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1、. 基本不等式专题辅导基本不等式专题辅导 一、知识点总结一、知识点总结 1 1、基本不等式原始形式、基本不等式原始形式 （1）若a,bR，则a2b2 2ab 2）若a,bR，则ab a2b2 （ 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式）、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b R*，则a b 2 ab 3 3、基本不等式的两个重要变形、基本不等式的两个重要变形 （1）若a,b R*，则 a b 2 ab （2）若a,b R*，则ab a b2 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
2、当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：特别说明： 以上不等式中，以上不等式中， 当且仅当当且仅当a b时取时取 “= =” 4 4、求最值的条件：、求最值的条件： “一正，二定，三相等”“一正，二定，三相等” 5 5、常用结论、常用结论 （1）若x 0，则x 1 x 2 (当且仅当x 1时取“=” ） （2） 若x 0， 则x 1 x 2 (当且仅当x 1时取 “=” ） （3） 若ab 0， 则 a b b a 2 (当且仅当a b时取 “=” ） （4）若a,bR，则ab ( ab 2 a2b2 2 ) 2 （5）若a,b R*，则 1a2b2 11 ab ab 2 2 a
3、 b 特别说明：以上不等式中，当且仅当特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“时取“= =” 6 6、柯西不等式、柯西不等式 （1） 若a,b,c,d R， 则(a2b2)(c2d2) (ac bd)2 （2）若a1,a2,a3,b 1,b2 ,b 3 R，则有： (a2 2 1 a 2 a2 3 )( 1b 2 1 b2 2 b2 3 ) (a 1b1 a 2b2 a 3b3 )2 （3）设a1,a2,an与b1,b2,bn是两组实数，则有 (a2 2 1 a 2 a2 n )(b22 1 b 2 b2 n ) (a 1b1 a 2b2 a nbn )2 . 二、题型分析二、题型分析 题
4、型一：利用基本不等式证明不等式题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设a,b均为正数，证明不等式: ab 2 11 a b 2 、 已 知 a,b,c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ： a2 b2 c2 ab bc ca 3、已知abc 1，求证：a2b2c2 1 3 4、已 知 a,b,cR ， 且abc 1， 求 证 ： (1a)(1b)(1c) 8abc 5、已 知 a,b,cR ， 且abc 1， 求 证 ： 1 1 a 1 b 1 1 c 1 8 . 6、（2013 年新课标卷数学（理）选修 45： 不等式选讲 设a,b,c均为正数,且abc 1,证明: bcca
5、1a2 ()ab b2c2 3 ; () b c a 1. 7、（2013 年江苏卷（数学）选修 45：不等式选讲 已知a b 0，求证:2a3b3 2ab2 a2b . 题型二：利用不等式求函数值域题型二：利用不等式求函数值域 1 1、求下列函数的值域、求下列函数的值域 （1）y 3x2 1 2x2 （2）y x(4 x) （3）y x 1 x (x 0) （4）y x 1 x (x 0) 题型三：利用不等式求最值题型三：利用不等式求最值 （一）（一） （凑项）（凑项） 1、已知x 2，求函数y 2x4 4 2x4 的最小值； 变式 1：已知x 2，求函数y 2x 4 2x4 的最小值； 变
6、式 2：已知x 2，求函数y 2x 4 2x4 的最大值； . 练习： 1、 已知x 5 ， 求函数y 4x2 1 的最小值；2、若0 x 2，求y x(6 3x)的最大值； 4 4x5 2、已知x 5 4 ，求函数y 4x2 1 的最大值； 4x5 题型四：利用不等式求最值题型四：利用不等式求最值 （二）（二） （凑系数）（凑系数） 1、当时，求y x(82x)的最大值； 变式 1：当时，求y 4x(82x)的最大值； 变式 2：设0 x 3 2 ，求函数y 4x(3 2x)的最大值。 . 变式变式：若0 x 4，求y x(82x)的最大值； 3、求函数y 2x152x(1 5 2 x 2
7、)的最大值； （提示：平方，利用基本不等式） 变式：变式：求函数y 4x3 114x( 311 4 x 4 )的最大值； . 题型五：巧用“题型五：巧用“1 1”的代换求最值问题”的代换求最值问题 1、已知a,b 0,a2b 1，求t 11 a b 的最小值； 法一：法一： 法二：法二： 变式变式 1 1： 已知a,b 0,a2b 2， 求t 1 a 1 b 的最小值； 变式变式 2 2：已知x, y 0, 2 x 8 y 1，求xy的最小值； 变式变式 3 3： 已知x, y 0， 且 11 x y 9， 求x y的最小值。 . 变式变式 4 4： 已知x, y 0， 且 1 x 9 y 4
8、， 求x y的最小值； 变式变式 5 5： （1）若x, y 0且2x y 1，求 11 x y 的最小值； （2） 若a,b,x, y R 且a x b y 1， 求 x y 的最小值； 变式变式 6 6：已知正项等比数列a n 满足：a7 a62a5，若 存在两项am,an， 使得 a man 4a 1 ， 求 14 m n 的最小值； . 题型六：分离换元法求最值（了解）题型六：分离换元法求最值（了解） 1、求函数y x27x10 x1 (x 1)的值域； 变式：变式：求函数y x28 x1 (x 1)的值域； 2、求函数y x2 2x5 的最大值； （提示：换元法） 变式：变式：求函数
9、y x1 4x9 的最大值； . 题型七：基本不等式的综合应用题型七：基本不等式的综合应用 1、已知log ab 2 alog 2 b 1，求3 9 的最小值 2、 （2009 天津）已知a,b 0，求1 1 2 ab的最小值； ab 变式变式 1 1： （2010 四川）如果a b 0，求关于a,b的表达 式a2 11 ab a(ab) 的最小值； 变式变式 2 2： （2012 湖北武汉诊断）已知，当a 0,a 1时， 函数y loga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直 线mx y n 0上，求4m2n的最小值； . 3、已知x, y 0，x2y2xy 8，求x2y最小值；4 、（ 2
10、013 年 山 东 （ 理 ）设 正 实 数 x, y,z满 足 变式变式 1 1：已知a,b 0，满足ab ab3，求ab范围； 变式变式 2 2： （20102010 山东）山东）已知x, y 0， 1 2 x 11 2 y 3 ， 求xy最大值； （提示：通分或三角换元） 变式变式 3 3： （20112011 浙江）浙江）已知x, y 0，x2 y2 xy 1， 求xy最大值； . x23xy 4y2 z 0 , 则 当 xy z 取 得 最 大 值 时, 212 x y z 的最大值为（） A0B1C 9 4 D3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值） 变式：变式：设x,
11、 y,z是正数，满足x2y 3z 0，求 y2 xz 的 最小值； . 题型八：利用基本不等式求参数范围题型八：利用基本不等式求参数范围 1、 （2012 沈阳检测） 已知x, y 0， 且(x y)( 1a x y ) 9 恒成立，求正实数a的最小值； 2、已知x y z 0且 1 x y 1n y z x z 恒成立， 如果nN，求n的最大值； （参考：4） （提示：分离参数，换元法） 变式：变式：已知a,b 0满则 1 a 4 b 2，若ab c恒成立， 求c的取值范围； . 题型九：利用柯西不等式求最值题型九：利用柯西不等式求最值 1 1、二维柯西不等式、二维柯西不等式 (a,b,c,
12、 d R , 当且仅当 a c b d ；即ad bc时等号成立) 若a,b,c,d R，则(a2b2)(c2d2) (ac bd)2 2 2、二维形式的柯西不等式的变式、二维形式的柯西不等式的变式 (1) a2b2 c2d2 acbd (a,b,c, d R , 当且仅当 a c b d ；即ad bc时等号成立) (2) a2b2 c2d2 ac bd (a,b,c, d R , 当且仅当 ab c d ；即ad bc时等号成立) (3)(a b)(c d) ( ac bd )2 (a,b,c, d 0, 当且仅当 ab c d ；即ad bc时等号成立) 3 3、二维形式的柯西不等式的向
13、量形式、二维形式的柯西不等式的向量形式 (当且仅当 0 ,或存在实数k,使a k 时,等号成立) 4 4、三维柯西不等式、三维柯西不等式 若a1,a2,a3,b 1,b2 ,b 3 R，则有： (a2 222 1 a 2 2 a 3 )( 1b1 b2 2 b 3 ) (a 1b1 a 2b2 a 3b3 )2 (a i ,b a 1 a 2 a 3 i R , 当且仅当 b 时等号成立) 1 b 2 b 3 5 5、一般、一般n维柯西不等式维柯西不等式 设a1,a2,an与b1,b2,bn是两组实数，则有: (a2 1 a2 2 a2 n )(b2 1 b2 2 b2 n ) (a 1b1
14、a 2b2 a 2 nbn ) . (aR , 当且仅当 a 1 b a 2 a n i ,b i 时等号成立) 1 b 2 b n 题型分析题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设x, y,zR，若x2 y2 z2 4，则x2y2z的 最小值为时，(x, y,z) 析：(x2y 2z)2 (x2 y2 z2)12(2)2 22 49 36 x2y2z最小值为6 此时 xyz 1 2 2 62 12(2)222 3 x 24 4 3 ，y 3 ，z 3 2、设x, y,zR，2x y 2z 6，求x2 y2 z2的最 小值m，并求此时x, y,
15、z之值。 Ans：m 4;(x, y,z) ( 4 3 , 2 3 , 4 3 ) 3、 设x, y,zR，2x 3y z 3， 求x2 (y 1)2 z2 之最小值为，此时y （析：2x3y z 3 2x3(y1) z 0） . 4、（2013 年湖南卷（理） ）已知a,b,c,a2b3c 6, 则a24b29c2的最小值是 (Ans:12) 5 、（ 2013年 湖 北 卷 （ 理 ） ）设 x, y,zR , 且 满 足:x2 y2 z21,x 2y 3z 14,求x y z的 值； 6、 求2sin 3cossincoscos 的最大值与最 小值。 （Ans：最大值为2 2，最小值为 2 2） . 析： 令a (2sin， 3cos， cos)，b (1， sin， cos) .