《2022年第八讲--三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第八讲--三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - DSE 金牌化学专题系列精典专题系列第 8 讲任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式一、导入：难解的结古罗马时代,一位预言家在一座城市内设下了一个奇妙难解的结,并且预言,将来解开这个结的人必定是 亚细亚的统治者；长期以来,虽然很多人英勇尝试,但是依旧无人能解开这个结；当时身为马其顿将军的亚历山大,也听说了关于这个结的预言,于是趁着驻兵这个城市之时,试着去打开 这个结；亚历山大连续尝试了好几个月,用完了各种方法都无法打开这个结,真是又急又气；有一天,他试着解开这个结又失败后,恨恨地说：“ 我再也不要看到这个结了；”当他强
2、迫自己转移留意力,不再去想这个结时,突然脑筋一转,他抽出了身上的佩剑,一剑将结砍成了两 半儿 结打开了；大道理：英勇地跳出思想的绳索,打高兴结；过后会发觉,事情实际上没有看到的和想象中的那么困难；积极一点,什么都会给你让路；二、学问点回忆：1角的有关概念 1从运动的角度看,角可分为正角、负角 和 零角和轴线角2从终边位置来看,可分为 象限角 3如 与 是终边相同的角,就 可用 表示为 |k360,kZ 或|2k,kZ 2象限角象限角第一象限角的集合其次象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合集合表示2k 2k 2k Z2k 22kkZ2k 2k3 2kZ2k 22kk Z3弧度与角度的互化
3、 11 弧度的角长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,用符号rad 表示2角 的弧度数名师归纳总结 假如半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l,那么角 的弧度数的肯定值是|l r第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3角度与弧度的换算1 180rad； 1 rad180 4 弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l,圆心角大小为rad,半径为r,又 lr,就扇形的面积为S1 2lr1 2| r24三角函数的定义1定义：设角 的终边与单位圆交于Px,y,就x 轴上,余弦线的起点sinx 2y y2,cosx 2y x 2,tan
4、y x 0x2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在都是坐标原点,正切线的起点都是单位圆与x 轴正半轴的交点3正弦、余弦、正切函数值的符号规律正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“ 一全正,二正弦,三正切,四余弦”“ 一全正” 是指第一象限的三个三角函数值均为正“ 二正弦” 是指其次象限仅正弦值为正“ 三正切” 是指第三象限仅正切值为正“ 四余弦” 是指第四象限仅余弦值为正5同角三角函数的基本关系 1平方关系：sin 2cos 21；2商数关系： tansin cos .6.诱导公式组数一二三四五六角2kk Z 2 2正弦 余弦 正切口诀函数名不变符号看象限函数名
5、转变符号看象限锐角时即 k 2 kZ, 的三角函数值, 等于 的同名函数值, 前面加上一个把 看成原函数值的符号； 2 的正弦 余弦 函数值,分别等于 的余弦 正弦 函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号三、专题训练：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点一 象限角、终边相同的角的表示【例 1】1假如 是第三象限的角,那么2写出终边在直线y3x 上的角的集合,2 的终边落在何处？3自主解答 1由 是第三象限的角得 2k22k kZ .3 22k 2k .kZ 即 22k 2k kZ 角 的终边在其次象限；
6、由 2k3 22k 得 24k234k kZ 角2 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴2在0, 内终边在直线 y3x 上的角是 3,终边在直线 y3x 上的角的集合为 | 3k, kZ 1. 在 1 的条件下,判定 2 为第几象限角？解： 2k 3 22k, 2k 23 4k,当 k2n 时, 22n 23 42n,当 k2n1 时,3 22n 27 42n 2为其次或第四象限角2.已知角 是第一象限角,确定 2,2的终边所在的位置解： 是第一象限的角,名师归纳总结 k2 k2 2kZ y 轴的非负半轴上第 3 页,共 17 页1k4 2 k4 kZ,即 2k2 2 2k2 kZ,2 的
7、终边在第一象限或其次象限或 2k 2k 4kZ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 k2nnZ 时, 2n 22n 4nZ,2的终边在第一象限5 4 nZ, 当 k2n1nZ时, 2n 1 22n1 4nZ,即 2n 22n 2的终边在第三象限综上, 2的终边在第一象限或第三象限考点二 三角函数的定义【例 2】 已知角 的终边上一点 P3,mm 0,且 sin2m4,求 cos,tan 的值由题设知 x3,ym,r 2 OP 2 3 2 m 2,得 r3m 2,从而 sinm r2m4m2 2,r3m 22 2,于是 3m 28,解得 m5. 当 m
8、5时, r2 2,x3,cos2 2 34, tan63；153 6 15当 m5时, r2 2,x3,cos 2 24,tan 3 .1已知角 的终边过点 P3cos,4cos,其中 2, ,求 sin,cos, tan 的值名师归纳总结 2已知角 的终边过点Px,2x 0,且 cos3 6 x,求 sin,tan 的值5 5 .第 4 页,共 17 页解： 1 2, ,1cos0,r9cos 2 16cos 2 5cos,sin 4 5, cos3 5,tan 4 3.2Px,2x 0,点P 到原点的距离rx22,cosx. x22又cos3 6 x,xx 223 6x.x 0,x10,r
9、23. 当 x10时, P10,2,由三角函数的定义,得sin6 6,tan5 5 . 当 x10时, P10,2,由三角函数的定义,得sin 6 6,tan 考点三同角三角函数基本关系式的应用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】 已知 是三角形的内角,且 sincos1 5. 1求 tan 的值；2把1 cos 2sin 2用 tan 表示出来,并求其值,tan 4 3.自主解答 1法一： 联立方程sincos1 5,sin 2cos 21,由得 cos1 5sin,将其代入,整理得25sin 25sin120, 是三角形内角,sin4 53
10、,tan 4 3.cos5法二： sincos1 5,sincos 21 52,即 12sincos 1 25,2sincos 24 25,sincos 21 2sincos 124 25 49 25. sincos12 250 且 00,cos0,sincos7 5,由sin cos1,得sin 4 535sin cos 7cos 5521sin 2cos 2cos 2 sin 2sin 2cos 2tan2 1cos 2cos 2sin 2cos 2sin21 tan2cos 2tan4 3,cos12 tan 2121 tan 43 211 4 2325 7 .2 sin1.保持题目条件
11、不变,求：名师归纳总结 1sin4cos 5sin2cos；2 sin 22sincos 的值 .第 5 页,共 17 页解： 由例题可知tan4 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1sin4costan 45tan 254344328 7.5sin2cos2sin 2 2sincossin 22sincostan22tan 16 98 38 25. 2.sin 2cos 21tan2 116 92.已知4sin 2cos 3sin 5cos6 11,求以下各式的值：15cos 2sin 22sincos3cos 2；21 4sin cos 2cos
12、解： 法一： 由4sin2cos6 11得 sin2cos. 3sin5cos15cos 2sin 22sincos3cos 24cos 24cos 5cos 223cos 25cos 5cos 22 1；21 4sincos 2cos 2sin 2cos 24sincos2cos 25cos 28cos 22cos 2名师归纳总结 cos 2cos 24coscos221 5.23 6 的值第 6 页,共 17 页sin 2 cos 22cos法二： 由4sin2cos6 11得4tan26 11,解得 tan2. 3sin5cos3tan5于是： 15cos 2sin 22sincos3c
13、os 2tan551；22tan32 22 2321 4sincos 2cos 21 4sincos2cos 2sin 2 cos 2sin 24sincos3cos 2sin 2 cos 2tan24tan31 5.tan21考点四利用诱导公式化简、求值【例 4】 1设 f2sin cos cos 1sin 2 cos 3 2 sin 2 212sin 0,求 f2化简 sinn2 3 cos n4 3 nZ=自主解答 1f2sincos cos1 sin 2 sin cos 22sincoscoscos 12sin1 tan,2sin 2sinsin 12sinf23 6 123113.t
14、an 4 6tan 6tan 6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2当 n2kkZ时,原式 sin2k2 3 cos2 k4 3 sin2 3 cos 43cos2 k1 4 3 sin 3 cos 32 1 23 4 .当 n2k1kZ时,原式 sin2k1 2 3 sin 2 3 cos 4 3 sin2 3cos sin 3cos 32 1 23 4 .原式3 4 .1.化简sin k cos k1 sin k1 coskkZ解： 当 k 为偶数 2nnZ 时,原式sin 2n cos 2n1 cos cos 1；sin 2n 1 cos2nsi
15、n cos sincossin cossincos当 k 为奇数 2n1nZ 时,原式sin 2n1 cos 2nsin 2n2 cos2n1 sin cossincos 1. sin 2 cossin cos当kZ 时,原式 1.2. 2022全国卷 记 cos80 k,那么 tan100 k2A.1k2B2 1 k C.k 2 D 1 kkk1k规范解答 cos80cos80 k,sin80 1k2, tan80 2 1 k,tan100 tan80 1k2. kk 答案 B四、技法巧点总结：1常见的终边相同的角的表示名师归纳总结 角 终边的位置角 的集合第 7 页,共 17 页在 x 轴
16、的非负半轴上|2k,kZ 在 x 轴的非正半轴上|2k,kZ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 y 轴的非负半轴上 |2k 2,kZ 在 y 轴的非正半轴上 |2k3 2,kZ 在 x 轴上 | k,k Z 在 y 轴上 |k 2,kZ 在坐标轴上 |k 2,k Z 2三角函数定义的拓展已知角 终边上一点Px,y,求 的三角函数值时, 可先求出该点到原点的距离r,再利用下式求解：siny r,cosx r, tany x,这也可看作三角函数的定义3三角函数求值应留意的问题1由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时,要留意争论角的范畴2留意公式的变
17、形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法,要尽量削减开方运算,谨慎确定符号4应用同角三角函数基本关系式的常见规律1sincos、sincos 与 sincos 的关系sincos 212sincos；sincos 212sincos；sincos 2sincos 22；sincos 2sincos 24sincos.对于 sincos,sincos,sincos 这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值2 “的代换在求值、化简、证明时,常把 1 表示为三角函数式或特别角的三角函数值参加运算使问题得以简化,常见的代换如下：1sin2cos 2, 1tan 4,1sin co
18、s22sin cos.五、巩固练习：1如点 P 在角2 3 的终边上,且|OP| 2,就点 P的坐标为 A1 ,3 B3, 1 C 1,3 D 1,3解析： 设 Px, y ,就 x2cos2 3 1,y 2sin2 3 3,即 P1,3 2如角 的终边与角 的终边关于原点对称,就A B 180 名师归纳总结 C k360 , kZ 第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D k360 180 , k Z 解析：借助图形可知,如角 与 的终边关于原点对称,就 k360 180 .2 3弧长到达 Q点,就 Q的坐_象限32022 大连模
19、拟 点 P 从1,0 动身,沿单位圆x2y21 顺时针方向运动标为 A 1 2,3 2 B 3 2,1 2 C 1 2,3 2 D 3 2,1 2解析： 依据题意得Qcos 2 3 ,sin 2 3 ,即 Q1 2,3 2 42022 南昌模拟 已知点 Ptan , cos 在第三象限,就角 的终边在第解析： 由题意知tan 0,cos 0,cos 0 时, r 5t ,sin y r3t3 5,5tcos x r4t 5t4 5,3 4；y x3ttan 4t当 t 0 时,即 x0 部分时,sin 3 5,cos 4 5,tan 3 4； 当角 的终边在直线3x4y0 的 x0 部分时,s
20、in 3 5,cos 4 5,tan 3 4. 72022 顺义模拟 已知 ABC中, tan A5 12,就 cosA A. 12 13B. 5 13 C5 13 D12 13解析： 由 tan A5 12知 A 为钝角, cos A0,cos2022 0,cos3 4 0,解得 4, 2 ,5 4 tan0答案： D 名师归纳总结 3 4”9“tan3 4” 是“sin3 5” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 由于 tansin cos3 4,sin 2 cos 21,所以 sin 5,当 sin 3 5时,tan 3 4,所以 “ tan是“
21、sin3 5” 的既不充分也不必要条件102022 镇江模拟 已知 tan2,就 sin2sincos2cos 2 第 13 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A4 3B.5 4C3 4D.4 5解析： sin 2sincos2cos 2sin 2 sincos2cos 2sin 2 cos 2tan2tan24 22 414 5. tan21答案： D 二、填空题 共 3 小题,每道题 5 分,满分 15 分 11如角 的终边落在直线 y x 上,就 1sin sin 21cos cos 2 的值等于 _解析： 由于角 的终边落在直线 y x 上, k3 4,kZ,sin,cos 的符号相反当 2k3 4,即角 的终边在其次象限时,sin0,cos0；当 2k7 4,即角 的终边在第四象限时,sin0,cos0. 所以有sin1cos 2sin |cos|sin| cos 0. 1sin 2cos答案： 0 三、解答题 共 3 小题,满分35 分 Px,5,且 cos2 4 x,求 sin 和 tan. 12设 为第四象限角,其终边上的一个点是解： 为第四象限角, x0 名师归纳总结 rx 25 第 14 页,共