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1、 1 椭圆的简单几何性质 一、知识点 1.椭圆的定义：到两个定点21,FF的距离之 等于 （）的点的轨迹叫椭圆，定点21,FF叫做椭圆的 2.椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 （2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 3.椭圆的简单几何性质 标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 图像 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长短半轴长 离心率 cba,的关系 练习：已知椭圆方程为400251622yx，则它的长轴长是 ；短轴长是 ；焦距是 ；离心率等于 ；焦点坐标是 ；顶点坐标是 ；外切矩形的面积等于 2 例 1.求与椭圆14922yx有相同的焦点，且离心率
2、为55的椭圆的标准方程 练习：已知椭圆19822ykx离心率为21e，求k的值 例 2.点),(yxM与定点)0,4(F的距离和它到直线l：425x的距离的比是常数54，求点M轨迹 变式 1：点),(yxM与定点)0,(cF的距离和它到直线l：cax2的距离的比是常数ac，求点M轨迹 探究：我们知道椭圆的定义：与两定点)0,(),0,(21cFcF 的距离之和为定值)2(221FFaa 的点的轨迹方程也为122222cayax，你能发现其中的原因吗？3 变式 2：点),(yxM与定点)0,(cF 的距离和它到直线l：cax2的距离的比是常数ac，求点M轨迹 4.椭圆的第二定义：到定点F的距离与
3、到定直线l)(lF 的距离之 为 的点的轨迹叫做椭圆，其中定点F叫做椭圆的 ，定直线l叫做椭圆的 ，常数e叫做椭圆的 练习 1：平面内已知点M到定点F的距离与M到定直线l(点F不在l上)的距离的比为8.0，则动点M的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定 2.点P与定点)0,2(F的距离和它到定直线l：322x的距离之比为5:3，则点的轨迹方程为 结论：椭圆的焦点、准线、离心率及其关系 1.（1）椭圆)0(12222babyax中：相应于左焦点)0,(cF 的准线方程为 ，叫椭圆的 相应于右焦点)0,(cF的准线方程为 ，叫椭圆的 （2）椭圆)0(12222babxay中：相应于下
4、焦点),0(cF的准线方程为 ，叫椭圆的 相应于上焦点),0(cF的准线方程为 ，叫椭圆的 2.（1）椭圆上的任意一点到左焦点)0,(cF 的距离与它到左准线cax2的距离之比等于椭圆的 4（2）椭圆上的任意一点到右焦点)0,(cF的距离与它到右准线cax2的距离之比等于椭圆的 即椭圆上的点到焦点的距离与到 准线的距离之比等于椭圆的 例 3.设点),(00yxP是椭圆)0(12222babyax上任意一点，21,FF是其左右焦点，求证：01exaPF，02exaPF 结论：1.椭圆的焦半径公式：（1）设点),(00yxP是椭圆)0(12222babyax上任意一点，21,FF是其左右焦点，则
5、1PF ，2PF （2）设点),(00yxP是椭圆)0(12222babxay上任意一点，21,FF是其下上焦点，则 1PF ，2PF 2.（1）椭圆上的点到左焦点的距离的最大的点为 ，最大值为 ，最小的点为 ，最小值为 （2）椭圆上的点到中心的距离的最大的点为 ，最大值为 ，最小的点为 ，最小值为 练习：已知椭圆1204522yx，P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标 5 例 4.（1）已知椭圆的两条准线方程为9y，离心率为31，求此椭圆的标准方程（2）若椭圆13610022yx上一点P到椭圆左准线的距离为10，求点P到椭圆右焦点的距离 例 5.椭圆14922yx
6、的焦点为21,FF，点P是椭圆上的动点，若21PFF是钝角，求点P的横坐标的取值范围 例 6.已知椭圆15922yx的右焦点为2F，点)1,1(A，若P为椭圆上一动点（1）求2PFPA 的最大值和最小值 （2）求223PFPA 的最小值 6 例 7.设椭圆)0(12222babyax的左右顶点为BA,，点P是椭圆上不同于点BA,的任意一点，则22abkkPBPA 例 8.已知BA,是椭圆)0(12222babyax上关于中心对称的两点，点P是椭圆上任意不同于BA,的点，若直线PBPA,的斜率存在，则22abkkPBPA 二、点、直线与椭圆的位置关系 1.点),(00yxP与椭圆12222bya
7、x的位置关系：点P在椭圆上 点P在椭圆上 点P在椭圆上 2.直线与椭圆的位置关系 相离：直线与椭圆有 公共点 相切：直线与椭圆有 公共点 相交：直线与椭圆有 公共点 7 3.直线与椭圆位置关系的判定：代数法：将直线与椭圆的方程联立，消y或x后得关于x或y的一元二次方程：直线与椭圆相交 直线与椭圆相切 直线与椭圆相离 例 1.直线1 kxy与椭圆1522myx恒有公共点，求m的取值范围 练习 1.k为何值时,直线2 kxy和曲线63222 yx有两个公共点？有一个公共点?没有公共点？2.无论k为何值,直线2 kxy和曲线14922yx交点情况满足（）A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点
8、 D.有公共点 例 2.已知椭圆192522yx，直线l：04054 yx，椭圆上是否存在一点，到直线l的距离最小？最小是多少？8 4.弦长问题：设斜率为k的直线与椭圆交于),(),(2211yxByxA两点，则 AB 例 3.已知斜率为 1 的直线l过椭圆1422 yx的右焦点2F，交椭圆于BA,两点，求弦AB的长 结论：焦点弦长（1）设过焦点的直线交椭圆12222byax于),(),(2211yxByxA两点，则 过左焦点的弦长AB 过右焦点的弦长AB （2）设过焦点且倾斜角为的直线交椭圆12222byax于BA,两点，则 过左焦点的弦长AB 过右焦点的弦长AB 练习：过椭圆 4222yx
9、的左焦点作倾斜角为030的直线交椭圆于BA,两点，则弦长AB 9 例 4.设过椭圆的右焦点F且倾斜角为060的直线交椭圆12222byax于BA,两点，若FBAF2，则离心率为 例 5.求证：以椭圆的焦点弦为直径的圆与椭圆相应的准线相离 例 6.已知点21,FF是椭圆1222 yx的左右焦点，过2F倾斜角为045直线与椭圆交于BA,两点，求1ABF的面积 1 0 5.中点弦（弦的中点）问题 例 7.已知椭圆141622yx过点)1,2(P引一弦，使弦AB在这点被平分，求此弦AB所在直线l的方程 结论：椭圆中点差法结论：（1）设椭圆)0(12222babyax不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OP
10、ABkk （2）椭圆设)0(12222babxay不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OPABkk 练习.已知椭圆1222 yx及椭圆外一点)2,0(M，过这点引直线交椭圆于BA,两点，求AB中点P的轨迹方程 6.以弦为直径的圆的问题 例 8.已知直线1xy椭圆142222bybx交于BA,两点，若OBOA，求椭圆方程 1 1 7.对称问题 例 9.已知椭圆13422yx上存在两点BA,关于直线l：mxy 2对称，求实数m的取值范围 练习：已知椭圆1422 yx上存在两个不同的点NM,关于直线1 kxy对称，求实数k的取值范围 例10.已 知M是 椭 圆12222byax上 一 点，21,FF为 其 左 右 焦 点，若,15,75012021FMFFMF，求椭圆的离心率 注：已 知M是 椭 圆12222byax上 一 点，21,FF为 其 左 右 焦 点，若,1221FMFFMF，则e 1 2 8.椭圆的切线问题 例 11.求证：过椭圆12222byax上一点),(00yxP切线方程为12020byyaxx 9.椭圆的切点弦 例 13.求证：过椭圆12222byax外一点),(00yxP作椭圆的切线PBPA,，切点弦 AB 所在直线的方程为12020byyaxx