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1、复变函数积分基本定理第一页，讲稿共二十九页哦定理定理12-2(柯西柯西-古莎定理古莎定理)如果如果f(z)是单连是单连说明说明:该定理的主要部分是该定理的主要部分是Cauchy 于于1825 年建立的年建立的,它是复变函数理论的基础它是复变函数理论的基础.通区域通区域 D上的解析函数，则对上的解析函数，则对D内的任何一条内的任何一条闭曲线闭曲线C,都有都有 12.2.1 Cauchy12.2.1 Cauchy积分定理积分定理第二页，讲稿共二十九页哦解解 因为函数因为函数例例1 计算积分计算积分 在在 上解析上解析,所以根据所以根据Cauchy积分定理积分定理,有有第三页，讲稿共二十九页哦解解根
2、据根据Cauchy积分定理得积分定理得例例2 2 计算积分计算积分 因为因为和和都在都在上解析上解析,所以所以第四页，讲稿共二十九页哦第五页，讲稿共二十九页哦12.2.2 12.2.2 解析函数的原函数解析函数的原函数1 1 原函数的概念原函数的概念2 2 Newton-Leibniz公式公式第六页，讲稿共二十九页哦一一.原函数的概念原函数的概念原函数之间的关系原函数之间的关系:定义定义1 设设f(z)是定义在区域是定义在区域D上的复变函数上的复变函数,若存在若存在D上的解析函数上的解析函数F(z)使得使得 在在D 内成立，则称内成立，则称F(z)是是f(z)在区域在区域D上的原函数上的原函数
3、.如果如果f(z)在区域在区域D上存在原函数上存在原函数F(z),则则f(z)是是 解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.定理定理1 设设F(z)和和G(z)都是都是f(z)在区域在区域D上的原上的原函数函数,则则 (常数常数).第七页，讲稿共二十九页哦那么它就有无穷多个原函数那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为一般表达式为 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证明证明 设设F(z)和和G(z)都是都是f(z)在区域在区域 D上的上的所以所以,为常数为常数.原函数原函数,于是于是 如果如果F(z)是是f(z)在区域在区域 D上的一个原函数，上的一
4、个原函数，(其中其中C是任意复常数是任意复常数).第八页，讲稿共二十九页哦证明证明 可利用可利用定理定理2 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数,z0是是D内的一个点内的一个点,C是是D内以内以z0为起点为起点,z为终点的为终点的 分段光滑分段光滑(或可或可Cauchy积分定理证明求长积分定理证明求长)曲线曲线,则积则积分分 只依赖于只依赖于z0与与z,而与路径而与路径 C 无关无关.Cauchy积分定理来证明积分定理来证明.第九页，讲稿共二十九页哦设设C1与与C2都是以都是以D内以内以z0为起点为起点,z 为终点的为终点的分段光滑曲线分段光滑曲线,又不妨设又不妨设C
5、1与与C2都是简单曲线都是简单曲线.如果如果 C1与与C2除起点和除起点和终点之外终点之外,再没有其他重点再没有其他重点,则则 是简单闭曲线是简单闭曲线,根据根据Cauchy定理有定理有 第十页，讲稿共二十九页哦 如果如果C1与与C2除起点和除起点和终点之外终点之外,还有其他重点还有其他重点,在在D内再做一条以内再做一条以z0为起点为起点,z 为终点为终点,除起点和终点之外除起点和终点之外,与与C1与与C2没有其他没有其他重点的分段光滑曲线重点的分段光滑曲线则由已证明的情形则由已证明的情形,第十一页，讲稿共二十九页哦如果如果 f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析内解析,则则f(z)在以在以
6、z0为起点为起点,z为终点的为终点的D内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线C上积分上积分,积分值与积分路径无关，即可记为积分值与积分路径无关，即可记为 于是确定了于是确定了D内的一个单值函数内的一个单值函数第十二页，讲稿共二十九页哦定理定理3 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数,z0和和z是是D内的点内的点,则则 是是 f(z)在在D上的一个原函数上的一个原函数.与微积分学中对变上限积分求导定理相同与微积分学中对变上限积分求导定理相同.第十三页，讲稿共二十九页哦二二.Newton-Leibniz公式公式定理定理4 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解
7、析函数,F(z)是是 f(z)在在D上的原函数上的原函数,z0和和z1是是D内的两点内的两点,则则 证明证明 因为因为 也是也是f(z)在在D上的原函数上的原函数,根据根据其中其中 C为常数为常数,易见易见第十四页，讲稿共二十九页哦说明说明:有了上述定理有了上述定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算与微积分学中类似的方法去计算.第十五页，讲稿共二十九页哦George Green(1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题数学方法应用到电磁理
8、论和其他数学物理问题.1928年出版了出版了小册子年出版了出版了小册子数学分析在电磁数学分析在电磁学中的应用学中的应用,其中有著名的其中有著名的Green公式公式.40岁进入剑桥大学学习岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学年聘为剑桥大学教授教授.他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其其中包括中包括G.Stokes和和C.Maxwell.第十六页，讲稿共二十九页哦Isaac Newton(1642.12.25-1727.3.20)伟大的英国物理学家和数学家伟大的英国物理学家和数学家.1661年年,进入剑桥大学三一学院学习进入剑桥大学三一学院学习.大学毕
9、业后大学毕业后,在在1665和和1666年期间年期间,Newton 做了做了具有划时代意义的三项工作具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力微积分、万有引力和光的分析和光的分析.1687年发表年发表自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理.1669年任剑桥大学教授年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学年当选为皇家学会会长会会长,1705年被英国女王授予爵士称号年被英国女王授予爵士称号.他还担他还担任过造币厂厂长任过造币厂厂长.第十七页，讲稿共二十九页哦Nature and Natures laws lay hid in night,God said,“Let Newton be!”and al
10、l was light.Newton说说:“我不知道世人怎样看我我不知道世人怎样看我,我只觉得我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然而真理的海洋仍然在我的前面未被发现在我的前面未被发现.”我是站在巨人的肩上我是站在巨人的肩上.I.Newton英国诗人英国诗人A.Pope赞美赞美Newton的的 :第十八页，讲稿共二十九页哦Gottfried Wilhelm Leibniz(1646.6.21-1716.11.14)德国数学家德国数学家.他还是外交家、哲他还是外交
11、家、哲学家、法学家、历史学家、语言学学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、他在逻辑学、力学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作面做了重要的工作.1666年他撰写了一般推理方法的论文年他撰写了一般推理方法的论文论组合论组合的艺术的艺术,获得哲学博士学位获得哲学博士学位,并被任命为教授并被任命为教授.在在第十九页，讲稿共二十九页哦1672年因外交事务出使法国年因外交事务出使法国,接触到一些数学家接触到一些数学家,开始深入地研究数学开始深入地研究数学,特别是特别是1673年开
12、始研究微年开始研究微积分积分,从从1684年起发表微积分论文年起发表微积分论文.他是历史上他是历史上最大的符号学者之一最大的符号学者之一,所创设的微积分符号所创设的微积分符号,远远优于优于Newton的符号的符号,很多一直沿用至今很多一直沿用至今.Leibniz多才多艺多才多艺,他在他在1671年左右制造出一年左右制造出一种手摇计算机种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学甚至研究过中国古代哲学.Newton和和Leibniz是微积分的奠基者是微积分的奠基者,从那时从那时起起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.第二十页，讲稿共二十九页哦12.2.2 12.2
13、.2 复合闭路定理复合闭路定理定理定理1 设设是多连通区域是多连通区域D内内函数函数,那么那么其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.如果如果 f(z)是是 D上的解析上的解析的简单闭曲线的简单闭曲线,都在都在C 的内部的内部,它们它们边界的闭区域含于边界的闭区域含于D内内.互不包含也互不相交互不包含也互不相交,并且以并且以为为第二十一页，讲稿共二十九页哦A1A2A3A4C1C2EFGIH证明证明 不妨设不妨设n=2.作两条辅助线作两条辅助线 (如图如图).这样由这样由作为边界作为边界G G,围成单连通区域围成单连通区域.第二十二页，讲稿共二十九页哦f(z)在在G G 所围的区域内解析所
14、围的区域内解析,由由第二十三页，讲稿共二十九页哦当当 n 为其它值时，可同样证明为其它值时，可同样证明.在公共边界在公共边界(辅助线辅助线)上上,积分两次积分两次,方向方向相反相反,积分值之和等于积分值之和等于0.所以所以 第二十四页，讲稿共二十九页哦 典型例题典型例题解解 显然函数显然函数 例例1 1 计算积分计算积分其中其中G G为包含圆周为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1,并且并且G G 包含了这两个奇点包含了这两个奇点.第二十五页，讲稿共二十九页哦在在G内作两个互不包含也互不相交的正向内作两个互不包含
15、也互不相交的正向圆周圆周C1和和C2,使得使得C1只包含奇点只包含奇点0,C2 只包含只包含奇点奇点1.根据根据 ,第二十六页，讲稿共二十九页哦解解 显然显然C1和和C2围成一围成一例例2 2 计算积分计算积分 其中其中G G 由正向圆周由正向圆周和负向圆周和负向圆周组成组成.个圆环域个圆环域.函数函数在此圆环域及其边界上解析在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界并且圆环域的边界构成复合闭路构成复合闭路,所以根据所以根据 ,第二十七页，讲稿共二十九页哦例例3 3 求积分求积分其中其中G G 为含为含z0的的解解 因为因为z0在闭曲线在闭曲线G G 的内部的内部,任意分段光滑的任意分段光滑的简单闭曲线简单闭曲线,n为整数为整数.故可取充分小的正数故可取充分小的正数r ,使得圆周使得圆周含在含在G G的内部的内部.根据根据 ,第二十八页，讲稿共二十九页哦故故这一结果很重要这一结果很重要.第二十九页，讲稿共二十九页哦