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1、全国初中数学竞赛辅导（初 1）第 05 讲 方程组的解法 二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行 消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消 元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍 解方程组 将原方程组改写为 由方程?得 x=6+4y，代入?化简得 11y-4z=-19?由?得 2y+3z=4?3+4得 33y+8y=-57+16，所以 y=-1 将 y=-1 代入?，得 z=2将 y=-1 代入?，得 x=2所以 为原方程组的解 本题解法中，由?，?消 x 时，采用了代入消元法；解?，?组成的方程组时，若用代入法消元，无论
2、消 y，还是消 z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中 z 的系数是一正一负，且系数的绝对 值较小，采用加减消元法较简单 解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程 的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快 解方程组 由?，?消 x 得 由?，?消元，得 解之得 将 y=2 代入?得 x=1将 z=3 代入?得 u=4所以 由原方程组得 所以 x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即 x=-15+16x，解之得 x=1将 x=1 代入?得 u=4将 u=4 代入?得
3、 z=3将 z=3 代入?得 y=2所以 为原方程组的解 +得 x+y+z+u=10，?由?-(?+?)得 y+u=6，?由?2-?得 4y-u=4，?+得 y=2以下略 很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅 解方程组 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面 四个二元方程：+得 x+u=3，?+得 y+v=5，?+得 z+x=7，?+得 u+y=9?又?+?+?+?+?得 x+y+z+u+v=15?-得 z=7，把 z=7 代入?得 x=0，把 x=0 代入?得 u=3，把 u=3 代入?得 y=6，把 y=6 代入?得 v=-1所以 为原方程组的解 解方程组 2+得 由?
4、得 代入?得 为原方程组的解 为原方程组的解 解法 1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消 为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体 元”，从而简化方程组的求解过程 已知 一般想法是利用方程组求出 x，y，z 的值之后，代入所求的代数式计算但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无 法求出 x，y，z 的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变 形 -消去 x 得 3+消去y 得 5+3消去 z 得 已知关于 x，y 的方程组 分别求出当 a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解 与一元一次方程一样，含有字母系数的
5、一次方程组求解时也要 进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程 ax=b 的形式进行讨论但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的 两边时，这个式子的值不能等于零 由?得 2y=(1+a)-ax，?将?代入?得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)?(1)当(a-2)(a+1)?0，即 a?2 且 a?-1 时，方程?有 因而原方程组有唯一一组解 (2)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)?0 时，即 a=-1 时，方程?无解，因此原方程组无解 (3)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)=0 时，即 a=2 时，方程?有无穷多个解，因此
6、原方程组有无穷多组解 已知关于 x，y 的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求 出这个公共解 根据题意，可分别令 a=1，a=-2 代入原方程得到一个方程组 将 x=3，y=-1 代入原方程得 (a-1)?3+(a+2)?(-1)+5-2a=0 所以对任何 a 值 都是原方程的解 取 a=1 为的是使方程中(a-1)x=0，方程无 x 项，可直接求出 y 值；取 a=-2 的道理类似 可将原方程变形为 a(x+y-2)-(x-2y-5)=0 由于公共解与 a 无关，故有 甲、乙两人解方程组 原方程的解 因为甲只看错了方程?中的 a，所以甲所得到的解 4(-3)-b(-1)=-2?a5+54=13?解由?，?联立的方程组得 所以原方程组应为 1解方程组 2若 x 1，x2，x3，x4，x5 满足方程组 试确定 3x 4+2x5 的值 3将式子 3x2+2x-5 写成 a(x+1)2+b(x+1)+c 的形式，试求 4k 为何值时，方程组 有唯一一组解；无解；无穷多解？5若方程组 的解满足 x+y=0，试求 m 的值