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1、结构力学中南大学中南大学07:166-1概概 述述6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理6-3位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法6-4静定结构在静定结构在荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算6-5图乘法图乘法6-6静定结构温度变化时静定结构温度变化时的位移计算的位移计算6-7静定结构支座移动时静定结构支座移动时的位移计算的位移计算6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理第第六六章章 结构位移计算结构位移计算 结构力学中南大学中南大学07:161.1.结构的位移结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它是指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置
2、移动到另一位置，这个移动因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。思考：变形与位移的差别？思考：变形与位移的差别？变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。两者之间的关系：两者之间的关系：两者之间的关系：两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一有形变必有位移；有位移不一有形变必有位移；有位移不一有形变必有位移；有位移不一定有形变。定有形变。定有形变。定有形变。6-1概述概述结
3、构力学中南大学中南大学07:16A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A A A点线位移点线位移点线位移点线位移A A A A点水平位移点水平位移点水平位移点水平位移A A A A点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移A A A A截面转角截面转角截面转角截面转角P2.2.位移的分类位移的分类6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16 截面截面C、D 的相对竖向的相对竖向线位移为线位移为:截面截面C、D 的相对角位移为的相对角位移为:6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16AP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差制造误差制造误差 等等等等荷载荷载荷载荷载温度
4、温度温度温度改变改变改变改变支座移动支座移动支座移动支座移动还有什么原还有什么原还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产因会使结构产因会使结构产生位移生位移生位移生位移?3.3.位移产生的原因位移产生的原因6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:(1)(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/6001/600 跨度；跨度；桥梁在竖向桥梁在竖向静活载静活载下，钢板桥梁和钢桁梁下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移
5、1/10001/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 1/800 层高。层高。6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16(2)(2)超静定结构、动力和稳定计算的基础超静定结构、动力和稳定计算的基础(3(3）施工要求）施工要求超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。以便采取一定的施工措施，
6、使结构物符合设计图纸的要求。6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16（3 3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)(Ideal Constraint)。叠加原理适用叠加原理适用叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition)principle of superposition)(1)(1)线弹性线弹性 (Linear Elastic),(Linear Elastic),(2)(2)小变形小变形 (Small Deformation),(Small Deformation),6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16本章只讨论应用
7、虚功原理求解结构位移。本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。2.功能法功能法虚功原理虚功原理应变能应变能(卡氏定理卡氏定理)研研究究变变形形和和位位移移的的几几何何关关系系，用用求求解解微微分分方方程程式式的的办办法法求求出出某某截截面面的的位位移移（材材料料力力学学用用过过，但但对对复杂的杆系不适用）。复杂的杆系不适用）。1.1.几何法几何法 6-1概述概述结构力学中南大学中南大学07:16 一、基本概念一、基本概念实功：实功：力在其本身引起的位移上所作的功。力在其本身引起的位移上所作的功。位移位移是由外力是由外力F引起的，引起的，F 做的功可表示为做的功可表示为:1.1.外力的实功外力的实功
8、6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16 实实功功的的数数值值就就等等于于图图上上三三角角形形OAB的的面面积积。实实功功是是外外力力的的非非线线形形函函数数，计计算算外外力力实实功功不不能能应应用叠加原理。用叠加原理。所以所以 设线弹性材料的弹性系数为设线弹性材料的弹性系数为k，则，则6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:162.2.外力的虚功外力的虚功虚虚功功：力力在在其其它它原原因因引引起起的的位位移移上上所所作作的的功功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。虚功的数值是
9、位移曲线所围的矩形面积。虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力与位移两者相互独立，计算外虚功中的力与位移两者相互独立，计算外力虚功可应用叠加原理。力虚功可应用叠加原理。6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16力力F1在力在力F2引起的位移引起的位移12上作的功为虚功为上作的功为虚功为例例 F1力在其引起的位移力在其引起的位移11 上作的功为实功为上作的功为实功为 6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16 结构产生的各种位移，包括截面的结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一线位移
10、、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。组位移等等都可泛称为广义位移。3.3.广义位移和广义力广义位移和广义力广义位移广义位移 与与广广义义位位移移对对应应的的就就是是广广义义力力，可可以以是是一一个个集集中中力力，集集中中力力偶偶或或一一对对大大小小相相等等方方向向相相反的力或力偶，也可以是一组力系。反的力或力偶，也可以是一组力系。注注意意：广广义义位位移移与与广广义义力力的的对对应应关关系系，能能够够在在某某一一组组广广义义位位移移上上做做功功的的力力系系，才才称称为为与与这这组组广广义位移对应的广义力。义位移对应的广义力。广义力广义力6-2变形体系的虚功原理
11、变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:164.4.内力功内力功 定定义义：从从杆杆上上截截取取一一微微段段,作作用用在在该该微微段段上上的的内内力力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。该微段上相应的变形为该微段上相应的变形为轴向变形轴向变形 剪力变形剪力变形 弯曲变形弯曲变形 6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16如如果果变变形形就就是是由由此此内内力力引引起起的的，则则此此微微段段上上内内力力功功应应为为实实功功，其其为为轴轴力力、剪剪力力和和弯弯矩矩分分别别做做的的功功之和：之和：因为因为由胡克
12、定律有：由胡克定律有：故故 实功数值上就等于微段的应变能。实功数值上就等于微段的应变能。所以所以内力实功内力实功6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16若若变变形形与与内内力力彼彼此此无无关关，则则此此微微段段上上的的内内力力功功是虚功，其为是虚功，其为对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：原因而定。原因而定。,和和 的具体表达式要视引起这个变形的具体的具体表达式要视引起这个变形的具体内力虚功内力虚功6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16回顾回顾（1 1）质点系的虚功原理
13、）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的必要和充分条件是：fi ri=0.对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为质点系的主动力所做虚功之和为零零。也即也即6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16（2）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何对于任何可能可能的虚
14、位移，的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚功之和为零。FPPB-FPP+FBB=06-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16二、二、虚功原理虚功原理 1.变形体的虚功原理变形体的虚功原理 设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和系在位移上做的虚功的总和We，等于变形体的内力在变形等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和上做的虚功的总和Wi，
15、即，即，这就是这就是虚功方程虚功方程。（证明略）（证明略）需注意：需注意：外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16位移必须满足虚位移的条件位移必须满足虚位移的条件满足约束条件满足约束条件的非常微小的连续位移；的非常微小的连续位移；外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移小位移与相应的变形是位移状
16、态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和状态的位移上做功之和(外力虚功外力虚功)等于力状态的内力在等于力状态的内力在位移状态的变形上做功之和位移状态的变形上做功之和(内力虚功内力虚功)。对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。列出虚功方程，可以求解不同的问题。6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16解释：解释：解释：解释：两种状态两种状态两种状态两种状态力状态力状态力状态力状态
17、位移状态位移状态F FP PF FP P/2/2F FP P/2/2（虚）力状态力状态（虚力状态）（虚力状态）（虚位移状态）（虚位移状态）无关无关无关无关（虚）位移状态位移状态q q注注注注意意意意：（3 3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；（2 2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件变形协调条件,力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（1 1）属）属同一同一体系；体系；6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:162.2.杆系结构虚功方程杆系结构虚功方程 以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因以上结论与材
18、料物理性质及具体结构无关，因以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。适用于一切非线性结构。适用于一切非线性结构。适用于一切非线性结构。希望能很好理解，尽可能达到掌握！希望能很好理解，尽可能达到掌握！6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16虚位移原理虚位移原理 令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立令实际的力状态在虚设的位
19、移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。际力系中的未知力。这就是虚位移原理。虚力原理虚力原理 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称也称为余虚功原理为余虚功原理)。一个力系平衡的充分必要条件是：一个力系平衡的充分必要条件是：对任意协调位移，虚功方程成立。对任意协调位移，虚功方程
20、成立。一个位移是协调的充分必要条件是：一个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立对任意平衡力系，虚功方程成立。3.虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16注注意意:虚虚位位移移原原理理写写出出的的虚虚功功方方程程是是一一个个平平衡衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例如：应用例如：应用虚位移原理虚位移原理求支座求支座C的反力的反力FC。即即 故故 撤除与撤除与FC相应的约束相应的约束,将将FC变成主动力，取与变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚正向一致的刚
21、体位移作为虚位移。位移。列出虚功方程：列出虚功方程：6-2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16 注意：注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，可用于求解几何问题。程，可用于求解几何问题。例例：当当A支支座座向向上上移移动动一一个个已已知知位位移移c1，求求点点B产产生生的的竖竖向向位移位移。在拟求线位移的方向加单位力在拟求线位移的方向加单位力 由平衡条件由平衡条件 令令虚虚设设的的平平衡衡力力系系在在实实际际的的位位移移状状态态下下做做功功，得得虚虚功方程功方程求得求得与单位力方向相同。与单位力方向相同。6-2变形体系的虚
22、功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学07:16单位荷载法单位荷载法 (Dummy-UnitLoadMethod)是是 Maxwell,1864和和Mohr,1874 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-MohrMethod。图示结构，要求图示结构，要求=?=?实际状态实际状态 位移状态位移状态虚拟状态虚拟状态 力状态力状态6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要态（称力虚设状态），要使虚拟力的
23、虚功正好等于所求位使虚拟力的虚功正好等于所求位移移，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位荷载法。单位荷载法。外力虚功外力虚功:内力虚功内力虚功:由虚功方程：由虚功方程：此式即为平面结构位移计算一般公式。此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明若结果为正，说明 在在 上做正功，这表明的实际上做正功，这表明的实际方向与方向相同。若结果为负，说明方向与方向相同。若结果为负，说明 在在 上做负功，上做负功，这表明的实际方向与方向相反。这表明的实际方向与方向相反。6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构
24、力学中南大学中南大学07:16几点说明：几点说明：(1)(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程 ，实质上是，实质上是几何方程几何方程。(2)(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力广义力 P P=1=1(3)(3)求解时求解时关键一步关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。是找出虚力状态的静力平衡关系。特点特点:是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程总的来讲：总的来讲：6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计
25、算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:162.2.结构类型：结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；静定和超静定结构；1.1.位移原因：位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；荷载、温度改变、支座移动等；3.3.材料性质：材料性质：线性、非线性；线性、非线性；4.4.变形类型：变形类型：弯曲变形、拉弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形；变形、剪切变形；5.5.位移种类：位移种类：线位移、角位移；相对线位移线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。和相对角位移。一般公式的普遍性表现在一般公式的普遍性表现在：6-3 位移计算的一
26、般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16BA(b)试确定指定试确定指定广义位移广义位移对应的对应的单位广义力单位广义力A(a)F=1F=1F=16-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16F=1(c)A(d)ABF=1F=16-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16ABCd(e)ABC(f)6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=16-
27、3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学07:16由虚功原理有：由虚功原理有：W=Wi外力虚功外力虚功 变形虚功变形虚功 荷载作用引起的位移计算荷载作用引起的位移计算等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状态的变形上做的内力虚功之和。态的变形上做的内力虚功之和。6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16对于直杆，则可用对于直杆，则可用d dx代替代替
28、d ds。计算位移的公式为计算位移的公式为 单位力状态下结构的轴力、剪单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。力和矩方程式。实际荷载引起结构的轴力、实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式剪力和弯矩方程式。E、G材料的弹性模量和剪力弹性模量材料的弹性模量和剪力弹性模量.A、I I 杆件的横截面面积和横截面惯性矩杆件的横截面面积和横截面惯性矩.剪力在截面上分布的不均匀系数，对剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面于矩形截面=1.2。6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16（1）梁、刚架：）梁、刚架：只考虑弯矩只考虑弯矩Mp引起的位移
29、。引起的位移。（2）桁架：）桁架：只有轴力。只有轴力。桁架各杆均为等截面直杆则桁架各杆均为等截面直杆则6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算公式简化：公式简化：公式简化：公式简化：结构力学中南大学中南大学07:16 拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。三项因素都须要考虑进去。(4)跨度较大的薄拱，跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，其轴力和弯矩的影响相当，剪力剪力的影响不计，位移计算公式为的影响不计，位移计算
30、公式为 6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算（3）组合结构）组合结构结构力学中南大学中南大学07:16例例6-1图图示示刚刚架架，已已知知各各杆杆的的弹弹性性模模量量E和和截截面面惯惯性性矩矩I 均均为为常常数数，试试求求B点点的的竖竖向向位位移移BV，水水平位移平位移BU,和位移和位移B。解解:(1)作作出出荷荷载载作作用用下下的的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁横梁BC 竖柱竖柱CA6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16(2)求求B 点的竖向位移点的竖向位移BV写写出出各
31、各杆杆单单位位力力作作用用下下的弯矩方程的弯矩方程式，式，画出弯矩图画出弯矩图横梁横梁BC 竖柱竖柱CA6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16(3)求求B点的水平位移点的水平位移BU 在在B点加单位水平力。点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程矩方程 横梁横梁BC竖柱竖柱CA注意：注意：负号表示位移负号表示位移的方向与假设的单位的方向与假设的单位力的方向相反。力的方向相反。6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算（4）求）求B点的线位移点的线位移B结构力学中南大学中南大学07
32、:16 例例6-2一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁矩形截面的弯曲刚度为矩形截面的弯曲刚度为EI，半径为半径为r，圆弧圆弧AB 的圆的圆心角心角0 0 及荷载及荷载 q 均为已知，试求截面均为已知，试求截面B 的竖向及水平的竖向及水平向位移向位移BV和和BU。解解:当当曲曲梁梁的的半半径径较较大大截截面面比比较较薄时，可忽略轴力和剪力的影响。薄时，可忽略轴力和剪力的影响。(1)列出曲梁在荷载作用下的列出曲梁在荷载作用下的弯矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉弯矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉为正弯矩。为正弯矩。取取B点点为为座座标标原原点点，任任意意截截面面C 的的横
33、横座座标标为为x，该该截截面面的的弯弯矩：矩：6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16(2)求求BV ，在，在B点加一点加一竖向竖向单位力，单位竖向单位力，单位竖向力引起的弯方程为力引起的弯方程为 采用极坐标表示采用极坐标表示由于由于 所以所以 6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16(3)求求BU，在在B点点作作用用一一单单位位向向水水平平力力，列列出出此此水水平向单位力引起的弯矩方程平向单位力引起的弯矩方程6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算
34、结构力学中南大学中南大学07:16例例6-3 平平面面桁桁架架如如图图，已已知知各各杆杆截截面面积积均均为为A=0.4=0.41010-2m2弹弹性性横横量量E=200GPa，试试求求B点点和和D点点的竖向位移。的竖向位移。解解:(:(1)求出实际荷载状态下各杆的内力。求出实际荷载状态下各杆的内力。(2)求求BV6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16在在B点加一向下的单位力点加一向下的单位力,求此单位力引起的各杆轴力求此单位力引起的各杆轴力FN。6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大
35、学07:16(3)求求DV在在D点加一向下单位力，求出此虚设状态点加一向下单位力，求出此虚设状态各杆的轴力各杆的轴力FN。6-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便.下面介绍计下面介绍计算位移的算位移的图乘法图乘法。6-5 图乘法图乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1.1.静定结构的内力计算；静定结构的内力计算；2.2.利用位移计算公式求静定结构的位移；利用位移计算公式求静定结构的位移；3.3.刚架与梁在荷
36、载作用下的位移计算公式刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式,即即:已有基础：结构力学中南大学中南大学07:16(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是VereshaginVereshagin于于19251925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16例例.试求图示梁试求图示梁B B端转角。端转角。解解:MPMi为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?6-5 图
37、乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16顶点：顶点：顶点：顶点：指曲线切线与杆指曲线切线与杆轴重合或平行轴重合或平行6-5 图乘法图乘法 几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法结构力学中南大学中南大学07:161.1.图乘法的应用条件图乘法的应用条件（1 1）等截面直杆，）等截面直杆，EIEI为常数；为常数；（2 2）两个）两个M M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3 3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。3.3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较
38、复杂，可分解为简单图形。6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16(1)(1)曲曲-折组合折组合6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16(2)(2)梯梯-梯同侧组合梯同侧组合6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16(3)(3)梯梯-梯异侧组合梯异侧组合ABCDabcd图图图图b c取取负负值值6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16复杂图形的处理：复杂图形的处理：+=+=6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16求求MPMi6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16(4)(4)阶梯形截面杆阶梯形截面杆6-
39、5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16例例 1.1.已知已知EIEI为常数，求为常数，求C C、D D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16 例例 2.2.图示梁图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16l/2ql/2MP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16l/2ql/2MP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16例例3
40、.3.试求图示结构试求图示结构B B点竖向位移。点竖向位移。解解:MPMi6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16例例4.4.已知已知 EIEI为常数，求铰为常数，求铰C C 两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16 例例5.5.已知已知 EIEI 为常数，求为常数，求A A点竖向位移点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:166.6.求求B B点
41、水平位移。点水平位移。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16 7.7.已知已知EIEI为常数，求为常数，求B B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图8.8.求求B B点水平位移点水平位移,EI=,EI=常数。常数。lPllMP1MP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16解：
42、解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图9.9.求求C C、D D 两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图10.10.求求A A点竖向位移点竖向位移,EI=,EI=常数常数 。MPlllAkk6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16lPlPl11.11.图示结构图示结构 EIEI 为常数，求为常数，求ABAB两点两点(1)(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2),(2)相对水平位移相对水平位移,(3),(3)相对转角相对转角 。MP1
43、111对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.116-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：注意反弯点的利用。如：6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学07:16由温度变化引起的位移计算由温度变化引起的位移计算 (1)每每根根杆杆受受的的温温度度是是均均匀匀作作用用的的，即即每每杆杆上上各各截面的温度是相同的。截面的温度是相同的。(2)杆件的两侧的
44、温度可以是不同的，但从高温杆件的两侧的温度可以是不同的，但从高温一侧到低温一侧温度是按直线变化的。一侧到低温一侧温度是按直线变化的。(3)由由于于假假定定温温度度沿沿杆杆长长均均匀匀分分布布,不不可可能能出出现现剪剪切变形切变形,只有轴向变形只有轴向变形dut和截面转角和截面转角d。假定：假定：6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16温度引起的纤维轴向变形为：温度引起的纤维轴向变形为：其中其中材料的线膨胀系数，即温度升高材料的线膨胀系数，即温度升高11时杆的应变。时杆的应变。设微段设微段ds的的温度变化为：温度变化为：6-6 静定结构温
45、度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16梁段上侧、下侧和中心轴处纤维伸长分别为梁段上侧、下侧和中心轴处纤维伸长分别为由于截面内的温度呈直线变化，有由于截面内的温度呈直线变化，有 得：得：其中其中t=t2t1 ，为杆两侧的温度变化之差。，为杆两侧的温度变化之差。6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16令令虚虚设设的的力力状状态态在在结结构构的的实实际际位位移移状状态态下下做做功功。在在拟拟求求位位移移的的截截面面虚虚设设一一单单位位力力，则则外外力力在在位位移移上上做做的的功功应等于内力在温度引起的
46、变形上做的功之和，即应等于内力在温度引起的变形上做的功之和，即式中式中 对结构中各杆求和。对结构中各杆求和。单位力弯矩图中该杆弯矩图的面积。单位力弯矩图中该杆弯矩图的面积。单位力轴力图中该杆轴力图的面积。单位力轴力图中该杆轴力图的面积。所以所以 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16 正负符号取决于虚功是正功还是负功。若杆的轴正负符号取决于虚功是正功还是负功。若杆的轴心处的温度心处的温度t0 0 是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正号，反之取负号。则此杆的内力虚功为正
47、功，此项取正号，反之取负号。若若温温度度变变化化t使使杆杆弯弯曲曲而而某某侧侧受受拉拉，而而单单位位力力弯弯矩矩图图中中该该杆杆的的弯弯矩矩也也使使该该侧侧受受拉拉，则则虚虚内内力力做做正正功功取取正号，反之为负号。正号，反之为负号。6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16例例6-5图图示示刚刚架架，各各杆杆均均为为矩矩形形截截面面，截截面面高高h=40cm，截截面面形形心心位位于于截截面面高高度度1/2处处。l=4m设设刚刚架架内内部部温温度度上上升升1010外外部部下下降降2020。线线膨膨胀胀系系数数=1=11010-5，试试求求
48、D点点的的竖竖向向位移。位移。解解 (1)在在D点作用一向上的单位力点作用一向上的单位力F=1，作弯矩图作弯矩图 和轴和轴力图力图 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16(2)计算计算D点的竖向位移。点的竖向位移。两侧的温度差为两侧的温度差为 有有杆轴线处的温升值为杆轴线处的温升值为6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16 例例6-6图示桁架，受日照均匀温升图示桁架，受日照均匀温升3030。求。求C点竖点竖向位移。向位移。解：在解：在C点作单位力点作单位力并求出各杆轴力并求出各
49、杆轴力 。己知各杆己知各杆t0=30,t=0故故 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16制造误差引起的位移计算：制造误差引起的位移计算：每个上弦杆加长每个上弦杆加长8mm,8mm,求由此引起的求由此引起的A A点竖点竖向位移。向位移。6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16由支座移动引起的位移计算由支座移动引起的位移计算 求由支座移动引起的结点某点的位移只是一个单纯的几求由支座移动引起的结点某点的位移只是一个单纯的几何问题。可以用力学方法何问题。可以用力学方法刚体的虚力原理来求
50、解。刚体的虚力原理来求解。式式中中是是由由单单位位力力F所所引引起起的的支支座座反反力力；c c 是是与与反反力力 相相应应的的已已知知的的支支座座位位移移。当当二二者者方方向向一一致致时时，其其乘积取正值，相反时取负值。乘积取正值，相反时取负值。在要求位移的点上沿位移的方向加一单位力在要求位移的点上沿位移的方向加一单位力F，求出求出在在此单位力作用下的支座反力此单位力作用下的支座反力R。所有外力虚功之和应为零有：所有外力虚功之和应为零有：6-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算结构力学中南大学中南大学07:16由平面杆件结构位移计算的一般公式：由平面杆件结构位移计算的