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1、1/19 精典专题系列 第 8 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、导入：难解的结 古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上
2、的佩剑，一剑将结砍成了两半儿结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角 和 零角 (2)从终边位置来看，可分为 象限角 和轴线角 金牌化学专题系2/19(3)若与是终边相同的角，则可用表示为|k360，kZ (或|2k，kZ )2象限角 3弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 半径 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号表示 (2)角的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|(3)角度与弧
3、度的换算1；1()象限角 集合表示 第一象限角的集合 2k2k kZ 第二象限角的集合 2k2k kZ 第三象限角的集合 2k2k kZ 第四象限角的集合 2k2k kZ 3/19 (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为()，半径为r，又lr，则扇形的面积为S|r2 4三角函数的定义 (1)定义：设角的终边与单位圆交于P(x，y)，则 ，yx(x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴 上，余弦线的起点都是 坐标原点 ，正切线的起点都是单位圆与x轴正半轴的交点 (3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律 正弦、余弦、正切函数值的符号规律
4、可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正 “二正弦”是指第二象限仅正弦值为正 “三正切”是指第三象限仅正切值为正 “四余弦”是指第四象限仅余弦值为正 5同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：22 1；(2)商数关系：.6.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ)4/19 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 即k2(kZ)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成 锐角 时原函数值的符号；的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 三、专题训练
5、：考点一 象限角、终边相同的角的表示【例 1】(1)如果是第三象限的角，那么，2的终边落在何处？(2)写出终边在直线yx上的角的集合 自主解答(1)由是第三象限的角得 2k2k(kZ)2k2k.(kZ)即2k2k(kZ)角的终边在第二象限；由 2k2k 得 24k234k(kZ)角 2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴 5/19(2)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ 1为第几象限角？当k2n时，2n2n，当k2n1 时，2n2n 为第二或第四象限角 2.已知角是第一象限角，确定 2，的终边所在的位置 解：是第一象限的角，k2k2(kZ)(1)k42k
6、4(kZ)，即 2k222k2(kZ)，2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上(2)kk(kZ)，当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，的终边在第一象限 当k2n1(nZ)时，(2n1)(2n1)(nZ)，即 2n2n(nZ)，的终边在第三象限 综上，的终边在第一象限或第三象限 考点二 三角函数的定义 【例 2】已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且，求，的值 由题设知x，ym，r22()2m2，得r，从而，r2，于是 3m28，解得m.6/19 当m时，r2，x，；当m时，r2，x，.(1)已知角的终边过点P(3，4)，其中(，)，求，的值(2)已知角的终边过点P(x，)(x0)，
7、且x，求，的值 解：(1)(，)，10，r5，.(2)P(x，)(x0)，点P到原点的距离r，.又x，x.x0，x，r2.当x时，P(，)，由三角函数的定义，得，.当x时，P(，)，由三角函数的定义，得，.考点三 同角三角函数基本关系式的应用 【例 3】已知是三角形的内角，且.(1)求的值；(2)把用表示出来，并求其值 自主解答(1)法一：联立方程错误!由得，将其代入，整理得 2525120，是三角形内角，错误!，错误!.法二：，()2()2，即 12，2，()2121.0 且 00，0，由错误!，得错误!，错误!.(2)7/19，.1.保持题目条件不变，求：222的值.解：由例题可知(1).
8、(2)22.2.已知，求下列各式的值：(1)；(2)1422.解：法一：由得2.(1)1；(2)142222422528222 2.法二：由得，解得2.于是：(1)1；(2)1422.考点四 利用诱导公式化简、求值 【例 4】(1)设f()(120)，求f()的值(2)化简(n)(n)(nZ)=自主解答(1)f()，f().(2)当n2k(kZ)时，原式(2k)(2k)()().当n2k1(kZ)时，原式(2k1)(2k1)()().原式.8/19 1.化简(kZ)解：当k为偶数 2n(nZ)时，原式 1；当k为奇数 2n1(nZ)时，原式1.当kZ 时，原式1.2.(2010全国卷)记(80
9、)k，那么 100()B D 规范解答(80)80k，80，80，10080.答案 B 四、技法巧点总结：1常见的终边相同的角的表示 角 终边的位置 角 的集合 在 x 轴的非负半轴上|2k，kZ 在 x 轴的非正半轴上|2k，kZ 在 y 轴的非负半轴上|2k，kZ 在 y 轴的非正半轴上|2k，kZ 9/19 在 x 轴上|k，kZ 在 y 轴上|k，kZ 在坐标轴上|，kZ 2三角函数定义的拓展 已知角终边上一点P(x，y)，求的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r，再利用下式求解：，这也可看作三角函数的定义 3三角函数求值应注意的问题 (1)由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值
10、时，要注意讨论角的范围 (2)注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重 确定符号 4应用同角三角函数基本关系式的常见规律 (1)、与的关系 ()212；()212；()2()22；()2()24.对于，这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值 (2)“1”的代换 在求值、化简、证明时，常把 1 表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算使问题得以简化，常见的代换如下：122，1，1()22.10/19 五、巩固练习：1若点 P 在角的终边上，且2，则点 P 的坐标为 ()A(1，)B(，1)C(1，)D(1，)解析：设 P(x，y)
11、，则 x21，y2，即 P(1，)2若角的终边与角的终边关于原点对称，则 ()A B180 Ck360，kZ Dk360180，kZ 解析：借助图形可知，若角与的终边关于原点对称，则k360180.3(2011大连模拟)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 顺时针方向运动弧长到达 Q 点，则 Q 的坐标为 ()A(，)B(，)C(，)D(，)解析：根据题意得 Q()，()，即 Q(，)4(2011南昌模拟)已知点 P(，)在第三象限，则角的终边在第象限 解析：由题意知错误!即错误!为第二象限角 11/19 5已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是 解析：设圆
12、的半径为 r，则 1，即 r 弧长 lr.6已知角的终边在直线 3x4y0 上，求，的值 解：角的终边在直线 3x4y0 上，在角的终边上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t，r5，当 t0 时，即 x0 时，r5t，；当 t0 时，即 x0 部分时，；当角的终边在直线 3x4y0 的 x0 部分时，.7(2011顺义模拟)已知中，则 ()C D 12/19 解析：由知A为钝角，0，20120，0 r x x r2 13已知，且 0，求.解：，两边平方得222，即 12，2.0，0.14已知扇形的圆心角为 120，半径长为 6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形的面积 解：(1)120，r6，AB的弧长为l64.(2)S扇形4612，18/19 Sr2629，S弓形S扇形S129.7已知()，(，0)，则等于 ()A2 B2 C 解析：()，(，0)2.8若2，则的值是 ()A B 19/19 解析：2，.9在中，则(BC).解析：，0A，(BC)(A).10().解析：原式()()()()()()()()().