《2022年第八讲--三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第八讲--三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固 .pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精典专题系列第 8 讲任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式一、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍
2、成了两半儿结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角(3)若 与 是终边相同的角，则可用 表示为 | k 360，kZ (或 | 2k，kZ )2象限角3弧度与角度的互化(1)1 弧度的角长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示(2)角 的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是| |lr象限角集合表示第一象限角的集合2k 2k 2k
3、Z第二象限角的集合2k 2 2k kZ第三象限角的集合2k 2k 32kZ第四象限角的集合2k 2 2k k ZDSE 金牌化学专题系列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页(3)角度与弧度的换算1 180rad； 1 rad(180) (4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为 (rad)，半径为r，又 lr ，则扇形的面积为S12lr12| | r24三角函数的定义(1)定义：设角的终边与单位圆交于P(x，y)，则sin yx2y2，cos xx2y2，tan yx(x 0) (2)几何表示：三角函数
4、线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是坐标原点，正切线的起点都是单位圆与x 轴正半轴的交点(3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正“二正弦”是指第二象限仅正弦值为正“三正切”是指第三象限仅正切值为正“四余弦”是指第四象限仅余弦值为正5同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 cos21；(2)商数关系： tan sincos.6.诱导公式组数一二三四五六角2k (k Z) 22正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即 k2(
5、kZ)， ，的三角函数值， 等于 的同名函数值， 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；2 的正弦 (余弦 )函数值，分别等于的余弦 (正弦 )函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号三、专题训练：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页考点一象限角、终边相同的角的表示【例 1】(1)如果 是第三象限的角，那么 ，2的终边落在何处？(2)写出终边在直线y3x 上的角的集合自主解答 (1)由 是第三象限的角得 2k 322k( k Z) ?322k 2k.( k Z) 即22k 2k( k Z)角的终边在第二象限；
6、由 2k 322k得 2 4k 2 3 4k( k Z)角2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴(2)在(0，)内终边在直线y3x 上的角是3，终边在直线 y3x 上的角的集合为 | 3k ， k Z 1.在 1 的条件下，判断2为第几象限角？解： 2k 32 2k ，2k 234 k ，当 k2n 时，22n 234 2n ，当 k2n1 时，32 2n 274 2n2为第二或第四象限角2.已知角 是第一象限角，确定2 ，2的终边所在的位置解： 是第一象限的角， k2 k22(k Z)(1)k 4 2 k 4( k Z)，即 2k22 2k2 ( k Z)， 2的终边在第一象限或第二象限或y
7、 轴的非负半轴上(2)k2k4(k Z)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页当 k2n(n Z)时， 2n22n 4(n Z)，2的终边在第一象限当 k2n1(n Z)时， (2n 1) 2(2n1) 4(n Z)，即 2n 22n 54(n Z)，2的终边在第三象限综上，2的终边在第一象限或第三象限考点二三角函数的定义【例 2】已知角 的终边上一点P(3，m)(m0)，且 sin 2m4，求 cos ，tan的值由题设知x3，ym， r2 OP2 (3)2 m2，得 r3m2，从而 sin mr2m4m22， r
8、3m22 2，于是 3m28，解得 m 5. 当 m5时， r2 2，x3， cos 32264， tan 153；当 m5时， r2 2，x3， cos 32264，tan 153.(1)已知角 的终边过点P(3cos ，4cos )，其中 (2， ) ，求 sin ，cos ， tan的值(2)已知角 的终边过点P(x，2)(x 0)，且 cos 36x，求 sin ，tan的值解： (1) (2， )，1cos 0， r9cos2 16cos2 5cos ，sin 45， cos 35，tan 43.(2) P(x，2)(x0)，点P 到原点的距离rx22， cos xx22. 又 co
9、s 36x，xx2236x. x0， x 10， r23. 当 x10时， P(10，2)，由三角函数的定义，得sin 66，tan 55. 当 x10时， P(10，2)，由三角函数的定义，得sin 66，tan 55.考点三同角三角函数基本关系式的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页【例 3】已知 是三角形的内角，且sin cos 15. (1)求 tan的值；(2)把1cos2 sin2用 tan表示出来，并求其值自主解答 (1)法一： 联立方程sin cos 15，sin2 cos2 1，由得 cos 1
10、5sin ，将其代入，整理得25sin2 5sin 120， 是三角形内角，sin 45cos 35， tan 43.法二： sin cos 15， (sin cos )2(15)2，即 12sin cos 125， 2sin cos 2425， (sin cos )21 2sin cos 124254925. sin cos 12250 且 0 0，cos 0， sin cos 75，由sin cos 15sin cos 75，得sin 45cos 35， tan 43.(2)1cos2 sin2sin2 cos2cos2 sin2sin2 cos2cos2cos2 sin2cos2tan2
11、 11 tan2 tan 43，1cos2 sin2tan2 11 tan243211 432257.1.保持题目条件不变，求：1sin 4cos5sin 2cos ；2 sin2 2sin cos 的值 .解： 由例题可知tan 43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页(1)sin 4cos5sin 2cos tan 45tan 24345 43287.(2)sin2 2sin cos sin2 2sin cos sin2 cos2tan2 2tan 1tan2169831169825. 2.已知4sin 2cos
12、 3sin 5cos 611，求下列各式的值：(1)5cos2sin2 2sin cos 3cos2；(2)1 4sin cos 2cos2 .解： 法一： 由4sin 2cos 3sin 5cos 611得 sin 2cos . (1)5cos2sin2 2sin cos 3cos25cos24cos2 4cos2 3cos25cos25cos2 1；(2)14sin cos 2cos2 sin2 cos2 4sin cos 2cos2 5cos2 8cos2 2cos2 cos2 cos2sin2 cos2cos24cos2 cos215.法二： 由4sin 2cos 3sin 5cos
13、611得4tan 23tan 5611，解得 tan 2. 于是： (1)5cos2sin2 2sin cos 3cos25tan2 2tan 35222 231；(2)14sin cos 2cos2 1 4sin cos 2cos2sin2 cos2sin2 4sin cos 3cos2sin2 cos2tan2 4tan 3tan2 115.考点四利用诱导公式化简、求值【例 4】(1)设 f( )2sin cos cos 1sin2 cos32sin22(12sin 0)，求 f(236) 的值(2)化简 sin(n 23 ) cos(n 43 )( nZ)=自主解答 (1) f( )2s
14、in cos cos1 sin2 sin cos22sin cos cos 2sin2 sincos12sinsin12sin1tan， f(236)1tan 2361tan 4 61tan63.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页(2)当 n2k(k Z)时，原式 sin(2k 23 ) cos(2k 43) sin23 cos43 sin3 ( cos3)32(12)34.当 n2k1(k Z)时，原式 sin(2k1) 23 cos(2k1) 43 sin( 23 ) cos( 43 ) sin23 cos3
15、sin3 cos3321234.原式34.1.化简sin k cos k1 sin k1 cosk (kZ)解： 当 k 为偶数 2n(n Z)时，原式sin 2n cos 2n1 sin 2n 1 cos2n sin cos sin cos sin cos sin coscoscos 1；当 k 为奇数 2n1(n Z)时，原式sin 2n1 cos 2n sin 2n2 cos2n1 sin cossin 2 cos sin cossin cos 1. 当k Z 时，原式1.2. (2010全国卷 )记 cos(80 ) k，那么 tan100 () A.1k2kB1 k2k C.k1k2
16、 Dk1k2规范解答 cos(80 )cos80k，sin80 1k2， tan80 1 k2k，tan100 tan80 1k2k. 答案 B四、技法巧点总结：1常见的终边相同的角的表示角 终边的位置角 的集合在 x 轴的非负半轴上 | 2k ，kZ 在 x 轴的非正半轴上 | 2k ，kZ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页在 y 轴的非负半轴上 | 2k 2，kZ 在 y 轴的非正半轴上 | 2k 32，kZ 在 x 轴上 | k ，k Z 在 y轴上 | k 2，kZ 在坐标轴上 | k2，k Z 2三角函
17、数定义的拓展已知角 终边上一点P(x，y)，求 的三角函数值时， 可先求出该点到原点的距离r，再利用下式求解：sin yr，cos xr， tan yx，这也可看作三角函数的定义3三角函数求值应注意的问题(1)由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围(2)注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号4应用同角三角函数基本关系式的常见规律(1)sin cos 、sin cos 与 sin cos的关系(sin cos )212sin cos ；(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin c
18、os )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .对于 sin cos ，sin cos ，sin cos这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值(2) “ 1”的代换在求值、化简、证明时，常把1 表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算使问题得以简化，常见的代换如下：1sin2 cos2 ， 1tan4，1(sin cos )22sin cos .五、巩固练习：1若点 P在角23的终边上，且|OP| 2，则点 P的坐标为 ( ) A(1，3) B(3， 1) C( 1，3) D( 1，3)解析： 设 P(x， y) ，则 x2cos23 1，y 2s
19、in233，即 P(1，3)2若角的终边与角的终边关于原点对称，则 ( ) AB 180C k360， kZ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页D k360 180， k Z 解析：借助图形可知，若角与的终边关于原点对称，则 k360 180 .3(2011 大连模拟 ) 点 P从(1,0) 出发，沿单位圆x2y21 顺时针方向运动23弧长到达Q点，则 Q的坐标为 ( ) A( 12，32) B( 32，12) C( 12，32) D( 32，12)解析： 根据题意得Q(cos( 23) ，sin( 23) ，即
20、Q(12，32)4(2011 南昌模拟 ) 已知点 P(tan ， cos) 在第三象限，则角的终边在第_象限解析： 由题意知tan 0，cos0，cos 0 时， r 5t ，sin yr3t5t35，cosxr4t5t45，tan yx3t4t34；当 t 0 时，即 x0 部分时，sin 35，cos45，tan 34；当角的终边在直线3x4y0 的 x0 部分时，sin 35，cos45，tan 34. 7(2011 顺义模拟 ) 已知ABC中， tanA512，则 cosA ( ) A.1213B.513 C513 D1213解析： 由 tanA512知A为钝角， cosA0，cos
21、2012 0，cos340tan 0，解得 (4，2) ( ，54)答案： D 9“ tan 34”是“ sin 35”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 因为 tan sincos34，sin2 cos2 1，所以 sin 35，当 sin 35时，tan 34，所以 “tan34” 是“sin 35”的既不充分也不必要条件10(2011 镇江模拟 )已知 tan 2，则 sin2 sin cos 2cos2 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页A43B.54C
22、34D.45解析： sin2 sin cos 2cos2sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2tan2 tan 2tan2 14 224145. 答案： D 二、填空题 (共 3 小题，每小题5 分，满分15 分) 11若角 的终边落在直线y x 上，则sin1sin21cos2cos 的值等于 _解析： 因为角 的终边落在直线y x 上， k 34，k Z，sin ，cos 的符号相反当 2k 34，即角 的终边在第二象限时，sin 0，cos 0；当 2k 74，即角 的终边在第四象限时，sin 0，cos 0. 所以有sin1sin21cos2cos sin|cos |s
23、in |cos 0. 答案： 0 三、解答题 (共 3 小题，满分35 分) 12设 为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，5)，且 cos 24x，求 sin和 tan . 解： 为第四象限角， x0 rx25 cos xrxx2524x x3 rx252213已知 sin cos 15，且 0 ，求 sin cos . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页解： sin cos 15，两边平方得 sin2 2sin cos cos2 125，即 12sin cos 125，2sin cos 2425. 2 0，
24、cos 0. sin cos sin cos 212sin cos 75. sin yr52 2104. tan yx53153. 14已知扇形OAB 的圆心角为 120 ，半径长为6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形 OAB 的面积解： (1) 120 23，r6，AB的弧长为l23 64.(2) S扇形OAB12lr12 4 6 12 ，SABO12r2 sin231262329 3， S弓形OABS扇形OABSABO12 9 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页7已知 sin(2) 13，( 2， 0)
25、，则 tan等于 ( ) A 22 B22 C24 D.24解析： sin(2) 13，( 2，0) cos13sin1cos2223tansincos 22.8若 tan2，则sin3cossincos的值是 ( ) A13 B53C.13 D.53解析： tan2，sin3cossincostan 3tan 1232113.9在ABC中， cosA13，则 sin(BC) _.解析： cosA13，0A， sinA223sin(BC) sin( A) sinA223.10sin43 cos56 tan( 43) _.解析： 原式 sin( 3)cos( 6)tan( 3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页( sin3)( cos6)( tan3) ( 32) ( 32) ( 3) 334.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页