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1、 专题 10.1 二次函数精选考点专项突破卷（1）考试范围：二次函数；考试时间：90 分钟；总分：120 分 一、单选题（每小题 3 分，共 30 分)1（2019浙江初三期中）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（）A21yx B53yx C23yx D2yx 2（2020吉林初三期末）函数yx2具有的性质是（）A无论x取何值，y总是正的 B图象的对称轴是y轴 Cy随x的增大而增大 D图象在第一、三象限 3（2020福建福州时代中学三盛分校初三期末）关于二次函数 y2x2+1，以下说法正确的是（）A开口方向向上 B顶点坐标是（2，1）C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x0 时，
2、y 有最大值12 4（2020海林市朝鲜族中学初三期末）抛物线 y=3(x-1)2+2 的顶点坐标是（）A（1,-2）B（-1,2）C（1，2）D（-1，-2）5（2020江苏初三期末）二次函数22yxx 在下列（）范围内，y随着x的增大而增大 A2x B2x C0 x D0 x 6（2020北京初三期末）11(,)2Ay，2(1,)By，3(4,)Cy三点都在二次函数2(2)yxk 的图象上，则1y，2y，3y的大小关系为（）A123yyy B132yyy C312yyy D321yyy 7（2020江苏初三期末）已知抛物线 y=x2x2 经过点（m，5），则 m2m+2 的值为（）A7 B
3、8 C9 D10 8（2020海林市朝鲜族中学初三期末）二次函数y=x22x+1 与x轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 9（2020湖南初三期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断确的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 10（2020浙江初三期末）已知抛物线yax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y0 时，x的取值范围是（）Ax3 Bx1 C1x3 Dx1 或 x3 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分)11（2019厦门海沧实验中学初三期中）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如
4、表：x 1 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 写出不等式ax2+bx+c5 的解集是_ 12（2020江苏初三期末）二次函数233yxx-的图象与y轴的交点坐标是_ 13（2020浙江初三期末）若抛物线yx24xc的顶点在x轴上，则c的值是_ 14（2020贵州初三期末）把函数yx26 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象的表达式为_ 15（2019全国初三期末）已知抛物线y=ax2-3x+a2-1 经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为_ 16（2020北京初三期末）函数2(03)yaxbxcx剟的图象如图所示，则该函数的最小值是_ 17（2020吉林初三期末）一抛物线形拱桥如
5、图所示，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m 当水面下降 1m时，水面的宽为_m 三、解答题一（每小题 8 分，共 32 分)18（2020浙江初三期末）已知抛物线yx2+bx+3 与x轴交于点A（1，0）（1）求b的值；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，求ABC的面积 19（2020贵州初三期末）如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以 1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以 2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动（1）P，Q两点出发几秒后，可使PBQ的面积为 8cm2（2）设P，Q两
6、点同时出发移动的时间为t秒，PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出PBQ面积的最大值 20（2020江苏初三期末）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程 ax2+bx+c=0 的两个根；（2）写出不等式 ax2+bx+c0 的解集；（3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围.21（2020河南初三期末）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元），设每件商品的售价上涨 x 元（x为正整数）
7、，每个月的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？四、解答题二（每小题 10 分，共 30 分)22（2019厦门海沧实验中学初三期中）如图，已知抛物线yax2+bx+3 经过点A（1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C （1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，
8、说明理由 23（2020贵州初三期末）如图，已知一次函数ykx+b的图象经过A（1，5），B（0，4）两点且与x轴交于点C，二次函数yax2+bx+4 的图象经过点A、点C（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；（2）连接OA，求OAB的正弦值；（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 24（2020海林市朝鲜族中学初三期末）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A 的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），作直线 BC 动点 P 在 x 轴上运
9、动，过点 P 作 PMx轴，交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N，设点 P 的横坐标为 m（1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，若CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，求 m 的值；（3）当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形时，求 m 的值 专题 10.1 二次函数精选考点专项突破卷（1）参考答案 1C【解析】根据形如 y=ax2+bx+c（a0）是二次函数，可得答案【详解】解：A、21yx不是二次函数，故 A 错误；B、53yx不是二次函数，故 B 错误；C、23yx是二次函数，故 C 正确；D、2yx不
10、是二次函数，故 D 错误；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的定义，形如 y=ax2+bx+c（a0）是二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于零 2B【解析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论【详解】解：二次函数解析式为yx2，二次函数图象开口向上，当x0 时y随x增大而减小，当x0 时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负，其图象的顶点为原点，原点不属于任何象限 故选：B【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 3C【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题 【详解
11、】解：二次函数 y2x2+1，该函数图象开口向下，故选项 A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项 B 错误；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 C 正确；当 x0 时，y 有最大值 1，故选项 D 错误；故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 4C【解析】根据二次函数的图象性质可得:抛物线y=3(x1)2+2 的顶点坐标是（1,2）,故选 C.5C【解析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定 x 的取值范围.【详解】222(1)1yxxx ，图像的对称轴为 x=1，a=-10，当 x1时，y随着x的增大而增大，故选：
12、C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当 a0a0 时，对称轴左增右减，当时，对称轴左减右增.6B【解析】根据二次函数2(2)yxk 的图象的对称轴和开口方向以及点 A，B，C 与对称轴的相对位置，即可得到答案.【详解】二次函数2(2)yxk 的图象的对称轴方程是：直线 x=2，开口方向向下，11(,)2Ay，2(1,)By，3(4,)Cy三点都在二次函数2(2)yxk 的图象上，点 B 距离直线 x=2 最近，点 A 距离直线 x=2 最远，132yyy，故选 B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的开口方向和对称轴位置和图象上的点的坐标之间的联系，是解题的关键.7C【解析
13、】【分析】先把 P（m，5）代入抛物线的解析式 y=x2-x-2，得到 5=m2-m-2，变形后有 m2-m=7，然后把它整体代入 m2m+2 中进行计算即可【详解】抛物线 y=x2x2 经过点（m，5），5=m2m2，故 m2m=7，m2m+2=9，故选 C【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线上点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键.本题也考查了整体思想 8B【解析】由=b2-4ac=（-2）2-411=0，可得二次函数 y=x2-2x+1 的图象与 x 轴有一个交点故选 B 9C【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【详解】解：由图象的开口方向可知：a0；由对称轴
14、可知：x=2ba0，b0；由图象可知：c0，a0，b0，c0.故选:C.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型 10C【解析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的对称轴和与 x 轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当 y0 时，x 的取值范围【详解】解：由函数图象可知，该函数的对称轴是直线x1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）则该函数与x轴的另一个交点为（1，0），故当y0 时，x的取值范围是1x3，故选：C【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结
15、合的思想解答 110 x4【解析】根据表格数据可知，二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性判断出4x 时，5y，然后再根据二次函数图象的增减性求解即可.【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线2x 所以，2x 时的函数值与0 x 时的相等，即5y 又由表格数据可知，二次函数的图象开口向上，当2x 时，y 随 x 的增大而减小；当2x 时，y 随 x 的增大而增大；当2x 时，y 取得最小值 1 则求不等式25axbxc的解集，也就是求5y 时，x 的取值范围 根据二次函数图象的特征可得：所求的解集为04x 故答案为：04x.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质（对称性与增减性），根据表格数据得
16、出二次函数的对称轴是解题关键.12（0，3）【解析】令 x=0 即可得到图像与 y 轴的交点坐标.【详解】当 x=0 时，y=3，图象与y轴的交点坐标是（0，3）故答案为：（0，3）.【点睛】此题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，图像与 y 轴交点的横坐标等于 0，与 x 轴交点的纵坐标等于 0，依此列方程求解即可.134【解析】试题分析：将抛物线yx24xc配方成 y=(x-2)2-4+c，顶点坐标为（2，c-4）,所以 c-4=0,故 c 的值为 4.14y（x1）26【解析】根据函数图象的平移规律求解即可.【详解】解：把函数yx26 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象的表达式为y
17、（x1）26，故答案为：y（x1）26【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式 15-1【解析】根据二次函数的图象开口向下知道 a0，又二次函数的图象过原点，可以得到 a2 10，即可求出a 的值【详解】抛物线 yax2 3xa2 1 经过坐标原点，且开口向下，a0，且 a2 10，解得 a 1，故答案为 1【点睛】本题主要考查二次函数的性质的知识点，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就
18、容易错，其解答思路渗透了数形结合的数学思想 16-1【解析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案.【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），抛物线的开口向上，该函数的最小值是：-1.故答案是：-1.【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键.1726【解析】根据题意画出直角坐标系和二次函数,通过二次函数解出即可.【详解】解：如图：以拱顶到水面的距离为 2 米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：yax2+2 把A（2，0）代入，得 a12，所以二次函数解析式为：y12x2+2，当y1
19、 时，12x2+21 解得x6 所以水面的宽度为 26 故答案为 26【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于对二次函数图像的理解和应用.18（1）4；（2）3【解析】（1）根据抛物线yx2+bx+3 与x轴交于点A（1，0），可以求得b的值；（2）根据（1）中b的值和抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，可以求得点B和点C的坐标，从而可以求得ABC的面积【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+3 与x轴交于点A（1，0），012+b1+3，解得，b4，即b的值是4；（2）由（1）知b4，则yx24x+3，当y0 时，0 x24x+3（x1）（x3），解得，x11，x23，故点B的坐
20、标为（3，0），当x0 时，y3，即点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），AB2，OC=3，ABC的面积=2 323【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 19（1）经过 2 或 4 秒后，PBQ的面积等于 8cm2（2）在移动过程中，PBQ的最大面积是 9cm2【解析】（1）由题意，可设 P、Q 经过 t 秒，使PBQ 的面积为 8cm2，则 PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，SPBQ=12BPBQ，列出表达式，解答出即可；（2）由题意，可
21、设 P、Q 经过 t 秒，则 PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，SPBQ=12BPBQ，列出表达式，然后求出函数的最大值即可.【详解】解：（1）设经过t秒后，PBQ的面积等于 8cm2 12（6t）2t8，解得：t12，t24，答：经过 2 或 4 秒后，PBQ的面积等于 8cm2（2）依题意，得S12PBBQ12（6t）2tt2+6t（t3）2+9，在移动过程中，PBQ的最大面积是 9cm2【点睛】本题主要考查了三角形面积求解与二次函数的最值问题，根据题意得出 PB=6-t，BQ=2t 是解题的关键.20（1）x11，x23；（2）1x3；（3）x2.【解析】（1）利用抛物
22、线与 x 轴的交点坐标写出方程 ax2bxc0 的两个根；（2）写出函数图象在 x 轴上方时所对应的自变量的范围即可；（3）根据函数图象可得答案【详解】解：（1）由函数图象可得：方程 ax2bxc0 的两个根为 x11，x23；（2）由函数图象可得：不等式 ax2bxc0 的解集为：1x3；（3）由函数图象可得：当 x2 时，y 随 x 的增大而减小【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题、根据函数图象求不等式解集以及二次函数的性质，注意数形结合思想的应用.21（1）y 与 x 的函数关系式为2101102100yxx；x 的取值范围为115x，且 x 为正整数；（2）每件商品的售价定为
23、55 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2400 元.【解析】（1）先求出每件商品的售价上涨 x 元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据 x 为正整数，和每件售价不能高于 65 元写成 x 的取值范围；（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.【详解】（1）设每件商品的售价上涨 x 元，则商品的售价为(50)x元，月销量为(21010)x件 由题意得：(5040)(21010)yxx 整理得：2101102100yxx 由每件售价不能高于 65 元得：5065x，即15x 又因 x 为正整数 则 x 的取值范围为：115x，且 x
24、 为正整数 综上，y 与 x 的函数关系式为2101102100yxx；x 的取值范围为115x，且 x 为正整数；（2）2101102100yxx 的对称轴为：1105.522(10)bxa 则当15.5x时，y 随 x 的增大而增大；当5.515x时，y 随 x 的增大而减小 因 x 为正整数，则当15.5x时，5x，y 取得最大值；当5.515x时，6x，y 取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润 将5x 代入得：210 5110 521002400y ，此时售价为5055x 将6x 代入得：210 6110621002400y ，此时售价为5056x 答：每件商品的售价定为 55
25、 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2400 元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解.22（1）yx2+2x+3；（2）MNm2+3m（0m3）；（3）存在，当m32时，BNC的面积最大，最大值为278【解析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长；（3）根据题（1）（2）的结论，列出BN
26、CS关于 m 的表达式，再利用函数的性质求解BNCS的最大值即可.【详解】（1）抛物线23yaxbx经过点(10),(3 0)AB，两点，代入得：309330abab，解得：12ab 则抛物线的解析式为2yx2x3；（2）由抛物线2yx2x3 可知，(0 3)C，因此，设直线 BC 的解析式为：3ykx 代入(3 0)B，得330k 解得：1k 则直线 BC 的解析式：3yx 已知点 M 的横坐标为 m，且/MN y轴，则2(,3),(,23)M mmN mmm；则2223(3)3(03)MNmmmmmm 故 MN 的长为23(03)mmm；（3）存在点 M，使BNC的面积最大 如图，过点 M
27、 作MDx轴于点 D 则1111()2222BNCMNCMNBSSSMN ODMN DBMNODDBMN OB 即22113327(3)3()22228BNCSMN OBmmm (03)m 由二次函数的性质可知：当302m时，BNCS随 m 的增大而增大；当332m时，BNCS随 m 的增大而减小 则当32m 时，BNC的面积最大，最大值为278.【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出BNC的面积关于 m 的表达式是解题关键.23（1）yx4，y2x2+7x+4；（2）2 1313；（3）存在，（6，0）或（20，0）【解析
28、】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与 x 轴的交点 y=0，求出 C 的坐标，然后根 据 A 与 C 的坐标求出二次函数的解析式即可；（2）过O作OHBC，垂足为H，证明BOC为等腰直角三角形，求出OH12BC22，然后求出 OA，即可求出OAB的正弦值；（3）利用勾股定理求出 AH，再求出AB2，然后分情况求出 D 点的坐标即可.【详解】解：（1）一次函数ykx+b的图象经过A（1，5），B（0，4）两点，5k+b，b4，k1，一次函数解析式为：yx4，一次函数yx4 与x轴交于点C，y0 时，x4，C（4，0），二次函数yax2+bx+4 的图象经过点A（1，5）、点C（
29、4，0），4516440abab，解得a2，b7，二次函数的函数表达式为y2x2+7x+4；（2）过O作OHBC，垂足为H，C（4，0），B（0，4），OBOC4，即BOC为等腰直角三角形，BC2200BC224442，OH12BC22，由点O（0，0），A（1，5），得：OA26，在 RtOAH中，sinOABOHOA2 2262 1313；（3）存在，由（2）可知，OBC为等腰直角三角形，OHBH22，在 RtAOH中，根据勾股定理得：AH22A00H26 832，ABAHBH2，当点D在C点右侧时，OBADCB135，当CDBACBBO，即244 2CD时，解得CD2，C（4，0），即O
30、C4，ODOC+CD2+46，此时D坐标为（6，0）；当CDBOCBBA，即44 22CD时，解得CD16，C（4，0），即OC4，ODOC+CD16+420，此时D坐标为（20，0），综上所述，若BCD与ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定，综合性较强，熟练掌握各知识点并学会综合应用是解题的关键.24(1)y=x+3;(2)m=2;(3)3212 【解析】试题分析：（1）把点 A（1，0），点 C（0，3）代入抛物线 y=x2+bx+c 列出方程组求得 b、c 的值即可得到抛物线的解
31、析式，在所得抛物线的解析式中，由 y=0 可得关于 x 的一元二次方程，解方程可求得 B 的坐标；有 B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线 BC 的解析式；（2）由CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形可得，CMx 轴，由点 C 的坐标（0，3）可得点 M 的纵坐标为3，把 y=3 代入抛物线的解析式解得 x 的值即可得到 m 的值；（3）由已知把 M、N 的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出 MN 的长，根据题意可得 MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得 m 的值.试题解析：（1）把点 A（1，0），点 C（0，3）代入抛物线 y=x2+bx+c，得103bc
32、c ，解得23bc，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3；令x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，点 B 的坐标（3，0），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 C（0，3），B 的坐标（3，0）代入，得330bkb，解得：13kb ，直线 BC 的解析式为 y=x+3（2）CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形，CMx 轴，即点 M 的纵坐标为 3，把 y=3 代入 y=x2+2x+3，得 x=0 或 2，点 M 不能与点 C 重合，点 P 的横坐标为 m=2（3）抛物线的解析式为 y=x2+2x+3，P 的横坐标为 m M（m，m2+2m+3），直线 BC 的解析式为 y=
33、x+3 N（m，m+3），以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形，MN=OC=3，m2+2m+3（m+3）=3，化简得 m23m+3=0，无解，或（m+3）（m2+2m+3）=3，化简得 m23m3=0，解得 m=3212，当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形时，m 的值为3212 点睛：（1）解第2小题的关键是由“CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合MNC是锐角可得NMC=90，从而得到 CMx 轴；（2）解第 3 小题的关键是由“以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形”得到 MN 是 OC 的对边，从而得到 MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得 m 的值了。