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1、.根本不等式专题辅导根本不等式专题辅导一、知识点总结一、知识点总结1 1、根本不等式原始形式、根本不等式原始形式1假设a,bR，那么a b 2ab22(a12a22a32)(1b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)23设a1,a2,an与b1,b2,bn是两组实数，那么有(a12a22 an2)(b12b22 bn2)(a1b1a2b2 anbn)2a2b22假设a,bR，那么ab 22 2、根本不等式一般形式均值不等式、根本不等式一般形式均值不等式假设a,bR*，那么a b 2 ab3 3、根本不等式的两个重要变形、根本不等式的两个重要变形a b1假设a,bR*，那么2*二、题型分
2、析二、题型分析题型一：利用根本不等式证明不等式题型一：利用根本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式:ab211abab2a b2假设a,bR，那么ab 2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；2、特别说明：特别说明：以上不等式中，以上不等式中，当且仅当当且仅当a b时取时取“=4 4、求最值的条件：、求最值的条件：“一正，二定，三相等“一正，二定，三相等5 5、常用结论、常用结论1假设x 0，那么x“=2假设x 0，那么x取“=ab3假设ab
3、 0，那么 2 (当且仅当a b时baa,b,c为 两 两 不 相 等 的 实 数，求 证：a2 b2 c2 ab bc ca3、a bc 1，求证：a b c 4、a,b,cR2221 2(当且仅当x 1时取x1 2(当且仅当x 1时x13取“=ab2a2b24假设a,bR，那么ab ()22aba2b2ab 1122ab特别说明：以上不等式中，当且仅当特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“时取“=6 6、柯西不等式、柯西不等式5 假设a,bR，那么*1，且a bc 1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc1假设a,b,c,d R，那么(a2b2)(c2d2)(acbd)22假设a1
4、,a2,a3,b1,b2,b3R，那么有：实用文档.5、a,b,cR，且a bc 1，求证：1 1 11118abc6、2021 年新课标卷数学理选修 45：不等式选讲题型二：利用不等式求函数值域题型二：利用不等式求函数值域设a,b,c均为正数,且abc 1,证明:()abbcca 1a2b2c23;()bca1.7、2021 年江苏卷数学选修 45：不等式选讲a b 0，求证:2a3b3 2ab2 a2b1 1、求以下函数的值域、求以下函数的值域1y 3x212x22y x(4 x)3y x1x(x 0)4y x1x(x 0)题型三：利用不等式求最值题型三：利用不等式求最值 一一 凑项凑项1
5、、x 2，求函数y 2x442x4的最小值；变式 1：x 2，求函数y 2x42x4的最小值；实用文档.变式 2：x 2，求函数y 2x练习：1、x 2、x 4的最大值；2x4变式 2：设0 x 3，求函数y 4x(3 2x)的最大值。25，求函数y 4x21的最小值；44x52、假设0 x 2，求y x(6 3x)的最大值；5，求函数y 4x21的最大值；44x5变式变式：假设0 x 4，求y x(82x)的最大值；题型四：利用不等式求最值题型四：利用不等式求最值 二二 凑系数凑系数1、当变式 1：当时，求y 4x(82x)的最大值；时，求y x(82x)的最大值；153、求函数y 2x15
6、2x(x)的最大值；22提示：平方，利用根本不等式311变式：变式：求函数y 4x3 114x(x)的最大值；44实用文档.题型五：巧用“题型五：巧用“1 1的代换求最值问题的代换求最值问题111、a,b 0,a2b 1，求t 的最小值；ab法一：法一：法二：法二：变式变式 1 1：a,b 0,a2b 2，求t 变式变式 2 2：x,y 0,变式变式 3 3：x,y 0，且变式变式 4 4：x,y 0，且变式变式 5 5：11 9，求x y的最小值。xy19 4，求x y的最小值；xy1假设x,y 0且2x y 1，求的最小值；1x1y2假设a,b,x,yR且ab1，求xxy y的最小11的最
7、小值；ab值；变式变式 6 6：正项等比数列an满足：a7 a62a5，假设存在两项am,an，使得aman 4a1，求281，求xy的最小值；xy14的最小值；mn实用文档.题型六：别离换元法求最值了解题型六：别离换元法求最值了解1、求函数y x27x10 x1(x 1)的值域；变式：变式：求函数y x28x1(x 1)的值域；2、求函数y x22x5的最大值；提示：换元法.变式：变式：求函数y x14x9的最大值；题型七：根本不等式的综合应用题型七：根本不等式的综合应用1、loga2alog2b 1，求3 9b的最小值2、2021 天津a,b 0，求1a1b2 ab的最小值；变式变式 1
8、1：2021 四川如果a b 0，求关于a,b的表达式a21ab1a(ab)的最小值；实用文档.变式变式 2 2：2021 湖北武汉诊断，当a 0,a 1时，函数变式变式 3 3：20212021 浙江浙江x,y 0，x2 y2 xy 1，求xy最大值；4、2021年 山 东 理 设 正 实 数x,y,z满 足y loga(x1)1的图像恒过定点A，假设点A在直线mx y n 0上，求4m 2n的最小值；3、x,y 0，x2y 2xy 8，求x2y最小值；变式变式 1 1：a,b 0，满足ab a b3，求ab范围；x23xy4y2 z 0,那 么 当时,xy取 得 最 大 值z212的最大值
9、为xyz9D34A0B1C提示：代入换元,利用根本不等式以及函数求最值111，变式变式 2 2：20212021 山东山东x,y 0，求xy2 x2 y3最大值；提示：通分或三角换元y2变式：变式：设x,y,z是正数，满足x2y 3z 0，求的xz最小值；实用文档.题型八：利用根本不等式求参数范围题型八：利用根本不等式求参数范围1a1、2021 沈阳检测x,y 0，且(x y)()9恒xy成立，求正实数a的最小值；题型九：利用柯西不等式求最值题型九：利用柯西不等式求最值1 1、二维柯西不等式、二维柯西不等式(a,b,c,d R,当且仅当ab；即ad bc时等号成立)cd假设a,b,c,d R，
10、那么(a2b2)(c2d2)(acbd)22 2、二维形式的柯西不等式的变式、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2b2 c2d2 acbd(a,b,c,d R,当且仅当ab；即ad bc时等号成立)cd(2)a2b2 c2d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当11n2、x y z 0且恒成立，如果x yy zx znN，求n的最大值；参考：4提示：别离参数，换元法变式：变式：a,b 0满那么求c的取值范围；ab；即ad bc时等号成立)cd(3)(ab)(cd)(ac bd)2(a,b,c,d 0,当且仅当ab；即ad bc时等号成立)cd3 3、二维形式的柯西不等式的向量形式、二维形
11、式的柯西不等式的向量形式(当且仅当 0,或存在实数k,使a k时,等号成立)4 4、三维柯西不等式、三维柯西不等式假设a1,a2,a3,b1,b2,b3R，那么有：14 2，假设a b c恒成立，ab(a12a22a32)(1b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2实用文档.aaa(ai,biR,当且仅当123时等号成立)b1b2b35 5、一般、一般n维柯西不等式维柯西不等式设a1,a2,an与b1,b2,bn是两组实数，那么有:(a12a22 an2)(b12b22 bn2)(a1b1a2b2 anbn)2之最小值为，此时y 析：2x3y z 3 2x3(y1)z 0(ai,bi
12、R,当且仅当aa1a2n时等号成立)b1b2bn题型分析题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x,y,zR，假设x2 y2 z2 4，那么x2y2z的最小值为时，(x,y,z)析：(x2y2z)2(x2 y2 z2)12(2)2224、2021 年湖南卷理 a,b,c,a2b3c 6,那么a 4b 9c的最小值是 (Ans:12)5、2021年 湖 北 卷 理 设222 49 36x2y2z最小值为6此时xyz6221221(2)22234 2 4，y，z 333222x x,y,zR,且 满222足:x y z 1,x 2y 3z 14,求x y z的2、设x,y,zR，2x y 2z 6，求x y z的最小值m，并求此时x,y,z之值。424Ans：m 4;(x,y,z)(,)3333、设x,y,zR，2x 3y z 3，求x(y 1)z222值；6、求2sin3cossincoscos的最大值与最实用文档.小值。Ans：最大值为2 2，最小值为 2 2析：令a(2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)实用文档.