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1、.专题 12 二次函数 1二次函数的概念：一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c,则称 y 为 x 的二次函数。抛物线)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2.二次函数 y=ax2+bx+c的图像与性质 1 对称轴：2bxa 2 顶点坐标：24(,)24bacbaa 3 与 y 轴交点坐标0,c 4 增减性：当 a0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而减小；对称轴右边,y 随 x 增大而增大；当 a0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而增大；对称轴右边,y 随 x 增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式。1 一般式 y=ax2+bx+c
2、.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.2 顶点式 2()ya xhk 224()24bacbya xaa 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。3 交点式 12()()ya xxxx 专题知识回顾 .已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式。4根据图像判断 a,b,c 的符号 1a 确定开口方向：当 a0 时,抛物线的开口向上；当 a0 时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与 x 轴有两个交点；24bac=0 时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与 x 轴有一个交点；24bac0 时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与 x 轴没有交点。6函数
3、平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤 1 配方为：2()ya xhk,确定顶点h,k 2 对 x 轴,左加右减；对 y 轴,上加下减。7.二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形,有这样一个结论：当横坐标为 x1,x2 其对应的纵坐标相等,那么对称轴122xxx 例题 12019XX 荆州二次函数y2x24x+5 的最大值是 答案7 解析y2x24x+52x+12+7,即二次函数yx24x+5 的最大值是 7,故答案为：7 例题 2 2019 广西贺州已知抛物线2(0)yaxbxc a的对称轴是直线1x,其部分图象如图所示,下列说法中：0abc；0abc；30ac；当13x 时,0y,正确
4、的是 填写序号 专题典型题考法及解析.答案 解析根据图象可得：0a,0c,对称轴：12bxa,2ba,0a,0b,0abc,故正确；把1x 代入函数关系式2yaxbxc中得：yabc,由抛物线的对称轴是直线1x,且过点(3,0),可得当1x 时,0y,0abc,故错误；2ba,(2)0aac,即：30ac,故正确；由图形可以直接看出正确 故答案为：例题 32019XX 省 XX 市某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋的销售价x元与该士特产的日销售量y袋之间的关系如表：x元
5、 15 20 30 y袋 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数,试求：1 日销售量y袋与销售价x元的函数关系式；.2 假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 答案见解析。解析根据表格中的数据,利用待定系数法,求出日销售量y袋与销售价x元的函数关系式即可；利用每件利润总销量总利润,进而求出二次函数最值即可（1）依题意,根据表格的数据,设日销售量y袋与销售价x元的函数关系式为ykx+b得 25152020kbkb,解得140kb 故日销售量y袋与销售价x元的函数关系式为：yx+40 2 依题意,设利润
6、为w元,得 wx10 x+40 x2+50 x+400 整理得wx252+225 10 当x2 时,w取得最大值,最大值为 225 故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 25 元,每日销售的最大利润是 225 元 一、选择题 1.2019 广西 XX 如图,抛物线2yaxbxc的对称轴为直线1x,则下列结论中,错误的是()A0ac B240bac C20ab D0abc 答案C 解析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 A.由抛物线的开口向下知0a,与y轴的交点在y轴的正
7、半轴上,可得0c,因此0ac,故本选项正确,不 专题典型训练题.符合题意；B.由抛物线与x轴有两个交点,可得240bac,故本选项正确,不符合题意；C.由对称轴为12bxa,得2ab,即20ab,故本选项错误,符合题意；D.由对称轴为1x 及抛物线过(3,0),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(1,0),所以0abc,故本选项正确,不符合题意故选：C 2.2019XX 将抛物线22xy 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线为 A3)2(22xy B3)2(22xy C3)2(22xy D3)2(22xy 答案B 解析将抛物线y2x2向上平移 3 个单位长度,再向
8、右平移 2 个单位长度,得到的抛物线的解析式为y2 x22+3,故选B 3.2019XXXX 已知点A1,m,B1,m,C2,mnn0 在同一个函数的图象上,这个函数可能是 Ayx By=2 Cyx2 Dyx2 答案D 解析A1,m,B1,m,点A与点B关于y轴对称；由于yx,y=2的图象关于原点对称,因此选项A、B错误；n0,mnm；由B1,m,C2,mn可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,对于二次函数只有a0 时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,D选项正确。4.2019 年 XX 省已知抛物线2(1)yxmxm,当1x 时,0y,且当2x时,y的值随x值的增大而减小,则m的取值范
9、围是 A1m B3m C13m D34m 答案C 解析根据当1x 时,0y,得到一个关于m不等式,在根据抛物线2(1)yxmxm,可知抛物线.开口向上,再在根据当2x时,y的值随x值的增大而减小,可知抛物线的对称轴在直线2x 的右侧或者是直线2x ,从而列出第二个关于m的不等式,两个不等式联立,即可解得答案 因为抛物线2(1)yxmxm,所以抛物线开口向上 因为当1x 时,0y,所以21(1)10mm ,因为当2x时,y的值随x值的增大而减小,所以可知抛物线的对称轴在直线2x 的右侧或者是直线2x ,所以122 1m,联立不等式,解得13m 5.2019 广西 XX 已知0m,关于x的一元二次
10、方程(1)(2)0 xxm的解为1x,212()xxx,则下列结论正确的是()A1212xx B1212xx C1212xx D1212xx 答案A 解析关于x的一元二次方程(1)(2)0 xxm的解为1x,2x,可以看作二次函数(1)(2)mxx与x轴交点的横坐标,二次函数(1)(2)mxx与x轴交点坐标为(1,0),(2,0),如图：当0m 时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时1x ,或2x；又12xx 11x,22x；1212xx ,故选：A 6.2019XXXX 已知二次函数yxa1xa+13a+7其中x是自变量的图象与x轴没有公共点,且当x1 时,y随x的增大而减小,则实数a的取值
11、范围是 .Aa2 Ba1 C1a2 D1a2 答案D 解析yxa1xa+13a+7x22ax+a23a+6,抛物线与x轴没有公共点,2a24a23a+60,解得a2,抛物线的对称轴为直线x=22=a,抛物线开口向上,而当x1 时,y随x的增大而减小,a1,实数a的取值范围是1a2 7.2019XX 省 XX 市在平面直角坐标系中,对于二次函数 y=2+1,下列说法中错误的是 Ay 的最小值为 1 B图像顶点坐标为2,1,对称轴为直线 x=2 C当 x2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x2 时,y 的值随 x 值的增大而减小 D它的图像可以由 y=x2的图像向右平移 2 个单位长度,再
12、向上平移 1 个单位长度得到 答案C 解析根据二次函数的性质进行判断,由二次函数 y=2+1,得它的顶点是2,1,对称轴为直线 x=2,当x=2 时,函数的最小值是 1,图像开口向上,当 x2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x2 时,y 的值随 x 值的增大而减小,可由 y=x2的图像向右平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到,所以 C 是错误的,故选 C 二、填空题 8.2019XXXX 二次函数8)6(2xy的最大值是 答案8 解析a10,y有最大值,当x6 时,y有最大值 8故答案为 8 9.如图抛物线 y214xp0,点 F,直线 l:yp,已知抛物线上的点到点
13、 F 的距离与到直线 l 的距离相等,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AA1l,BB1l,垂足分别为 A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若 A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_.答案4ab 解析先由边相等得到A1FB190,进而得到 A1B1的长度,由等面积法得到点 F 到 A1B1的距离,进而得到A1OB1的高,求出三角形面积.设Ax,则B180 x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA11802x,BFB12x,所以A1FB190,所以A1FB1是直角三角形,A1B122ab,所以点 F 到 A1B1的距离为22abab,因为点 F,直线l:yp,A1
14、OB1的高为222abab,所以A1OB1的面积1222ab222abab4ab 10.2019XXXX 已知抛物线yax24ax4a1a0 过点A,B两点,若线段AB的长不大于 4,则代数式a2a1 的最小值是 答案74 解析本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据线段AB的长不大于 4,求出 a 的取值范围,再利用二次函数的增减性求代数式a2a1 的最小值 yax24ax4a1a21,该抛物线的顶点坐标为,对称轴为直线x2 抛物线过点A,B两点,当y3 时,a213,22a,当a0 时,x22a A,B.AB22a 线段AB的长不大于 4,22a4 a12 a2a1234,当a12,mi
15、n23474 11.2019XXXX 已知抛物线2441(0)yaxaxaa过点(,3)A m,(,3)B n两点,若线段AB的长不大于 4,则代数式21aa的最小值是 答案74 解析抛物线2441(0)yaxaxaa过点(,3)A m,(,3)B n两点,4222mnaa 线段AB的长不大于 4,41 3a 12a 21aa的最小值为：2117()1224；故答案为74 12.2019XXXX 二次函数yax2+bx+ca0 的图象如图所示,下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10a0 有两个不相等的实数根；当x1 或x3 时,y0上述结论中正确的是 填上所有正确结论的
16、序号.答案 解析由图可知,对称轴x1,与x轴的一个交点为3,0,b2a,与x轴另一个交点1,0,a0,b0；错误；当x1 时,y0,ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10 可以看作函数yax2+bx+c与y1 的交点,由图象可知函数yax2+bx+c与y1 有两个不同的交点,一元二次方程ax2+bx+c+10a0 有两个不相等的实数根；正确；由图象可知,y0 时,x1 或x3 正确；故答案为 三、解答题 13.2019 北京市在平面直角坐标系xOy中,抛物线21yaxbxa与y轴交于点 A,将点 A 向右平移 2 个单位长度,得到点 B,点 B 在抛物线上 1 求点 B 的坐标用
17、含a的式子表示；2 求抛物线的对称轴；3 已知点11(,)2Pa,(2,2)Q若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.答案见解析。解析先求出 A 点的坐标为10,a,由平移规律求得点 B 的坐标；由 A、B 两点的纵坐标相同,得 A、B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据 a 的符号分类讨论分析解答即可.1当 x=0 时,抛物线211yaxbxaa；抛物线与 y 轴交点 A 点的坐标为10,a,由点 A 向右平移 2 个单位长度得点 B 的坐标为12,a；即1(2,)Ba.（2）由 A10,a、B12,a两点的纵坐标相同,得 A、B 为对称点.抛物线对称轴方程为
18、0212x；即 直线1x.（3）当0a 时,10a.分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；也不可 能同时经过点 B 和点 Q,所以线段 PQ 和抛物线没有交点.当0a 时,10a.分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；但当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时,抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点,此时12a,即12a .综上所述：当12a 时,抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点.14.2019XXXX 工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本 16 元,工厂将该产品进行网络批发,批发单价y元与一次性批发量x件x为正整
19、数之间满足如图所示的函数关系.1 直接写出y与x之间所满足的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2 若一次性批发量不超过 60 件,当批发量为多少件时,工厂获利最大？最大利润是多少？答案见解析。解析本题主要考查一次函数和二次函数的应用.认真观察图象,分别写出该定义域下的函数关系式,定义域取值全部是整数；根据利润=售价-成本件数,.列出利润的表达式,求出最值（1）当 0 x20 且x为整数时,y=40；当 20 x60 且x为整数时,y=-12x+50；当x60 且x为整数时,y=20；2 设所获利润w元,当 0 x20 且x为整数时,y=40,w=20=480 元,当 0 x20 且x为整数
20、时,y=40,当 20 x60 且x为整数时,y=-12x+50,w=x=x,w=-12x2+34x,w=-12x-342+578,-120,当x=34 时,w最大,最大值为 578 元 答：一次批发 34 件时所获利润最大,最大利润是 578 元 15 2019XXXX 政府工作报告中强调,2019 年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌 小亮调查了一家 XX 特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价 72 元/盒,售价 120 元/盒,B种湘莲礼盒进价 40 元/盒,售价 80 元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800 元,平均每天的总利润
21、为 1280 元 1 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？2 小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元？答案见解析。解析根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组即可解题；根据题意,可设A种礼盒降价m元/盒,则A种礼盒的销售量为：10+盒,再列出关系式即可 1 根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,.则有,解得 故该店平均每天销售A礼盒 10 盒,B种礼盒为 20 盒 2 设A种湘莲礼盒降价m元/盒,利润为W元,依题意
22、 总利润W120m7210+800 化简得Wm2+6m+1280m92+1307 a0 当m9 时,取得最大值为 1307,故当A种湘莲礼盒降价 9 元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是 1307 元 16.2019 广西省贵港市如图,已知抛物线2yaxbxc的顶点为(4,3)A,与y轴相交于点(0,5)B,对称轴为直线l,点M是线段AB的中点 1 求抛物线的表达式；2 写出点M的坐标并求直线AB的表达式；3设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标 答案见解析。解析函数表达式为：2(4)3ya x,将点B坐标代入上
23、式,即可求解；(4,3)A、(0,5)B,则点(2,1)M,设直线AB的表达式为：5ykx,将点A坐标代入上式,即可求解；分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可 1 函数表达式为：2(4)3ya x,将点B坐标代入上式并解得：12a ,.故抛物线的表达式为：21452yxx；2(4,3)A、(0,5)B,则点(2,1)M,设直线AB的表达式为：5ykx,将点A坐标代入上式得：345k,解得：2k,故直线AB的表达式为：25yx；3 设点(4,)Qs、点21(,45)2P mmm,当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到M,同样点21(,45)2P mmm向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到(4,)Qs,即：24m,214542mms,解得：6m,3s ,故点P、Q的坐标分别为(6,1)、(4,3)；当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：424m,213 1452mms ,解得：2m,1s,故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1)；故点P、Q的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4,3)或(4,1)