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1、关于常系数高阶齐次线性微分方程现在学习的是第1页，共30页一、定义一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式现在学习的是第2页，共30页n n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式n n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式阶常系数齐次线性微分方程的标准形式(2)的特征方程现在学习的是第3页，共30页二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有
2、故有特征方程特征方程特征根特征根现在学习的是第4页，共30页1.1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为现在学习的是第5页，共30页2.2.有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为现在学习的是第6页，共30页3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为现在学习的是第7页，共30页现在学习的是第8页，共30页定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定
3、其通解的方法称为其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1现在学习的是第9页，共30页解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2现在学习的是第10页，共30页三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征根特征根对应的特解对应的特解注注1、n次代数方程恰有次代数方程恰有n个根。个根。2、属于不同特征属于不同特征根的解线性无关。根的解线性无关。现在学习的是第11页，共30页注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一个根都对而特征方程的每一个根都对应着通解中
4、的一项应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.现在学习的是第12页，共30页特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例3 3现在学习的是第13页，共30页四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)现在学习的是第14页，共30页现在学习的是第15页，共30页思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.现在学习的是第16页，共30页
5、思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解现在学习的是第17页，共30页练练 习习 题题现在学习的是第18页，共30页练习题答案练习题答案现在学习的是第19页，共30页微分方程的应用题微分方程的应用题现在学习的是第20页，共30页 例例1.1.某种某种飞飞机在机机在机场场降落降落时时，为为了减少滑行距离，了减少滑行距离，在触地的瞬在触地的瞬间间，飞飞机尾部机尾部张张开减速开减速伞伞，以增大阻力，使，以增大阻力，使飞飞机迅速减速并停下机迅速减速并停下.现现有一有一质质量量为为9000kg的的飞飞机，着机，着陆时陆时的水平速度的水平速度为为700km/h.经测试经测试，减速，减速伞伞打开后，
6、打开后，飞飞机所受的机所受的总总阻力与阻力与飞飞机的速度成正比（比例系数机的速度成正比（比例系数为为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？注注:kg表示千克，表示千克，km/h表示千米表示千米/小时小时.现在学习的是第21页，共30页 【分析分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。列出关系式后再解微分方程即可。【解解1】由由题设题设，飞飞机的机的质质量量m=9000kg，着，着陆时陆时的水的水平速度平速度从从飞飞机接触跑道开始机接触跑道开始记时记时，设设t时时刻刻飞飞机的滑行机的滑行距离距离
7、为为x(t)，速度，速度为为v(t).根据牛根据牛顿顿第二定律，得第二定律，得又又现在学习的是第22页，共30页由以上两式得由以上两式得 积积分得分得 由于由于故得故得从而从而 当当时时 所以，所以，飞飞机滑行的最机滑行的最长长距离距离为为1.05km.现在学习的是第23页，共30页例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程现在学习的是第24页，共30页所求曲线为所求曲线为现在学习的是第25页，共30页答答:现在学习的是第26页，共30页例例4 4 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图现在学习的是第27页，共30页得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得现在学习的是第28页，共30页分离变量分离变量积分得积分得现在学习的是第29页，共30页02.04.2023感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第30页，共30页