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1、基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若Rba,，则abba222 （2）若Rba,，则222baab 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,Rba，则abba2 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）（2）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）（3）若0
2、ab，则2abba (当且仅当ba 时取“=”）（4）若Rba,，则2)2(222babaab（5）若*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=”6、柯西不等式 （1）若,abcdR，则22222()()()abcda c b d（2）若123123,a a a b b bR，则有：22222221231 1231 1223 3()()()aaabbba ba ba b（3）设1212,nna aabb与b是两组实数，则有 22212(naaa)22212)nbbb(21 122()nna ba ba b 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证
3、明不等式 1、设ba,均为正数，证明不等式:abba112 2、已 知cba,为 两 两 不 相 等 的 实 数，求 证：cabcabcba222 3、已知1abc，求证：22213abc 4、已 知,a b cR，且1abc，求 证：a b ccba8)1)(1)(1(5、已 知,a b cR，且1abc，求 证：1111118abc 6、（2013年新课标卷数学（理）选修 4 5：不等式选讲 设,a b c均为正数,且1abc,证明:()13abbcca;()2221abcbca.7、（2013年江苏卷（数学）选修 4 5：不等式选讲 已知0ba，求证:baabba223322 题型二：利
4、用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域（1）22213xxy （2）)4(xxy （3）)0(1xxxy （4）)0(1xxxy 题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；变式 1：已知2x，求函数4242xxy的最小值；变式 2：已知2x，求函数4242xxy的最大值；练习：1、已知54x，求函数14245yxx的最小值；2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当时，求(82)yxx的最大值；变式 1：当时，求4(82)yxx的最大值；变式 2：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。2、若
5、02x，求yxx()63的最大值；变式：若40 x，求)28(xxy的最大值；3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：变式 1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；变式 2：已知28,0,1x yxy，求xy的最小值；变式 3：已知0,yx，且119xy，求xy的最小值。变式 4：已知0,yx，且194xy，求xy的最小值；变式 5：（1）若0,yx且12 yx，求11xy的最小值；（2）若 Ry
6、xba,且1ybxa，求yx 的最小值；变式 6：已知正项等比数列 na满足：5672aaa，若存在两项nmaa,，使得14aaanm，求nm41的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式：求函数)1(182xxxy的值域；2、求函数522xxy的最大值；（提示：换元法）变式：求函数941xxy的最大值；题型七：基本不等式的综合应用 1、已知1loglog22ba，求ba93 的最小值 2、（2009天津）已知0,ba，求abba211的最小值；变式 1：（2010四川）如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变式 2：（
7、2012湖北武汉诊断）已知，当1,0aa时，函数1)1(logxya的图像恒过定点A，若点A在直线0nymx上，求nm24 的最小值；3、已知0,yx，822xyyx，求yx2最小值；变式 1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；变式 2：（2010 山东）已知0,yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3：（2011 浙江）已知0,yx，122xyyx，求xy最大值；4、（2013年 山 东（理）设 正 实 数zyx,满 足04322zyxyx,则 当zxy取 得 最 大 值时,zyx212的最大值为（）A0 B1 C 49 D3（提示：代入换元,利用基本不
8、等式以及函数求最值）变式：设zyx,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围 1、（2012沈阳检测）已知0,yx，且9)1)(yaxyx恒成立，求正实数a的最小值；2、已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知0,ba满则241ba，若cba恒成立，求c的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 ),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba若,a b c dR，则22222()()()abcdacbd 2、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba2222
9、)1(),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba bdacdcba2222)2(),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba 2)()()(3(bdacdcba ),0,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcadcba 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 ),0(等号成立时使或存在实数当且仅当kak 4、三维柯西不等式 若123123,a a a b b bR，则有：22222221231 1231 1223 3()()()aaabbba ba ba b ),(332211时等号成立当且仅当bababaRbaii 5、一般n维柯西不等式 设1212,nna aabb与b是
10、两组实数，则有:22212(naaa)22212)nbbb(21 122()nna ba ba b ),(2211时等号成立当且仅当nniibababaRba 题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设,x y zR，若2224xyz，则zyx22 的最小值为 时，),(zyx 析：2)2(1)()22(2222222zyxzyx 3694 zyx22 最小值为6 此时322)2(16221222zyx 32x，34y，34z 2、设,x y zR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时,x y z之值。Ans：)34,32,34(),(;4zyxm 3、设,x y zR，332zyx，求222)1(zyx之最小值为 ，此时y （析：0)1(32332zyxzyx）4、（2013年湖南卷（理）已知,236,a b cabc 则22249abc的最小值是 (12:Ans)5、（2013年 湖 北 卷（理）设,x y zR,且 满足:2221xyz,2314xyz,求zyx的值；6、求c o sc o ss i nc o s3s i n2 的最大值与最小值。（Ans：最大值为22，最小值为 22）析：令a (2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)