0 的解集是,此时a2,即2a1.综合知2a1.二、填空题 13.14.8,0 15.错误!16.17.,21 18.充分不必要 提示：13 由|xm|2 得2xm2,即 m2xm2.
11、依题意有集合x|2x3是x|m2xm2的真子集,于是有错误!,由此解得 1m4,即实数 m 的取值 X 围是 14由题意知,x 为任意实数时,都有 ax2ax20 恒成立 当 a0 时,20 成立.6/20 当 a0 时,由错误!得8a0,所以8a0.15.设方程的两根分别为 x1,x2,当有一个非负实根时,x1x2a220,即错误!a错误!；当有两个非负实根时,错误!错误!即错误!a错误!.综上,得错误!a错误!.16.逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故错误；此命题的逆否命题为设a,bR,若a3且b3,则ab6,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,错误；错误!错误!,则错误!错误
12、!错误!0,解得x2,所以x2是错误!错误!的充分不必要条件,故正确；否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故正确 17.若 p 是真命题,即 amin,x1,2,所以 a1；若 q 是真命题,即 x22ax2a0 有解,则 4a240,即 a1 或 a2.命题p 且 q是真命题,则 p 是真命题,q 也是真命题,故有 a2 或a1.三、解答题 19.解：命题 p 的否命题为:若,0ac则二次方程02cbxax有实根.命题 p 的否命题是真命题.证明如下:所以二次方程02cbxax有实根.故该命题是真命题.20.解：因为AB是假命题,所以 AB.设全集 Um|240,则 Um|m1 或 m
13、错误!假设方程 x24mx2m60 的两根 x1,x2均非负,则有 错误!错误!m错误!.又集合m|m错误!关于全集 U 的补集是m|m1,所以实数 m 的取值 X 围是m|m1.7/20 21.解：不存在.由 x28x200 得2x10,所以 Px|2x10,因为 xP 是 xS 的充要条件,所以 PS,所以错误!所以错误!这样的 m 不存在(2)存在.由题意 xP 是 xS 的必要条件,则 S P.所以错误!所以 m3.又 1+m1-m,所以 m0.综上,可知 0m3 时,xP 是 xS 的必要条件 22.解：因为函数 ycx在 R 上单调递减,所以 0c1.即 p：0c0 且 c1,所以
14、p：c1.又因为 fx22cx1在错误!上为增函数,所以 c错误!.即 q：00 且c1,所以q：c错误!且 c1.又因为p 或 q为真,p 且 q为假,所以 p 真 q 假或 p 假 q 真 当 p 真,q 假时,c|0c1错误!.综上所述,实数 c 的取值 X 围是错误!.23.解：由 2x2axa20 得0,所以 x错误!或 xa,所以当命题 p 为真命题时错误!1 或|a|1,所以|a|2.又只有一个实数 x0满足不等式 x错误!2ax02a0,.8/20 即抛物线 yx22ax2a 与 x 轴只有一个交点,所以 4a28a0,所以 a0 或 a2.所以当命题 q 为真命题时,a0 或
15、 a2.所以命题p 或 q为真命题时,|a|2.因为命题p 或 q为假命题,所以 a2 或 a2 或 a2 24.证明:因为数列错误!是公比为 2 的等比数列,所以错误!错误!2n1,即 Sn14n1.因为 an错误!所以 an错误!显然,当 n2 时,错误!4.充分性：当 a13 时,错误!4,所以对 nN*,都有错误!4,即数列an是等比数列 必要性：因为an是等比数列,所以错误!4,即错误!4,解得 a13.综上,数列an成等比数列的充要条件是 a13.第二章 圆锥曲线与方程 测试题 一、选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
16、题目要求的 1如果抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x4y120 上,那么抛物线的方程是 Ay216x By212x Cy216x Dy212x 2设 F1,F2分别是双曲线 x2错误!1 的左、右焦点若点 P 在双曲线上,且|PF1|5,则|PF2|A5 B3 C7 D3 或 7 3 已知椭圆错误!错误!1,F1,F2分别为其左、右焦点,椭圆上一点 M 到 F1的距离是 2,N是 MF1的中点,则|ON|的长为 .9/20 A1 B2 C3 D4 42m0,b0的焦距为 4,一个顶点是抛物线 y24x 的焦点,则双曲线的离心率 e 等于 A2 B错误!C错误!D错误!6已知
17、点 A3,4,F 是抛物线 y28x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当|AM|MF|最小时,M 点坐标是 A 0,0 B 3,2错误!C 3,2错误!D 2,4 7已知双曲线错误!错误!1a0,b0的离心率为错误!,则椭圆错误!错误!1的离心率为 A错误!B错误!C错误!D错误!8设 F1,F2是双曲线 x2错误!1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|4|PF2|,则PF1F2的面积等于 A4错误!B8错误!C24 D48 9已知点 A1,2是抛物线 C：y22px 与直线 l：ykx1的一个交点,则抛物线C 的焦点到直线 l 的距离是 A错误!B错误!C错误!D2错误!10若
18、点O 和点 F 分别为椭圆错误!错误!1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则错误!错误!的最大值为 A6 B3 C2 D8 11已知以 F12,0,F22,0为焦点的椭圆与直线 x错误!y40 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 A3错误!B2错误!C2错误!D错误!12双曲线错误!错误!1a0,b0的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1作圆 x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为 .10/20 Ay=3x By=22x Cy=1+3x Dy=31x 二、填空题本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答
19、案填在题中横线上 13抛物线 y4x2的焦点到准线的距离是 14中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 15若点 P 在曲线 C1：错误!错误!1 上,点 Q 在曲线 C2：x52y21 上,点 R 在曲线 C3：x52y21 上,则|PQ|PR|的最大值是 16已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A错误!,4,则|PA|PM|的最小值是 17已知 F1为椭圆 C：错误!y21 的左焦点,直线 l：yx1 与椭圆 C 交于 A、B 两点,则|F1A|F1B|的值为 1
20、8过抛物线 y2=2pxp0的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于 A,B 两点,A,B在 y 轴上的正射影分别为 D,C,若梯形 ABCD 的面积为 103,则 p=三、解答题本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19 10 分已知双曲线的渐近线方程为 y错误!x,并且焦点都在圆 x2y2100 上,求双曲线方程 20 10 分已知点 P3,4是椭圆错误!错误!1ab0上的一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若 PF1PF2试求：1椭圆的方程；2PF1F2的面积 21 10 分抛物线 y22pxp0有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程
21、为 y2x,斜边长为 5错误!,求此抛物线方程 22 10 分已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛物线 C上的两个动点 AB不垂直于x轴,且|AF|BF|8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q 6,0,求此抛物线的方程 23 10 分设双曲线 C：错误!y21a0与直线 l：xy1 相交于两点 A、B 1求双曲线 C 的离心率 e 的取值 X 围；2设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且错误!错误!错误!,求 a 的值.11/20 24 10 分已知椭圆 C：错误!错误!1ab0的离心率为错误!,且经过点错误!,错误!1求椭圆 C 的方程；2过点 P0,
22、2的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求AOBO 为原点面积的最大值 参考答案 一、选择题 1C 2D 3D 4B 5A 6D 7C 8C 9B 10A 11C 12C 提示：1由题设知直线 3x4y120 与 x 轴的交点4,0即为抛物线的焦点,故其方程为y216x 2因为双曲线的定义可得|PF1|PF2|2,所以|PF2|7 或 3 3 由题意知|MF2|10|MF1|8,ON 是MF1F2的中位线,所以|ON|错误!|MF2|4 4 若错误!错误!1 表示椭圆,则有错误!所以 2m6 且 m4,故 2m0,则将 x错误!y4 代入椭圆方程,得 4b21y28错误!b2yb412b20,因
23、为椭圆与直线 x错误!y40 有且仅有一个交点,所以 8错误!b2244b21 b412b20,即b24b230,所以 b23,长轴长为 2错误!2错误!12根据双曲线的定义有|CF1|CF2|=2a,而|BC|=|CF2|,那么 2a=|CF1|CF2|=|CF1|BC|=|BF1|,而又由双曲线的定义有|BF2|BF1|=2a,可得|BF2|=4a,由于过 F1作圆 x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C,那么 sinBF1F2=ca,那么 cosBF1F2=cb,根据余弦定理有 cosBF1F2=cb=caaca222)4()2()2(222,整理有 b22ab2a2=
24、0,即ab22ab2=0,解得ab=1+3ab=130得其焦点 F2p,0,直线 AB 的方程为 y=3x2p,设 Ax1,y1,Bx2,y2 假定 x2x1,由题意可知 y10,联立pxypxy2)2(32,整理有3.13/20 y22py3p2=0,可得 y1+y2=32p,y1y2=p2,则有 x1+x2=35p,而梯形 ABCD 的面积为 S=21x1+x2 y2y1=65p212214)(yyyy=103,整理有 p2=9,而 p0,故 p=3 三、解答题 19解：设双曲线的方程为 42x232y20,从而有错误!2错误!2100,解得 576,所以双曲线的方程为错误!错误!1 和错
25、误!错误!1 20解：1因为 P 点在椭圆上,所以错误!错误!1,又 PF1PF2,所以错误!错误!1,得：c225,又 a2b2c2,由得 a245,b220,则椭圆方程为错误!错误!1；2S21FPF错误!|F1F2|45420 21解：设抛物线 y22pxp0的内接直角三角形为 AOB,直角边 OA 所在直线方程为y2x,另一直角边所在直线方程为 y错误!x,解方程组错误!可得点 A 的坐标为错误!；解方程组错误!可得点 B 的坐标为8p,4p 因为|OA|2|OB|2|AB|2,且|AB|5错误!,所以错误!64p216p2325,所以 p2,所以所求的抛物线方程为 y24x 22解：
26、设抛物线的方程为 y22pxp0,其准线方程为 x错误!,设 Ax1,y1,Bx2,y2,因为|AF|BF|8,所以 x1错误!x2错误!8,即 x1x28p,因为 Q6,0在线段 AB 的中垂线上,所以 QAQB,即x162y错误!x262y错误!,又 y错误!2px1,y错误!2px2,所以x1x2 x1x2122p0,因为 x1x2,所以 x1x2122p,故 8p122p,所以 p4,.14/20 所以所求抛物线方程是 y28x 23解：1联立错误!消 y 得 x2a21x2a20,即1a2x22a2x2a20,得错误!因为与双曲线交于两点 A、B,所以错误!,可得 0a20,则 a错
27、误!24解：1由 e2错误!1错误!错误!,得错误!错误!,由椭圆 C 经过点错误!,错误!,得错误!错误!1,联立,解得 b1,a错误!,所以椭圆 C 的方程是错误!y21；2易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 ykx2,将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得13k2x212kx90,令 144k23613k20,得 k21,设 Ax1,y1,Bx2,y2,则 x1x2错误!,x1x2错误!,所以 SAOB|SPOBSPOA|错误!2|x1x2|x1x2|,因为x1x22x1x224x1x2错误!2错误!错误!,设 k21tt0,则x1x22错误!错误!错误!错误!,当
28、且仅当9t错误!,即t错误!时等号成立,此时k2错误!,AOB面积取得最大值错误!第三章 空间向量与立体几何 一、选择题 1若 A,B,则|AB|的值是.15/20 A5B5C9 D3 2化简ABCDCBAD,结果为 A0BABCACDAD 3若 a,b,c 为任意向量,mR,则下列等式不成立的是 AcaBcacbc Cmmamb Dca 4已知ab,ab,则 cos的值为 A31B32C33D37 5若 P 是平面外一点,A 为平面内一点,n 为平面的一个法向量,且40,则直线 PA 与平面所成的角为 A40 B50 C40 或 50 D不确定 6若 A,B,C,D 四点共面,且0 3 2
29、ODxOCOBOA,则x的值是 A4 B2 C6 D6 7 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB4,AD3,AA15,BAD90,BAA1DAA160,则 AC1的长等于 A85 B50 C85D52 8已知向量a,b,c1,x,2,若c,则x等于 A4 B4 C21D6 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中,考虑下列命题.16/20 232；CA10；向量1AD与向量BA1的夹角为 60；正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|ABAD|错误命题的个数是 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10已知四边形 ABCD 满足ABBC0,BCCD0,CDDA0,DAAB0,
30、则该四边形为 A平行四边形 B梯形 C任意的平面四边形 D空间四边形 二、填空题 11设 a,b,则a2b 12已知向量a,b,c 两两互相垂直,且|a|1,|b|2,|c|3,sabc,则|s|13若非零向量a,b 满足|ab|ab|,则a与b 所成角的大小 14若 n1,n2分别为平面,的一个法向量,且60,则二面角l的大小为 15设A,B,则到A,B 两点距离相等的点P的坐标x,y,z 应满足的条件是 16 已知向量nAA12a,a与b夹角为30,且|a|3,则21AA32AAnnAA1在向量b的方向上的射影的模为 三、解答题 17如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面是平行四
31、边形,1AA.17/20 O 是 B1D1的中点求证：B1C/平面 ODC1 18如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,底边 CACB1,BCA90,棱 AA12,M,N 分别是11BA、的中点 求BNMC1；求 cos 19如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,点 E 在棱 AB 上移动 AA1ABA1B1DCD1C1O第 17 题 ACBA1C1B1NM第 18 题 ABA1DB1CD1C1E第 19 题.18/20 证明：D1EA1D；当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1的距离；AE 等于何值时,二面角 D1ECD 的大小为4
32、20如图,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,DAB 为直角,AB/CD,ADCD2AB,E,F 分别为 PC、CD 中点 试证：CD平面 BEF；设 PAkAB,且二面角 EBDC 的平面角大于 30,求 k 的取值 X 围 参考答案 一、选择题 1D2A3D 4B 解析：两已知条件相加,得 a1,1,-1,再得 b1,2,1,则 cos|baba32 5B6D7C8B9B 10D 解析：由ABBC0 得ABC90,同理,BCD90,CDA90,DAB90,若B A C P E F D 第 20 题.19/20 ABCD 为平面四边形,则四个内角之和为 360,这与上述得到结论矛盾
33、,故选 D 二、填空题 11 1214 1390 1460 或 120 154x4y6z30 163 三、解答题 17提示：CB1DA111CADC121OCDC1 直线 B1C 平行于直线 OC1与 C1D 所确定的平面 ODC1 180 提示：可用向量计算,也可用综合法得C1MBN,进而得两向量数量积为0 1030 提示：坐标法,以C 为原点,CA,CB,CC1所在直线为x,y,z 轴 19提示：以D 为原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z 轴,可得1DAED10 31 提示：平面 ACD1的一个法向量为n1,d11nn|1ED31 23.20/20 提示：平面D1EC 的一个法向量为n22x,1,2 其中 AEx,利用 cos411 DDDD22nn 得 x23 20提示：坐标法,A 为原点,直线 AD,AB,AP 分别为 x,y,z 轴 k15152 提示：不妨设 AB1,则 PAk,利用 cos23,其中 n1,n2分别为面 EBD,面 BDC 的一个法向量