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1、 高中数学选修 2-1 第三章 圆锥曲线与方程 1_椭圆 1_2 椭圆的简单性质 312 椭圆的简单几何性质（选修 2-1）第 2 页 312 椭圆的简单几何性质（选修 2-1）教学目的：1熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2掌握标准方程中cba,的几何意义，以及ecba,的相互关系 3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问
2、题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几 第 3 页 何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力 本节内容的
3、重点是椭圆的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆 第 4 页 的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据课标的安排，本节内容作如下设计：椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2标准方程：12222byax，12222bxay（0 ba）3问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲
4、线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的yx,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对 第 5 页 称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？cba,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：由椭圆方程12222byax(0 ba)研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)(1)范围:从 标 准 方 程 得 出122ax,122by,即 有axa,byb，可知椭圆落在by
5、ax,组成的矩形中 QB2B1A2A1PF2F1PPxOy 第 6 页(2)对称性:把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称y换成y方程不变，图象关于x轴对称把yx,同时换成yx ,方程也不变，图象关于原点对称 如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、y轴叫椭圆的对称轴 从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 在椭圆12222byax的方程里，令0y得ax，因此椭圆和x轴有两个交点)0,(),0,(2aAaA，它们是椭圆12222byax的顶点 第 7
6、页 令0 x，得by，因此椭圆和y轴有两个交),0(),0(2bBbB，它们也是椭圆12222byax的顶点 因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2aAaA，),0(),0(2bBbB 加两焦点)0,(),0,(21cFcF 共有六个特殊点.21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2,2 ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称性,顶点 因而只需少量描点就可以较正确的作图了 (4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？第 8 页 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定
7、义式：ace 2)(1abe 范围：10 e 考察椭圆形状与e的关系：0,0ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例 三、讲解范例：例 1 求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形 解：把已知方程化成标准方程 所以，345,4,522cba，B2B1A2A1xOy 第 9 页 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102ba，离心率53ace，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21FF，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5
8、(2AA，)4,0(),4,0(2BB 将已知方程变形为22554xy，根据22554xy，在50 x的范围内算出几个点的坐标),(yx：x 0 1 2 3 4 5 y 4 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）1162522yx （2）192522yx 答：简图如下：例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）14922yx （2）1364922yx 第 10 页 答：简图如下：四、课堂练习：1已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率 解：由题意，)(:)(caca=3:2,即2311ee,解得 625e 2 如图，求椭圆12222byax,(0 ba)内接正方形 ABCD的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形 BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且 B 点横纵坐标相等，故设 B（tt,),代入椭圆方程求得22222babat,即正方形 ABCD 面积为22224baba 五、小结：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法 FEDCBAB2B1A2A1xOy 第 11 页 画图及徒手画椭圆草图的方法 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后反思