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1、第十四章第十四章 结构动力学结构动力学141 概述概述一、结构动力计算的内容与目的一、结构动力计算的内容与目的 静力荷载静力荷载施力过程缓慢，忽略惯性力施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。的影响。静力荷载作用静力荷载作用大小、方向、作用点确定大小、方向、作用点确定结构处于平衡状态结构处于平衡状态内力、变形、位移确定（不随时间变化）内力、变形、位移确定（不随时间变化）动力荷载的特征动力荷载的特征：荷载的大小、方向荷载的大小、方向（作用位置（作用位置*）随时间而变化随时间而变化 荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度 动力计算动力计算：考虑惯性力考虑惯性力达
2、朗贝尔原理达朗贝尔原理（动力静力平衡）（动力静力平衡）内力、位移、荷载均为时间的函数内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间（瞬间(t)的平衡）的平衡）按动力荷载变化规律分类：按动力荷载变化规律分类：周期荷载周期荷载简谐荷载简谐荷载例：偏心质量产生的离心力例：偏心质量产生的离心力非简谐荷载非简谐荷载冲击荷载冲击荷载急剧增大，急剧增大，作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头急剧减少急剧减少爆炸荷载，爆炸荷载，突加荷载突加荷载加载：加载：重物落在结构上（突然加载和突然卸载）重物落在结构上（突然加载和突然卸载）快速移动荷载快速移动荷载高速通过桥
3、梁的火车、汽车高速通过桥梁的火车、汽车随机荷载随机荷载地震的激振、风力脉动作用地震的激振、风力脉动作用荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律周期荷载（简谐）周期荷载（简谐）周期荷载（非简谐）周期荷载（非简谐）冲击荷载（冲击荷载（急剧增大、急剧减少急剧增大、急剧减少）随机荷载随机荷载内容：内容：自由振动自由振动无阻尼无阻尼单、多自由度单、多自由度 强迫振动强迫振动有阻尼有阻尼无限多自由度无限多自由度自由振动自由振动结构受外部因素干扰发生振动，结构受外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。而在以后的振动过程中不再受外部干扰力
4、作用。强迫振动（受迫振动）强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）目的：目的：结构的动力特性结构的动力特性（周期（周期T，频率，频率f()、振型、阻尼）、振型、阻尼）避免共振；地震的主要周期避免共振；地震的主要周期例：步兵过桥例：步兵过桥齐步走齐步走 美国悬索大桥美国悬索大桥风振作用，突然垮塌风振作用，突然垮塌动力反应动力反应 动内力动内力/位移位移随时间变化的规律随时间变化的规律最大值最大值设计依据设计依据振动自由度振动自由度为了确定为了确定全部全部质量质量位置位置所需的所需的独立几何参数
5、独立几何参数的数目的数目集中质量法：集中质量法：突出主要质量突出主要质量静力等效静力等效单自由度结构单自由度结构多自由度结构多自由度结构142 结构振动的自由度结构振动的自由度确定结构振动的自由度：确定结构振动的自由度：（图（图14 2）注意：注意：自由度数自由度数n随计算简图而异随计算简图而异（a、b、f-无限多自由度无限多自由度）自由度数自由度数与质量数目可能不同与质量数目可能不同（c、d-e几何构造分析方法确定几何构造分析方法确定）自由度数自由度数与静定或超静定及超静定次数无关与静定或超静定及超静定次数无关实际结构的简化实际结构的简化（图（图14 3）（a）块式基础）块式基础垂直振动垂直
6、振动（b）水塔）水塔顶部水池较重，水平振动顶部水池较重，水平振动（c）楼房）楼房楼板较重，水平振动楼板较重，水平振动单自由度单自由度实际的问题或简化的模型（图实际的问题或简化的模型（图14 4）多自由度体系动力分析的基础多自由度体系动力分析的基础自由振动自由振动结构受外部因素干扰发生振动，结构受外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。初始干扰：初始干扰：初始位移初始位移强迫偏离，突然放松；强迫偏离，突然放松；初始速度初始速度瞬时冲击瞬时冲击143 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动1、不考虑阻尼时的自由振动、不考虑阻尼
7、时的自由振动 （图（图14 5）质量质量弹簧弹簧模型模型静平衡位置为坐标原点，向下为正静平衡位置为坐标原点，向下为正弹簧的刚度弹簧的刚度k11：弹簧发生单位位移所需加的力：弹簧发生单位位移所需加的力弹簧的柔度弹簧的柔度11：单位力作用下产生的位移：单位力作用下产生的位移振动微分方程振动微分方程位移及各量随时间变化的规律位移及各量随时间变化的规律两个基本方法：两个基本方法：刚度法刚度法列动力平衡方程列动力平衡方程柔度法柔度法列位移方程列位移方程（一）建立自由振动微分方程（一）建立自由振动微分方程（1）刚度法）刚度法动力平衡方程（达朗贝尔原理）动力平衡方程（达朗贝尔原理）质点质点m 任一时刻任一时
8、刻t有位移有位移y(t)，（图（图16 5b）弹性恢复力，与位移弹性恢复力，与位移y方向相反方向相反惯性力，与加速度方向相反惯性力，与加速度方向相反达朗伯尔原理达朗伯尔原理 隔离体平衡方程隔离体平衡方程微分方程微分方程 （2）柔度法）柔度法列位移方程列位移方程弹性体系（非隔离体）（图弹性体系（非隔离体）（图14 5c）运动过程，质量只受惯性力运动过程，质量只受惯性力按静力荷载考虑，按静力荷载考虑，m在时刻在时刻 t 的位移等于惯性力作用下的静力位移的位移等于惯性力作用下的静力位移即即 单自由度体系单自由度体系即，即，与刚度法相同与刚度法相同（二）自由振动微分方程的解（二）自由振动微分方程的解常
9、系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程通解通解 y=C1 cost+C2 sint速度（对时间取一阶导数）速度（对时间取一阶导数）=-C1 sint+C2cost 初始条件：初始条件：t=0，初位移：初位移：y0 正弦规律正弦规律初速度：初速度：0 余弦余弦规律律叠加叠加a 振幅：质点最大位移；振幅：质点最大位移；初相角初相角则则 y(t)=a sin(t+)(t)=acos(t+)令令（三）结构自振同期（三）结构自振同期 周期运动周期运动 y(t+T)=y(t)自振周期自振周期每隔一段每隔一段时间时间就重复原来运就重复原来运动动单单位：秒（位：秒（S）单单位位时间时间内的振内的振动动次数
10、次数，单单位：位：1秒（秒（1/S）2秒内完成的秒内完成的振动次数振动次数 频率频率园频率（频率）园频率（频率）周期的重要性周期的重要性质质：（1）只与只与结结构本身的构本身的性性质质 m、k有关有关结结构固有的构固有的动动力特性，与外界干力特性，与外界干扰扰无关无关外界干外界干扰扰只能影响振幅和初相角；只能影响振幅和初相角；（2）（148）（3）T结构动力性能的一个重要数量标志结构动力性能的一个重要数量标志（4）1/st，质点放在结构上产生最大位移处，质点放在结构上产生最大位移处，可以得到最小频率和最大周期可以得到最小频率和最大周期例例141三种支承情况的梁，忽略梁本身质量，三种支承情况的梁
11、，忽略梁本身质量，求求自振频率自振频率与与周期周期（图（图14-7）解解（1）柔度法）柔度法计算计算（2）刚度法）刚度法a.加链杆约束加链杆约束约束动力自由度；约束动力自由度；b.给单位位移；给单位位移；c.求约束力求约束力刚度刚度k。例例2 刚架，梁质量刚架，梁质量m，刚度，刚度；柱柱(忽略质量忽略质量)刚度刚度EI，高，高h。试求试求自振频率自振频率和和周期周期计算计算 k*（计计算算）例例3 例例2中，若初始位移中，若初始位移，初始速度，初始速度0 试试求求振幅振幅值值及及 t=1s时时的的位移位移值值解：上例已解：上例已计计算算 作业：作业：141 （振动自由度）（振动自由度）142a
12、*、b（振动微分方程）（振动微分方程）143 a、b、c、d；4、5、6 （频率）（频率）147 （振幅、位移）（振幅、位移）2、考、考虑虑阻尼作用阻尼作用时时的自由振的自由振动动 阻尼（力）阻尼（力）：振：振动过动过程中各种阻力的作用程中各种阻力的作用使自由振动逐渐衰减而不能无限延续使自由振动逐渐衰减而不能无限延续共振时振幅并非无限大共振时振幅并非无限大（外部介质）（外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦空气和液体的阻力、支承的摩擦（内部作用）（内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性材料分子之间的摩擦和粘着性 阻尼的种类：阻尼的种类：（1）粘滞阻尼力）粘滞阻尼力 R=-（线性阻尼）（线性阻尼）
13、两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时或物体以低速在粘性液体内运动或物体以低速在粘性液体内运动（2）流体阻尼）流体阻尼 R=-cv2 固体以较大速度在流体介质内运动固体以较大速度在流体介质内运动 （例（例3m/s以上）以上）（3）摩擦力）摩擦力 R kN 两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力（4）结构阻尼）结构阻尼 材料之间的材料之间的内摩擦内摩擦 粘滞阻尼力粘滞阻尼力计计算算简单简单，其余的可化，其余的可化为为等效粘滞阻尼力等效粘滞阻尼力考考虑虑阻尼的阻尼的振振动动方程方程I+R+S=0其中：其中：R=-有阻尼的有
14、阻尼的自由振自由振动动微分方程微分方程 令（169）*设解特征方程 （1）（小阻尼）（小阻尼）令（1610）有阻尼的自振频率有阻尼的自振频率设初始条件设初始条件:t=0,y=y0、=0写成写成 其中其中 (14-12)式（式（1412）的位移）的位移时间曲线如（图时间曲线如（图149）所示：所示：低阻尼低阻尼体系自由振动体系自由振动y-t曲线曲线逐渐衰减逐渐衰减的正的正弦（波动）曲线弦（波动）曲线a.阻尼阻尼对频对频率（周期）的影响率（周期）的影响 T 阻尼比阻尼比阻尼的基本参数：阻尼的基本参数：b、阻尼、阻尼对对振幅的影响振幅的影响振幅随振幅随时间时间逐逐渐渐衰减衰减 一周期一周期相隔相隔j
15、个周期：个周期：振幅振幅对对数数递递减量减量若取取对对数：数：（2）（大阻尼），（大阻尼），此此时时特征根特征根r1、r2为为一一对对重根（重根（负实负实数），数），通解通解为为：这这是非周期函数，故不是非周期函数，故不发发生振生振动动，且受初始干且受初始干扰扰偏离平衡位置后偏离平衡位置后返回中心位置更慢返回中心位置更慢（3）（临临界阻尼）界阻尼）微分方程解微分方程解 特征方程根特征方程根 y t 曲曲线线仍是有衰减性仍是有衰减性质质，但不具有波但不具有波动动性性质质（如（如图图）0y0试题试题 临临界阻尼系数界阻尼系数 使运使运动动不再具有波不再具有波动动性性质质所所对应对应的阻尼系数最小的
16、阻尼系数最小值值 阻尼比：阻尼比：反映阻尼情况的基本参数反映阻尼情况的基本参数实测实测相隔相隔j个周期的振幅个周期的振幅计计算算：144 单自由度结构在简谐荷载作单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动用下的强迫振动 强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动一、振动方程建立一、振动方程建立刚度法：刚度法：取取m隔离体，由动力平衡得：隔离体，由动力平衡得：微分方程的解：微分方程的解：y=y0+y其中齐次方程通解：其中齐次方程通解：与干扰力与干扰力P(t)相应的特解相应的特解,则与干扰力的形式有关则与干扰力的形式有关二、简谐荷载二、简谐荷载 P(t)=
17、Fsint（1417）（1418）特解：代入方程：对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等：全解：自由振自由振动动：频频率率，振幅衰减；，振幅衰减；B1、B2由初始条件确定由初始条件确定强强迫振迫振动动：频频率率，C1、C2与与F有关有关可解：设初始条件设初始条件:t=0,y=y0、=0（14191419）分三部分：）分三部分：）分三部分：）分三部分：自由振动自由振动自由振动自由振动初始条件确定；初始条件确定；初始条件确定；初始条件确定；伴生自由振动伴生自由振动伴生自由振动伴生自由振动与初始条件无关而伴随干扰力的作与初始条件无关而伴随干扰力的作与初始条件无关而伴随干扰力的作与初始条件无关而伴
18、随干扰力的作用发生的振动，但频率与自振频率用发生的振动，但频率与自振频率用发生的振动，但频率与自振频率用发生的振动，但频率与自振频率 相同；相同；相同；相同；以上二部分以上二部分以上二部分以上二部分有有有有e e-t t,随随随随时间时间衰减衰减衰减衰减纯强迫振动纯强迫振动纯强迫振动纯强迫振动平稳振动平稳振动平稳振动平稳振动（不衰减）（不衰减）（不衰减）（不衰减）过渡阶段过渡阶段平稳阶段平稳阶段1、不考虑阻尼的纯强迫振动、不考虑阻尼的纯强迫振动 0 振幅（最大位移）振幅（最大位移）动动力（位移）系数力（位移）系数 （1422）0 0，动动力位移与力位移与动动力荷力荷载载同相同相，0，动力位移与
19、力位移与动力荷力荷载反相反相单自由度，干自由度，干扰力与力与惯性力作用点重合，性力作用点重合，内力内力动力系数位移力系数位移动力系数力系数的特性（由图示）P(t)变化非常慢（与自振周期T相比）/|112、考虑阻尼的纯强迫振动、考虑阻尼的纯强迫振动 0振幅振幅相位差相位差动力系数动力系数与与/有关，与阻尼比有关，与阻尼比有关有关 的关系曲线：（图1412）讨论：当：01时，曲线渐趋平缓，附近，峰值下降显著研究共振，阻尼影响不容忽略若 实际共振 （1）动荷载主要与弹性力平衡 y与P(t)同相位 1，静力荷，静力荷载载振振动动慢，慢，惯惯性力、阻性力、阻尼力小尼力小（2）y很小的颤动 ky,c很小,
20、振动快，惯性力大 动荷载主要与惯性力平衡 与位移 同相位（3）增加快（共振）荷载值为最大时，位移、加速度最小 动荷载主要与阻尼力平衡 共振时，阻尼力起重要作用，不容忽略0.75/1.25范范围围，阻尼，阻尼对位移影响很大；位移影响很大；阻尼阻尼较小小时，共振，共振现象仍很危象仍很危险；工程工程设计，自振自振频率率应应比比 大大2530%。干扰力不直接作用在质点上：干扰力不直接作用在质点上：（1428）145 单自由度结构在任意荷载作单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动用下的强迫振动瞬时冲量的动力反应动量定理：质质点点(m)的动量(mv)在某一时间间隔内的改变量，等于同一时间内的作用力的冲量（
21、Pt）（图）t=0,y=0,v1=0 t,v2=v0 mv0=Pt 令令为为 Q（瞬（瞬时时冲量）冲量）冲量作用时间很短，忽略t ，相当于物体：在 （坐标平移），则（1411）一般一般动动荷荷载载的的动动力反力反应应(t)加加载过载过程程视为视为一系列瞬一系列瞬时时冲量冲量组组成成t=时时，P()在微分在微分时时段段d内冲量内冲量ds=P()d微分冲量微分冲量对动对动力反力反应应的的贡贡献：献：（时时刻冲量刻冲量对对t时时的的动动力反力反应应）动动力反力反应应y(t)为为0t时时刻所有微分反刻所有微分反应应的叠加的叠加 杜哈梅积分(0，=)若有若有y0、v0，则则任意荷任意荷载载P作用的作用的
22、动动力响力响应应（1）突加荷载t=(2n-1)ymax=2yst实例图实例图（2）短）短时时荷荷载载动动力反力反应应分二段考分二段考虑虑当当0 t t0 时时当当t0 T/2 时，最大位移发生在前一阶段：时，最大位移发生在前一阶段：2 2以以t0时的位移和速度时的位移和速度为初始位移和初始速度的为初始位移和初始速度的自由振动自由振动146多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动多自由度体系：多自由度体系：多层房屋多层房屋的侧向振动的侧向振动不等高排架不等高排架的振动的振动块形基础块形基础的平面振动的平面振动梁上有梁上有几个集中质量几个集中质量的振动的振动求解方法：求解方法：刚度法刚度法建立
23、力的平衡方程（位移法）建立力的平衡方程（位移法）柔度法柔度法建立位移协调方程（力法）建立位移协调方程（力法）两个自由度体系两个自由度体系推广到推广到n个自由度体系：个自由度体系：特性特性（与单自由度区别）：（与单自由度区别）：固有频率：固有频率：2个个n个；个；主振型：主振型：2个个n个；个；耦合：耦合：各自由度的运动相互影响；各自由度的运动相互影响；不同坐标不同坐标写方程式（刚度、柔度法）写方程式（刚度、柔度法）矩阵形式矩阵形式及运算及运算1、振动微分方程建立、振动微分方程建立（1）刚度法（位移法）刚度法（位移法）a)n个质量个质量n个位移；个位移；b)附加链杆：附加链杆：反力惯性力；反力惯
24、性力；c)令附加链杆发生令附加链杆发生实际位移实际位移反力反力=Ri 刚度系数：刚度系数：d)Yi=1 引起的反力引起的反力kii、kjie)同理有同理有kij、kjj叠加叠加(b)、(c)，附加链杆的反力之和，附加链杆的反力之和0（原结构）（原结构）且且即有即有n个自由度体系个自由度体系振振动动方程方程(14-43)（2）柔度法（力法）柔度法（力法）a)n个质量个质量n个位移；个位移；只受惯性力只受惯性力-mi（作为静力荷载）（作为静力荷载）柔度系数：柔度系数：b)Pi=1 引起的位移引起的位移ii、jic)同理有同理有ij、jj思路：考虑弹性体系的某一思路：考虑弹性体系的某一质量质量mi，
25、在自由振动过程，在自由振动过程中任一时刻中任一时刻t的的位移位移yi，应应当等于体系中当等于体系中各个各个质质量量的惯性的惯性力力-mj(j=1,2n)共同作用下共同作用下所产生的静力位移。所产生的静力位移。，n个位移方程：个位移方程：矩阵形式：矩阵形式：（1444）M质质量量阵阵，（集中（集中质质点）点）对对角角阵阵 柔度柔度阵阵，对对称，正定，非奇异（称，正定，非奇异（结结构）构）柔度矩阵与刚度矩阵柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵互为逆矩阵刚度法与柔度法实质相同，形式不同。刚度法与柔度法实质相同，形式不同。刚度法与柔度法实质相同，形式不同。刚度法与柔度法实质相同，形式不同。根据结构的形式适当采
26、用刚度法或柔度法求系数根据结构的形式适当采用刚度法或柔度法求系数根据结构的形式适当采用刚度法或柔度法求系数根据结构的形式适当采用刚度法或柔度法求系数2、按柔度法求解、按柔度法求解 振振动动微分方程：微分方程：设设解解 对对任意任意均成立，均成立，则则振型方程：振型方程：其中：其中：I为单位矩阵，为单位矩阵，Y=Y1 Y2 YnT为振幅列向量为振幅列向量齐齐次方程，若次方程，若Y有非零解有非零解则则：频频率（特征）方程率（特征）方程 即即 展开展开关于关于的的n次方程次方程（1447）频率方程频率方程解为解为n个正实根个正实根i i,即即1/1/i2（i=1,2,n）;得到得到n个自振个自振频率
27、：率：1，2，n，按按从小到大从小到大顺序排列，序排列，称称为第一第一、第二、第二第第n频率率总称称为结构构自振自振频谱将将n个自振个自振频率中的任意一个率中的任意一个k代入特解：代入特解：（1447）（i=1,2,n）即各即各质质点按同一点按同一频频率率k作同步作同步简谐简谐振振动动，则则各各质质点的位移的比点的位移的比值值：y1:y2:yn=Y1:Y2:Yn为为定定值值（不随（不随时间变时间变化）化）即任意即任意时时刻，刻，结结构振构振动动保持同一形保持同一形态态，像，像单单自由度振自由度振动动。将将代入振型方程由于由于D=0，n个方程中只有个方程中只有n-1个个方程方程线线性无关，性无关
28、，不能求得不能求得Y(k)1,Y(k)2,Y(k)n的确定的确定值值，但可以确定相但可以确定相对对比比值值（主）振型（主）振型。任取任取n-1个方程，令个方程，令Y(k)1 1规规准化振型准化振型n个自由度结构n个自振频率：相应有n个主振动和主振型特解；一般解主振动的线性组合：一般情况，各质点的振动一般情况，各质点的振动n个主振动分量叠加而成；个主振动分量叠加而成；各主振动的振幅各主振动的振幅AkY(k)和和初相角初相角k取决于初始条件：取决于初始条件：n个质点的个质点的n个初始位移和个初始位移和n个初始速度个初始速度确定确定n个个Ak和和n个个k。自振频率和振型自振频率和振型结构固有动力特性
29、；结构固有动力特性；主要任务主要任务振幅和初相角振幅和初相角由初始条件确定由初始条件确定（1）两个自由度）两个自由度频率方程 振型方程 取第一方程 （k=1、2）写成列阵形式：写成列阵形式：例例143 求解取较大的为取较大的为1，对应，对应1为较小的为较小的振型频率解解II 频率方程 令 频率 正交性 振型 结构的刚度和质量分布结构的刚度和质量分布对称对称其主振型其主振型对称、反对称对称、反对称计算自振频率：计算自振频率：分别就正、反对称情况分别就正、反对称情况取半跨结构计算取半跨结构计算两个单自由度问题计算两个单自由度问题计算显然，振型分别为：显然，振型分别为：1 1T、1 -1T*作业作业
30、【例144】M质质量量阵阵，（集中（集中质质点）点）对对角角阵阵 K刚刚度度阵阵，对对称，正定，非奇异（称，正定，非奇异（结结构）构）设设解解 对对任意的任意的t（即（即）等式均成立）等式均成立则则：2、按刚度法求解、按刚度法求解 振型方程振型方程 齐齐次方程非零解次方程非零解系数行列式系数行列式D=0 频频率（特征）方程率（特征）方程 频频率方程率方程关于关于2的的n阶阶代数方程（代数方程（n为为自由度数）自由度数）可解可解n个根个根 频频率向量率向量w：由小到大排列：由小到大排列其中其中1基本基本频频率或第一率或第一频频率率由于由于n个方程个方程线线性相关，任取性相关，任取n1个方程可解（
31、取个方程可解（取Y11）i 阶阶振型：振型：无无穷穷多多组组解解 标标准化主振型准化主振型（一）两个自由度体系（一）两个自由度体系矩矩阵阵形式：形式：即：即：齐齐次方程有非零解：次方程有非零解：频频率方程（特征方程）率方程（特征方程）方程的两个根：方程的两个根：21、2（16-58）21、2均均0，所以两个自由度体系共有二个自振频率，所以两个自由度体系共有二个自振频率1基本（第一）圆频率基本（第一）圆频率最小圆频率最小圆频率2第二圆频率第二圆频率振型方程，代入振型方程，代入i，由于由于D=0，两个方程，两个方程线线性相关（两性相关（两组组系数成比例），系数成比例），只有一个独立方程任取其一，可
32、得：只有一个独立方程任取其一，可得：主振型：主振型：振幅之比振幅之比第一振型（基本振型）第一振型（基本振型）第二振型第二振型例例145【解解】1、K M2、频率方程、频率方程i3、振型方程、振型方程Y(i),1、K、M：刚度矩阵刚度矩阵质量矩阵质量矩阵式中：式中：2、频率方程：、频率方程：频率：频率：试算法：试算法：3、振型方程、振型方程第第k阶：阶：kk kK=1 1 1=0.392=0.392令令Y11，取前取前2个方程个方程同理，可求第二、三振型同理，可求第二、三振型:图图1425MSSolver4、主振型的正交性、主振型的正交性振型方程振型方程 设设体系具有体系具有n个自由度，个自由度
33、，两个不同的自振两个不同的自振频频率率对应对应二个振型向量。二个振型向量。（1）（2）第二式两第二式两侧侧同同时时取取转转之置：之置：（1）（）（2）对对于于质质量量阵阵M，不同，不同频频率的主振型彼此正交率的主振型彼此正交对对于于刚刚度度阵阵K，不同，不同频频率的主振型也是彼此正交率的主振型也是彼此正交（1460）（1461）（1）（2）主振型的正交性：结构本身固有的特性主振型的正交性：结构本身固有的特性简化计算；简化计算；检验主振型是否正确检验主振型是否正确例例165中的第一、二振型：中的第一、二振型：平稳阶段的纯强迫振动平稳阶段的纯强迫振动结构承受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同结构承
34、受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同图图1626，n个集中质量，个集中质量，k个简谐周期荷载个简谐周期荷载Pjsint，位移：位移：147多自由度结构在简谐荷载下的多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动强迫振动图图1426，n个集中质量，个集中质量，k个简谐周期荷载个简谐周期荷载Pjsint，位移：位移：I=-MI纯强迫振动的解：纯强迫振动的解：（14-62）对任意的对任意的t成立：成立：振幅方程，可解振幅振幅方程，可解振幅Y。代入振动方程，可得各质点的惯性力：代入振动方程，可得各质点的惯性力：惯性力幅值惯性力幅值I0。位移、惯性力和干扰力同时最大。位移、惯性力和干扰力同时最大。（1464）（14
35、65）当当k（k1，2，n)n)时,由由系数行列式系数行列式0，振幅、振幅、惯性力及内力均性力及内力均为无限大无限大共振共振现象象实际由于阻尼的存在，不会无限大，但由于阻尼的存在，不会无限大，但结构也很构也很危危险，应避免。避免。【例146】图1427其中，其中，ij、iPiP，与力法中求解相同与力法中求解相同P=0P=0，P P，00T T，且且P P作用于作用于质点。点。惯性力幅值惯性力幅值最大动力弯矩图最大动力弯矩图 (p90)刚度法：n个自由度结构，各干扰力作用于质点（图（图1426）振动方程：简谐荷载：平稳振动阶段：质点作简谐振动振幅方程 设（与频率方程形式相同）若D00即 若（与任
36、一频率重合）有几种情况共振惯性力惯性力（1469）可解惯性力幅值可解惯性力幅值I0（1468）1410计算频率的近似法计算频率的近似法近似法近似法计计算算结结构的构的较较低低频频率率 工程工程实际问题实际问题1、能量法求第一、能量法求第一频频率率动能动能质量和速度质量和速度应变能应变能结构变形结构变形 能量守恒原理：能量守恒原理：一个无阻尼弹性体系自由度振动时，一个无阻尼弹性体系自由度振动时，任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变结结构自由振构自由振动动：最大振幅最大振幅V=0，Umax静力平衡位置静力平衡位置Vmax，U0 梁的自由振
37、梁的自由振动动 位移位移 速度速度 动动能能 结结构弯曲构弯曲应变应变能能能量守恒能量守恒 同同时时有集中有集中质质量量mi 动动能增加一能增加一项项 公式公式计计算自振算自振频频率，必率，必须须已知振幅曲已知振幅曲线线Y（x），故只能假故只能假设设Y（x）。若若Y（x）第一振型，第一振型，第一第一频频率的精确率的精确值值；若若Y（x）第二振型，第二振型，第二第二频频率的精确率的精确值值；。但假但假设设的曲的曲线线往往是近似的，故求得的往往是近似的，故求得的频频率率为为近似近似值值。适于适于计计算第一算第一频频率。率。Y（x）为为假假设设的振幅曲的振幅曲线线至少至少满满足位移足位移边边界条件。
38、界条件。通常可取某个静分布荷通常可取某个静分布荷载载q（x）作用下的作用下的弹弹性曲性曲线线 应变应变能能U相相应应荷荷载载作的功作的功 若若q（x）mg，且有，且有Pimg（作功）（作功）例例149 试试求两端固定等截面梁求两端固定等截面梁的自振第一的自振第一频频率。率。【解解】取自重取自重q作用下的作用下的挠挠度曲度曲线线作作为为第一振型第一振型因因为为qmg【例例1410】1、三个自由度、三个自由度刚度法；刚度法；2、相对层间侧移刚度、相对层间侧移刚度ki；3、各层重量、各层重量Pmg作为水平作为水平力，产生各层位移力，产生各层位移yi;4、其比值作为第一振型、其比值作为第一振型Y；5、
39、能量法公式：、能量法公式：1.1252.3753.375讨论讨论位移形状函数位移形状函数Y(x)未知，需要假设，未知，需要假设，首先满足位移边界首先满足位移边界 Y(x)第一主振型相似第一主振型相似1精确值，精确值，第二主振型相似第二主振型相似2精确值，精确值，能量法能量法主要主要计算基频计算基频第一振型为最易实现的形状曲线第一振型为最易实现的形状曲线 一般越接近一般越接近精度越高精度越高（近似解）（近似解）1*1（精确解）（精确解）是真实基频的上限（仅对是真实基频的上限（仅对1而言而言旧版下册旧版下册P206）物理意义：物理意义：近似形状曲线相当于增加了近似形状曲线相当于增加了 人为约束，刚
40、度提高人为约束，刚度提高,频率频率 2、集中质量法、集中质量法集中质量集中质量无限自由度无限自由度有有限自由度限自由度集中质量愈多集中质量愈多，结果愈精确，结果愈精确工作量愈大；工作量愈大；实用较低频率实用较低频率，集中质量无须，集中质量无须太多太多满意结果满意结果静力等效静力等效集中质量后，重集中质量后，重力与原重力的合力相同力与原重力的合力相同 每段分布质量按每段分布质量按杠杆原杠杆原理理换成位于两端的集中质量换成位于两端的集中质量例例1411等截面简支梁，均等截面简支梁，均布质量布质量m，求自振频率。，求自振频率。解解 a）【例例141】单单自由度自由度 b)【例例163】两个自由度两个
41、自由度 c)精确解精确解集中质量法集中质量法良好的近似结果，工程上常采用；良好的近似结果，工程上常采用；适用于较复杂结构刚架等，适用于较复杂结构刚架等，简便计算最低频率简便计算最低频率；选择集中质量位置的原则：选择集中质量位置的原则：l注意结构振动形式，注意结构振动形式，l质量集中在振幅较大的地方，质量集中在振幅较大的地方，使所得频率值较为精确。使所得频率值较为精确。14-2(b)*148（阻尼）（阻尼）149（位移、内力）（位移、内力）1410（、动力系数、动力系数）111（爆炸荷载）（爆炸荷载）14 12、13、*14、15（频率、振型）（频率、振型）14 16、17、18、*19（强迫振动）（强迫振动）*例例143利用对称性利用对称性