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1、6-1 概述1、变形和位移变形结构（或其一部分）形状的改变（变形是泛指，有弯曲变形，扭转变形，拉伸压缩变形等，研究对象通常为整个杆件，或其他单个整体构件。）位移结构各处位置的移动 杆件截面位置的改变 建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转动，称为结构的位移。第1页/共108页(a)例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动了一段距离 ，称为C点的线位移或挠度；支座截面B转动了一个角度 ，称为截面的角位移或转角。第2页/共108页 又如图所示的刚架，在荷载作用下
2、发生如图中虚线所示的变形。刚架上的C点移动至 点，则称 为点C的线位移，用C表示。CyCx还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移，分别用Cx和Cy表示，几何关系如图（b）所示，图中的 为截面C的转角，称为截面C的角位移，上述线位移和角位移统称为绝对位移。第3页/共108页此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。ABAHBHFFA、B两点的水平位移分别为AH和BH，它们之和为(AB)H=AH+BH，称为A、B两点的水平相对线位移。A、B两个截面的转角分别为 和 ，它们之和为 ，称为A
3、、B两个截面的相对角位移。第4页/共108页2.结构位移的种类（1）某点的线位移（2）某截面的角位移（3）两点间的相对线位移（4）两截面间的相对角移线位移：角位移：绝对位移相对位移PABCBCB（CBCBC线位移：角位移：一般来说，结果的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。第5页/共108页二、结构位移产生的原因1、荷载作用2、温度改变和材料胀缩3、支座移动和制造误差P第6页/共108页 静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容，在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。概括地说，它有以下三个目的：计算位移的目的（1）校核结构刚度刚度小，变形过大，即使不破坏也不能正常使用。位移最大值
4、允许值 (2)(2)为为计计算算超超静静定定结结构构打打基基础础-在计算超静定结构的反力和内力时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条件，需要计算结构的位移。(3)(3)计计算算结结构构变变形形后后的的位位置置-在结构的制作、架设等施工过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施，因而也需要计算结构的位移。(施工要求)第7页/共108页第8页/共108页如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移 将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。第9页/共108页 在力学中功的定义是：一个不变的集中力所
5、做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线有位移时如图，作用于物体的常力F在位移上所做的功为 。1.实功与虚功FF6-2 变形体的虚功原理第10页/共108页 如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度 时，两力所做的功为 W=2Fr =M 式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩与角位移的乘积。为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称为广义位移。第11页/共108页由上述可知，功包含了两个因素，即力和位移。
6、若用F表示广义力，用表示广义位移，则功的一般表达式为 W=F 从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。第12页/共108页 既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：（1）位移是由做功的力引起的 例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产生了位移11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移
7、11上做了功。11F由于位移11是由做功的力F1引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。第13页/共108页（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿F1方向又产生了位移12如图所示。112212FF力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在位移12上做了功。由于位移12不是F1引起的，而是由力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所做的功称为虚功。第14页/共108页在虚功中，既然做功的力和相应的位移是彼此无因果关系的两个因素，所以，可将二者看成是同一结
8、构的两种独立无关的状态。其中，力系所属的状态称为力状态图(a)，位移所属的状态称为位移状态图(b)。（a）力状态（b）位移状态 第15页/共108页 如果在力状态中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，统称为广义力，用Fi表示。i表示与广义力Fi相应的广义位移，若用We表示外力虚功，则图(a)所示的力状态在图(b)所示的位移状态上所做的外力总虚功为 当力与位移的方向一致时，虚功为正值，当力与位移的方向相反时，虚功为负值。第16页/共108页 这里所说的虚功并非不存在，而是强调做功过程中力与位移之间彼此无因果关系。使力做虚功的位移，可以是荷载引起的位移、温度变化或支座移动等其他因素引起的位
9、移，也可以是虚设的位移。但是上述的所有虚位移必须是约束条件所允许的微小位移。既然位移状态可以虚设，同样，力状态也可以虚设。第17页/共108页在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即W。2.刚体的虚功原理利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，虚功原理有两种应用：1）虚设位移，求实际的力虚位移原理；2）虚设力状态，求位移虚力原理。第18页/共108页1）虚设位移求未知力(a)(b)如图（a）所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA。把刚体取虚位移，如图（
10、b）所示，根据刚体虚功原理得：其中：分别是沿FA和FP方向的虚位移。令A=1，且令B表示位移 之间的比例系数：，由图中几何关系得：(1)将（1）式除以A，得第19页/共108页例：求 A 端的支座反力解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：将代入得:通常取单位位移法(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题第20页/共108页单位位移法
11、步骤：去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。第21页/共108页例：例：利利用虚位移原理求图用虚位移原理求图示简支梁的支座的反力示简支梁的支座的反力F FByBy。LbaBC(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移(3)写出虚位移方程(4)求解虚位移方程 解：第22页/共108页2）虚设力系求位移在拟求位移 的方向设置单位位移，而在其他地方不再设置荷载。这个单位位移与
12、相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。abBAc1AC静定梁支座A向上移动距离c1，拟求B点的竖向位移 。（1）虚设的平衡力系（2）虚功方程（3）竖向位移(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。单位荷载法ACB1第23页/共108页3.3.变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形体的虚功原理变形虚功变形虚功：当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形
13、而虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为变形虚功。作虚功，这种虚功称为变形虚功。变形体的虚功原理：变形体的虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功。或简写为：力在位移状态的变形上所作的虚功。或简写为：外力虚功外力虚功W
14、e=We=变形虚功变形虚功WWi i第24页/共108页变形体系处于平衡的必要充分条件是:对于任何虚位移，外力作虚功总和等于各微段内力在其变形所做虚功总和.即，外力虚功=变形虚功第25页/共108页a微段ds 外力q 内力M，FS，FN（对于微段是外力）b微段ds ABCD ABCD（1）按外力虚功与内力虚功计算 W总=W外+W内W内=0，相邻截面内力互为作用力与反作用力大小相等方向相反，相邻截面具有相同的位移虚位移是协调的，满足变形连续条件，所以相邻截面上内力所做的功大小相等正负号相反，即内力所做的功总和等于“0”W总=W外（a）第26页/共108页（2）对按刚体虚功原理与变形体虚功计算（虚
15、位移分解二步：刚体位移：ABCD ABC”D”变形体位移：ABC”D”CD W总=W刚+W变（W刚=0 刚体虚功原理）W总=W变（b）W外=W变（d）改写为 W =Wi（7-1）变形功（Wi）计算（图7-4b）变形分为 轴向变形du 线位移对应轴力dN 弯曲变形d 角位移对应力矩dM 剪切变形ds(=d)线位移对应剪力Dq（仅考虑微段的变形，而不考虑刚体位移时，外力不做功，只有截面内力做功）dWi=FNdu+Md+FSds Wi=FNdu+Md+FSds第27页/共108页 （仅考虑微段的变形，而不考虑刚体位移时，外力不做功，只有截面内力做功）dWi=FNdu+Md+FSds Wi=FNdu+
16、Md+FSds变形功（Wi）计算变形分为:轴向变形du 线位移对应轴力dFN 弯曲变形d 角位移对应力矩dM 剪切变形ds(=d)线位移对应剪力dFS第28页/共108页虚功方程W=FNdu+Md+FSds（7-3）适用于 弹性、非弹性 线性、非线性对于刚体系：Wi=0，即W=0虚功原理应用两种方式 虚位移原理真实力状态，虚设位移求解未知力 虚力原理 真实位移状态，虚设力求解未知位移第29页/共108页6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法求：任一指定点K，沿指定方向kk的位移K两个状态：结构位移状态 荷载、温度变化及支座移动等 实际状态（图a）结构力状态
17、虚设单位荷载Fk=1 虚拟状态（图b）第30页/共108页外力虚功：变形虚功：W=Wi第31页/共108页位移计算一般公式单位荷载法K代数值+、-表示与所设FK相同或相反广义位移广义力：相对应指力与位移在作功的关系上的对应第32页/共108页 由以上位移计算公式的建立过程，可归纳出用虚功原理求结构位移的基本方法：(1)把结构在实际各种外因作用下的平衡状态作为位移状态，即实际变形状态。(2)在拟求位移的某点处沿所求位移的方向上，施加与所求位移相应的单位荷载，以此作为结构的力状态，即虚设力状态。(3)分别写出虚设力状态上的外力和内力在实际变形状态相应的位移和变形上所做的虚功，并由虚功原理得到结构位
18、移计算的一般公式。我们把这种在沿所求位移方向施加一个单位力Fk=1的位移计算方法称为单位荷载法。第33页/共108页需要说明的是，上述平面杆系结构位移计算的一般公式，不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由温度变化、制造误差以及支座移动等因素影响下的位移计算。第34页/共108页（a）线位移AH F1（b）角位移A M=1 （c）相对线位移AB 一对单位集中力（d）相对角位移AB 一对单位集中力偶第35页/共108页说明：外力功内力功例 求桁架某杆的角位移第36页/共108页求C点竖向位移求B点水平位移求C点转角
19、位移力的虚设方法 CBCABFp=1Fp=1M=1Fp=1Fp=1求A、B两点相对水平位移第37页/共108页M=1求C点相对转角位移求CD杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/LC C D第38页/共108页ABF=1F=1求A、B两点相对线位移F=1F=1BA求A、B两点相对线位移ABC求相对转角位移第39页/共108页6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 线弹性结构结构的位移与荷载成正比，荷载的影响可以叠加。位移是微小的应力应变关系须符合胡克定律（图7-a）荷载作用，求K点指定方向的位移：第40页/共108页材料力学虚功方程：代入虚功方程，并无支座移
20、动（即c=0）得：第41页/共108页其中:荷载作用下结构产生的弯矩 剪力、轴力 单位力作用下结构产生的弯矩 剪力、轴力 第42页/共108页(1)梁和刚架，轴向变形和剪切变形的影响甚小，主要考虑弯曲变形的影响，位移公式：(2)桁架，只考虑轴向变形的影响，且每根杆件的内力及截面都沿杆长不变，故位移公式：第43页/共108页(4)拱结构，一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变形一项的影响；但在扁平拱中有时善须考虑轴向变形对位移的影响，故位移公式：(3)组合结构，一般将梁式杆和桁架杆分别按各自的主要变形考虑，位移计算公式可写成：第44页/共108页例61 解：M，FN，FS影响比较：（1）实际状况
21、M、FN、FS（2）讨论：FS、FN影响可忽略第45页/共108页例6-2曲杆 解：实际MMP 虚力：第46页/共108页例63桁架 解：PN图 图 第47页/共108页例：求图示简支梁中点C的竖向位移 。解：（1）取虚力状态如图：（2）写出弯矩、剪力的方程：（3）计算 Fp=1C/CABL/2L/2 2/L/2Lq kN m当时第48页/共108页（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形：剪切变形：两者的比值：若高跨比为：则：结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响;但是对于深梁（梁的跨度与高度之比Lh2的简支梁和Lh25的连续梁）
22、剪切变形的影响不可以忽略。第49页/共108页求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P第50页/共108页6-56-5图乘法图乘法条件：（1）杆轴为直线 （2）EI常数 （3）至少一个直线图积分式 第51页/共108页 符合上述前提条件 yc取自直线型图 A、yc同侧乘积为正 常用简单图形面积形心（图614）（P104）第52页/共108页几种图形的面积及形心l/2l/2habh(l+b)/3(l+a)/3h顶点2l/53l/5l/54l/5h2l/3l/3l三次抛物线第53页/共108页注：图中的抛物线均为标准抛物线。标准抛物线是指含有顶点在
23、内且顶点处的切线与基线平行的抛物线。弯矩图为标准抛物线时，在顶点处截面的弯矩为0。顶点hl/43l/43l/85l/8二次抛物线顶点hn+1=hlAwn次抛物线第54页/共108页应用图乘法要注意的若干问题：（2）如果一个图形是曲线图，另一个图形是由几段直线组成的折线，则要分段处理。（1）如果两个图形都是直线图，则标距 可取自其中任一图形。第55页/共108页（3）如果两个图形都是梯形，则把一个梯形分为两个三角形，分别应用乘法。其中标距 和 要用以下公式计算abcd第56页/共108页（4）图为一段直杆 AB 在均布荷载 q 作用下的 图，可分解成两端弯矩 组成的直线图 和简支梁在均布荷载 q
24、 作用下的弯矩图 ，然后分别应用图乘法。ABCDACBBDA第57页/共108页y2y1bd（5）图形的纵距a、b 或c、d不在基线同一侧时。处理原则也和上面一样，可分解为位于基线两侧的两个三角形，分别与另一图形相乘，然后叠加。ac第58页/共108页 梯形相乘：a、b和c、d不在同侧，对应的c、d取负值第59页/共108页复杂图形分解叠加第60页/共108页图形折线应分段EI不相等应分段第61页/共108页【例1】求图示简支梁中点C的竖向位移CV。梁的EI为常数。第62页/共108页【解】在简支梁中点C加单位竖向力 ，如图(c)所示。分别作荷载产生的弯矩图M图和单位力产生的弯矩图 图，如图（
25、b，c）所示。C第63页/共108页因M图是曲线，应以M图作为A，而 图是由折线组成，应分两段图乘。但因图形对称，可计算一半再乘两倍。所以第64页/共108页【例2】求图示悬臂梁在B点的竖向位移BV。梁的EI为常数。【解】在悬臂梁B点加竖向单位力 ，如图(c)所示。分别作荷载产生的弯矩图M图和单位力产生的弯矩图 图，如图(b，c)所示。lABql2第65页/共108页图乘时要注意，此时的M图的B点不是抛物线的顶点，因而面积和形心不能直接用公式。而是应将M图分解为一个上边受拉的三角形A1和一个下边受拉的抛物线图形A2。图形的面积和纵坐标计算如下：lABql2A1A2y1y2第66页/共108页
26、于是B点的竖向位移为lABql2A1A2y1y2第67页/共108页例：求A点的转角和C点的 竖向位移。解：（1）求A点的转角（2）求C点的竖向位移CAB20kN10kN/m6m6m1M=1MA图30045MP图6Fp=1MC图第68页/共108页【例6-4】相对位移第69页/共108页求图示刚架A点的竖向位移Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。Ay=（）EIyC=EI1(2LL2PL(L4=16EIPL2)-2EI123L)PL第70页/共108页【例66】M叠加（图622）第71页/共108页【例6-7】组合结构 链杆 梁式杆 第72页
27、/共108页PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？第73页/共108页【例】求图（a）所示悬臂刚架梁中点D的竖向位移DV。各杆的EI为常数。F(a)第74页/共108页 【解】在梁中点D加竖向单位力图(c)。分别作荷载作用下的M图图(b)和单位力作用的图图(c)。FlFlFl0.5l0.5l0.5l(c)(b)第75页/共108页在应用图乘法时，把单位力产生的 图作为图形的面积，梁上的 图
28、面积作为A1，柱上的 图面积作为A2图(c)。FlFlFl0.5l0.5l0.5lA1A2y1y2(c)(b)第76页/共108页 于是D点的竖向位移为第77页/共108页例 试求图(a)所示刚架结点B的水平位移BH。设各杆为矩形截面，截面尺寸为b*h，E为常数，只考虑弯矩变形的影响。第78页/共108页解:先作出MP图和图,分别如图(b)(c)所示。第79页/共108页应用图乘法求得结点B的水平位移为：第80页/共108页5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A点水平位移。第81页/共108页位移计算一般
29、公式单位荷载法第82页/共108页杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形 2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形 3）温度改变不引起剪切变形一般公式设温度沿截面高度h以直线传递，则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。6-6 6-6 温度变化时位移计算温度变化时位移计算第83页/共108页上边缘温度上升 ，下边缘温度上升 。BA形心轴处的温度当 时材料的线胀系数 ，则微段 的变形由于温度改变不引起切应变温度作用引起的位移第84页/共10
30、8页 若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：其中：由虚设单位力产生的轴力图面积 由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。第85页/共108页 等截面杆：注意：正、负号确定，升温为正，拉为正 变形受力弯曲一致乘积为正：t，温度弯曲作用弯曲（弯曲变形一致）梁和刚架，轴向变形不能略去。桁架 只有轴向变形杆件长度因制造误差引起位移 第86页/共108页【例68】第87页/共108页例 刚架内侧温度升高 ，外侧温度不 变，求 C 点的竖向位移 。已知,各杆为矩形截面，高h=40cm。温度作用的位移计算例子ABCaa图F=
31、1BAC1图F=1BACa解:C 点加单位竖向力 F=1，并作 图。杆件两边的温差及轴线处温度升高为第88页/共108页静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有其中：由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c 真实的支座位移 6-7 6-7 静定结构支座移动时位移计算静定结构支座移动时位移计算与C方向一致乘积为正 第89页/共108页例6-9求A端转角A解：第90页/共108页例：图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C点的竖向位移 ,和C点的相对转角 。（1）求C点的竖向位移 真实的位移状态 abL/2L/2
32、LABC 在C点作用一个竖向单位力，求出 和 。虚设的力状态F=1ABC第91页/共108页（2）求C点的相对转角 在C点作用一对力矩，求出 和 。虚设的力状态真实的位移状态 ABCLaL/2L/2bABCM=1第92页/共108页 本节介绍线性变形体系的四个互等定理：1）功的互等定理 2）位移互等定理 3）反力互等定理 4）位移反力互等定理 其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。互等定理只适用于线形变形体系，其应用条件为：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；结构变形很小，不影响力的作用。6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理第93页/共108页1)功的互
33、等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。(a)第一状态 F1121121(b)第二状态 F21 21222第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。第94页/共108页两组外力F1，F2作用两种状态 I1：F1M1，FN1，FS1I2：F2M2，FN2，FS2I1在I2作功 W12=Wi12定理推导：第95页/共108页I2在I1作功 W21=Wi21 即W12=W21功的互等定理第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的
34、虚功。第96页/共108页2)位移互等定理在功的互等定理中，令：F1=F2=1即：F11(a)第一状态 1221F21(b)第二状态 1 212由功的互等定理式 则有：令：位移影响系数每单位力引起的位移值。第97页/共108页位移互等定理:即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：单位力广义力（单位力偶、单位集中力）；位 移广义位移（线位移、角位移）。第98页/共108页 右图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移21时，使支座1产生的反力
35、r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。(a)第一状态 r211112(b)第二状态21r12第99页/共108页根据功的互等定理有：反力互等定理:即支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。(b)第二状态21r12(a)第一状态 r21第100页/共108页(a)第一状态 r211211 注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。由反力互等定理，则有：r12=r21即反力偶r12等于反力r21（数值上相等，量纲不同）(b)第二状态21r1212第101页/共1
36、08页4)反力位移互等定理 这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。由两个状态应用功的互等定理，则有 主功力与反力的功相反 相差一负号(b)第二状态（由1=1引起21）211211（a）第一状态 （由FP2=1引起r12）F21r1212第102页/共108页单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反第103页/共108页支座移动产生的位移刚体位移 制造误差产生的位移刚体位移 荷载作用产生的位移变形体位移温度改变产生的位移变形体位移静定结构位移的类型 显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。第104页/共108页小结 1变形体虚功原理 外力虚功W=Wi内力虚功（变形虚功）2单位荷载法（F=1)位移公式 广义力对应K的广义位移，代数值“+”/“-”第105页/共108页 3线弹性结构，荷载作用梁刚架桁架（组合结构）4图乘法（应用条件灵活运用）5温度变化 支移移动第106页/共108页6.互等定理（线弹性结构）功的互等定理位移互等定理第107页/共108页感谢您的观看！第108页/共108页