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1、1/9 一、填空题：1、若随机变量X的概率密度为01(),xf xcex,则X的方差为 。2、若X服从二项分布B(5000,0.001),则由泊松定理知1()P X 。3、若X服从均值为 5 的指数分布，则83(|)P XX 。4、设)(tN服从参数为 2 的泊松过程,则20()P N 。5、设X的概率密度为10()10,0 xf xex,则其分布函数的逆函数为 。二、选择题：6、能产生等可能取值为5,4,3,2,1中一个数的 MATLAB 程序是（）(A)ceil(5*rand)(B)floor(5*rand)(C)floor(6*rand)(D)randperm(5)7、在MATLAB中,
2、表示二项分布的分布函数的是（）(A)binopdf (B)binocdf (C)nbinpdf (D)nbincdf 8、能产生均值为 5 的指数随机数的 MATLAB 程序是（）(A)-5*ln(rand)(B)-log(rand)/5 (C)-5*log(rand)(D)5*log(rand)9、在MATLAB中,表示正态分布的分位数的是（）(A)normcdf (B)norminv (C)normpdf (D)normrnd 10、0 1(,)ZN,则|Z的方差为（）(A)1 (B)2 (C)21 (D)21 三、计算题：11、设0 1(,)UU，X的分布函数为10(),.xF xex证
3、明：log()U的分布函数也是().F x 12、积分2xIedx，(1)利用数值方法给出积分的计算结果；(2)利用 Monte Carlo 方法编程计算积分。13、设X的概率分布为 10 320 530 2().,().,().P XP XP X 写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。14、设X的概率分布函数为 0),exp(1)(xxxF 写出逆变换法产生随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。2/9 15、某工厂近5年来发生了63次事故，按星期几分类如下 星期 一 二 三 四 五 六 次数（iN）9 10 11 8 13 12 问：事故的发生是否与星期几有关？(注
4、意不用编程，显著性水平10.0)（附表：其中)(2yn表示自由度为n的2随机变量在点y的分布函数值，251 66670 1069(.).,0.0523)6667.1(26）16、某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 15 分钟观察一次计算机的运行状态，收集了 24 个小时的数(共作 97 次观察)，用 1 表示正常状态，用0 表示不正常状态，所得的数据序列如下：1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111 设 Xn 为第 n(n=1,2
5、,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，从上数据序列中得到：96 次状态转移情况是：00：8 次；01：18 次；10：18 次；11：52 次。求 (1)一步转移概率矩阵；(2)已知计算机在某一时段(15 分钟)的状态为 0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作 45 分钟(3 个时段)的条件概率.17、设)0,nXn是具有三个状态 0，1，2 的时齐马氏链，一步转移矩阵为：4/14/304/12/14/104/14/3P，初始分布为2,1,0,31)(0iiXP 求：)1,1,0()1(420XXXP；)0|1,1()2(042XXXP；)0|0,0,0,0()
6、3(04321XXXXXP.答案：一、填空题：1、U2231(1)eee 2、56e 3、1e 4、4e 5、1ln(1),0110yy 二、选择题：6、A 7、B 8、C 9、B 10、C 三、计算题：3/9 11、解：注意到U与1U同分布，从而log()U与1Ulog()同分布，设1Ulog()的分布为1F u()，于是 111uF uPUuP Ue()(log()()显然当0u 时，有10F u(),当0u 时，有111uuF uP Uee()()从而log()U的分布函数也是1xF xe().12、(1)解：令2yx，则 22221112222yyIedyedy (2)令11yx，则2
7、21dxdyy dxx()，于是 21220011221xIedxdyyyexp()MATLAB 程序如下：N=5000;y=rand(N,1);（或 y=unifrnd(0,1,N,1)）for i=1:N Int(i)=2*exp(-(1/y(i)-1)2)/y(i)2;end I=mean(Int);13、解：令Y为取值为 1、2、3 的离散均匀分布，则概率分布为 11 2 33P Ykk(),.则 c=0.5/(1/3)=1.5 X的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下：STEP1：产生Y的随机数和均匀随机数 U；STEP2：若 U5.0/)(YXP，则令XY；否则返回 STEP1。MA
8、TLAB 程序如下:p=(0.3,0.5,0.2);Y=floor(3*rand+1);U=rand;while(Up(Y)/0.5)Y=floor(3*rand+1);U=rand;end 4/9 X=Y;14、解：令1 exp(),Ux 可解得1(log(1)/)xU 因为U与1U同分布，则1(log()/)xU。算法步骤为：STEP1：产生均匀随机数 U；STEP2：令1(log()/)XU 或1(log(1)/)U，则得到X的随机数。MATLAB 程序：alpha=5;beta=3;U=rand;X=(-log(U)/alpha)(1/beta);15、解：检验假设为01:(),1,2
9、,66iHP Xipi 63n,使用卡方检验统计量 2266211()()61.66676iiiiiinNNnpnnp 因22(5),计算得 22(1.6667)1(1.6667)10.10690.8931PP ，由P值为0.8931，说明不能拒绝原假设，即不认为发生事故与星期几有关。16、(1)一步转移概率可用频率近似地表示为：01118180|18 1826nnPP XX10118181|0,18 5270nnPP XX11152521|118 5270nnPP XX001880|0,8 1826nnPP XX5/9 所以一步转移矩阵为：705270182618268P；（2）某一时段的状
10、态为0，定义为初始状态，即00X，所求概率为：382.0)1,1,0|1()1,0|1()0|1()0|1,1,1(1111012103102010321PPPXXXXPXXXPXXPXXXXP 17、首先由 C-K 方程得两步转移矩阵为：一、填空题：1、若随机变量X的概率密度为50 xf xcex(),则X的方差为 。2、若X服从二项分布B(500,0.01),则由泊松定理知1P X()。3、若X服从失效率为 0.05 的指数分布，则200100P XX(|)。4、设)(tN服从参数为 0.5 的泊松过程,则20P N()。5、设X的概率密度为Rxxxf,)1(1)(2,则其分布函数的逆函数
11、为 。5518161625311621639116164PP(2)022024001115511 0,1,1316296P XXXpPP1 2224001115512 1,1|016232P XXXPP 123403 0,0,0,0|0P XXXXX01 11 11 1001 1221 1037111111142244444256P P P PP P P P6/9 二、选择题：6、能产生等可能取值为1,2,3,4中一个数的 MATLAB 程序是（）(A)ceil(5*rand)(B)ceil(4*rand)(C)floor(4*rand)(D)randperm(4)7、在MATLAB中,表示负
12、二项分布的概率密度函数的是（）(A)binopdf (B)binocdf (C)nbinpdf (D)nbincdf 8、能产生失效率为 5 的指数分布随机数的 MATLAB 程序是（）(A)-5*ln(rand)(B)-log(rand)/5 (C)-5*log(rand)(D)5*log(rand)9、在MATLAB中,不可能产生一个均匀分布)1,0(U随机数的是哪个？（）(A)unifrnd(0,1)(B)unidrnd(1,1,1)(C)unifrnd(0,1,1)(D)rand(1)10、设时齐 Markov 链,2,1,nXn,其一步转移概率矩阵为121213P,则该过程的 5 步
13、转移概率矩阵为（）(A)555531131131131121(B)555531131131131121(C)1 112 1 1(D)1213 21 三、计算题：11、设X的分布函数为10 xF xex(),.证明：1XF Xe()服从区间(0,1)上的均匀分布。12、(1)计算概率积分222xyIex y d d；(2)利用 Monte Carlo 方法编程计算积分I的 MATLAB 程序。13、利用逆变换方法产生概率密度函数23(),112xf xx 的随机数,写出推导过程和 MATLAB 程序。14、利用舍选抽样法产生概率分布为 X 1 2 3 4 5 6 P 0.15 0.1 0.2 0
14、.15 0.3 0.1 的随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。15、考虑随机变量，其可能取值为 1,2,3,4,5，我们检验假设随机变量是等可能取这些值，如果样本大小为 50，观测分别为 12,5,19,7,7，利用检验方法说明该数据7/9 是否来自离散均匀分布。（附表：其中)(2yn表示自由度为n的2分布在点y的分布函数值，,9877.0)8.12(240.9747)8.12(25）。16、（1）简述 Metropolis 准则；（2）若要产生密度p x()的随机数，设当前状态为12nxx xx(,)，从1n,中等可能取一坐标，按分布函数ijjP XxP XxXxji()(|,)产生随机
15、数x，则111iinyxxx xx(,)为下一个状态，证明：吉布斯(Gibbs)抽样法的转移概率1x y(,)；（3）设随机变量X和Y均在区间0 B(,)。设在Yy下X的条件密度为 0 xyf xyC y exB(|)(),及Xx下Y的条件密度为f yx(|)0 xyC x eyB(),，利用吉布斯抽样法给出随机向量X Y(,)的随机数程序。答案：一、填空题：1、2 2、55e 3、5e 4、11 e 5、10,)2tan(yy 二、选择题：6、B 7、C 8、C 9、B 10、A 三、计算题：11、记(),YF X 当0y 时，()0;YFy 当1y 时，()0;YFy 1ln(1)001(
16、)()(1)(1)1(ln(1)d,(8XXYyxyFyP YyPeyP eyP Xyexy 当时,分)所以0,1,(),01,1,1.YyFyyyy 故()YF X服从(0,1).U 12、（1）令cos,sin,(,)|02,0.xryrDrr 8/9 2222220002()2.2rrrIdrerdred（2）222222211000,.xyxIedxedyIIedx其中 令22111,1.1(1)ydydx dxy dy xxxy Matlab 程序为：N=10000;y=rand(N,1);for i=1:N I1(i)=exp(-(1/(y(i)-1)2/2)*y(i)2;end
17、I=(mean(I1)2;13、当11x 时，2331133 111(),22 322xxF xt dttx 令(),F xu即311,22xu解得13(21).xu Matlab 程序：X=(2*rand-1)(1/3);14、取1(),1,2,6,6YpP Yjj则0.31.8.1/6XYpcp 算法步骤为：第一步：产生随机数 U1 和 U2；第二步：令 Y=Int(6U1);第三步：若 U2()()0.3YP XYP XYcp时，令 X=Y；否则返回。Matlab 程序：P=0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1;Y=floor(6*rand+1);U=rand;while(
18、UP(Y)/0.3)Y=floor(6*rand+1);U=rand;end X=Y;15、原假设为：1(),1,2,5,50.5ipP Xijn 9/9 检验统计量为2521()12.8.iiiiNnpnp 由于22(4),则 P 值为22(12.8)1(12.8)0.0123,PP 因 P 值很小，应拒绝原假设，即认为数据不是来自离散均匀分布。16、(1)设马尔可夫链,1,2,nxn y是按照某概率原则产生的状态，nx的下一步状态1nx以概率接受状态，即1nxy；以概率1保持不变，即1nnxx。（2）采用H-M算法有 1()(,)(|,),(,)ijjjjp yq x yP Xx Xxji
19、nnP Xxji 则转移概率为()()(,)()(,)(,)min,1min,1()()(,)()(,)()()min,11.(15)()()jjjjp xp ynP Xxjip y q y xx yp yp x q x yp xnP Xxjip y p xp x p y分(3)Matlab程序为：N=10000;B=50;X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);X(1)=unifrnd(0,B);Y(1)=unifrnd(0,B);for i=2:N X(i)=-log(rand)/Y(i-1);Y(i)=-log(rand)/X(i);end 或 X0=unifrnd(0,B);Y0=unifrnd(0,B);X=-log(rand)/Y0;Y=-log(rand)/X;