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1、工程流体力学预备知识现在学习的是第1页，共36页 0.1 0.1 标量、矢量和场标量、矢量和场标量标量(scalar(scalar quantity)quantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我们把它称之为标量。只具有大小而没有方向的物理量，我们把它称之为标量。矢量矢量（VectorVector）：）：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一个人从学校它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一个人从学校门口走了门口走了1 1公里，就无法确定他到了什么地方。但如果还知道了公里，就无法确定他到了什么地
2、方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们就能确定他到了什么地方了。这种他走的方向是正东，我们就能确定他到了什么地方了。这种既具既具有大小又具有方向的物理量，我们把它称之为矢量有大小又具有方向的物理量，我们把它称之为矢量。l 矢量与标量的根本区别是有没有方向。矢量与标量的根本区别是有没有方向。现在学习的是第2页，共36页矢量具有平移不变性矢量具有平移不变性(translation invariant(translation invariant)：把矢量在空间中把矢量在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质称为矢量平移的不变平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质称为矢量平移的不变性。性。
3、矢量的模矢量的模(module(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量矢量的大小称为矢量的模。矢量 的模记为：的模记为：或者或者 。在直角坐标在直角坐标(rectangular coordinates)rectangular coordinates)中，中，一个矢量可以用它在一个矢量可以用它在直角坐标系中的三个投影分量直角坐标系中的三个投影分量(component)(component)来表示：来表示：现在学习的是第3页，共36页矢量的标积矢量的标积(scalar product)(scalar product)也称为矢量的也称为矢量的点乘点乘，定义为，定义为矢量的矢积矢量的矢积(vec
4、tor(vector product)product)也称为矢量的也称为矢量的叉乘叉乘，定义为，定义为l 矢量的标积与矢积矢量的标积与矢积 其中其中 i i为由为由a a和和b b根据右手螺旋定则判定的单位矢量。根据右手螺旋定则判定的单位矢量。现在学习的是第4页，共36页场场(field):(field):在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发个场。如电荷在其周围空
5、间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场，的磁场，空间空间充满流体的压力场等。如果这个量是标量我们称该场为充满流体的压力场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。函数。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：现在学习的是第5页，共36页方向导数定义方向导数定义图图 0.2 0.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度设设M M
6、0 0是是标标量量场场=(M M)中中的的一一个个已已知知点点，从从M M0 0出出发发沿沿某某一一方方向向引引一一条条射射线线l l,在在l l上上M M0 0的的邻邻近近取取一一点点M M，MMMM0 0=，如如图图所所示示。若若当当M M趋于趋于M M0 0时时(即即趋于零时趋于零时)，的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数(M M)在在点点M M0 0处处沿沿 l l 方方向向的的方方向向导数，记为导数，记为 标量场的方向导数标量场的方向导数现在学习的是第6页，共36页若若函函数数=(x,x,y,y,z z)在在点点M M0 0(x x0 0,y y0 0,z z0 0
7、)处处可可微微，coscos、coscos、coscos为为l l方方向向的的方方向向余余弦弦，则则函函数数在在点点M M0 0处处沿沿l l方方向向的的方方向向导导数必定存在，且为数必定存在，且为现在学习的是第7页，共36页 标量场的梯度标量场的梯度标量场标量场(x,y,zx,y,z)在在l l方向上的方向导数为：方向上的方向导数为：在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 ：现在学习的是第8页，共36页其其中中矢矢量量l l是是l l方方向向的的单单位位矢矢量量，矢矢量量G G是是在在给给定定点点M M0 0处处的的常常矢矢量量。则方向导数为则方向导数为由由上上式式可可见见，当当l l与与G
8、G的的方方向向一一致致时时，即即cos(cos(G G,l l)=1)=1 时时，标标量量场场在在点点M M处处的的方方向向导导数数最最大大，也也就就是是说说沿沿矢矢量量G G方方向向的的方方向向导导数数最最大大，此最大值为此最大值为现在学习的是第9页，共36页在在标标量量场场(M M)中中的的一一点点M M处处，其其方方向向为为函函数数(M M)在在M M点点处处变变化化率率最最大大的的方方向向，其其模模又又恰恰好好等等于于最最大大变变化化率率的的矢矢量量G G，称称为为标标量量场场(M M)在在M M点点处处的的梯梯度度，用用gradgrad(M M)表表示示。在在直直角角坐坐标标系系中中
9、，梯梯度度的的表达式为表达式为用汉密尔顿微分算子表示为用汉密尔顿微分算子表示为现在学习的是第10页，共36页 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。场的来研究。标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。梯度的性质梯度的性质 标量场的
10、梯度是矢量，它在空标量场的梯度是矢量，它在空间某点的方向表示该点场变化最大间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。最大方向上场的空间变化率。现在学习的是第11页，共36页 设设c c为为一一常常数数，u u(M M)和和v v(M M)为为数数量量场场，很很容容易易证证明明下下面面梯梯度度运算法则的成立：运算法则的成立：现在学习的是第12页，共36页例例0-1 0-1 设标量函数设标量函数r r(x,y,zx,y,z)是动点是动点M M(x,y,zx,y,z)的矢量的矢量 的模，即的模，即 ，试证明：试证明：。证：因为
11、证：因为现在学习的是第13页，共36页所以所以证毕。证毕。现在学习的是第14页，共36页 0.3 0.3 矢量场的散度矢量场的散度 矢量场与矢量线：矢量场与矢量线：在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应，则称该空间区域上定在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。义了一个矢量场。为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直接用矢量的数值和方向来表为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。所谓矢量线示矢量场的大小以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代
12、表了该点矢量场的方向。是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够直观描述矢量矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够直观描述矢量场的大小。场的大小。现在学习的是第15页，共36页根据定义，得矢量线方程：根据定义，得矢量线方程：现在学习的是第16页，共36页矢量场的通量：矢量场的通量：为了克服矢量线不能定量描为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问题，引述矢量场的大小的问题，引入通量的概念。在场区域的入通量的概念。在场区域的某点选取微元面积，穿过该某点选取微元面积，穿过该微元面积的微元面积的矢量线的总数（即矢量线的总数（即该该矢量矢量
13、与与微元面积的点乘微元面积的点乘），），称为矢量场对于面积称为矢量场对于面积微微元的元的通量。通量。可见通量是对可见通量是对矢量线大小或矢量线大小或者多少的某种描述。者多少的某种描述。现在学习的是第17页，共36页矢量场矢量场 F(x,y,z)F(x,y,z)对于曲面对于曲面s s的通量为曲面的通量为曲面s s上所有微小面上所有微小面积元通量的叠加：积元通量的叠加：现在学习的是第18页，共36页如果曲面如果曲面s s是闭合的，并规定曲面法向由闭合是闭合的，并规定曲面法向由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：现在学习的是第19页，共36页表示通过闭
14、合曲面有净的矢量线流出表示通过闭合曲面有净的矢量线流出表示有净的矢量线流入表示有净的矢量线流入表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面没有矢量线流入、流出闭合曲面 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系通量与曲面内产生矢量场的源的关系现在学习的是第20页，共36页为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合
15、微小曲面的通量与曲面微元体积之比的极限。现在学习的是第21页，共36页Gauss定理：直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分：上式称为矢量场的Gauss定理。现在学习的是第22页，共36页 0.4 0.4 正交曲线坐标系正交曲线坐标系正交曲线坐标 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量。现在学习的是第23页，共36页正交曲线坐标变换 三维空间中同一位置可以用不同的正交曲线坐标系描述。因此不同坐标
16、系之间存在相互变换的关系，且这种变换关系只能是一一对应的。现在学习的是第24页，共36页在任何正交曲线坐标系中，存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的 ，圆柱坐标系中的 等。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。现在学习的是第25页，共36页曲面的法向矢量现在学习的是第26页，共36页坐标系中的弧长 在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的弧长是：在正交曲线坐标系中，坐标变量 的相邻两点的微小变化弧长为：现在学习的是第27页，共36页其中，称为拉梅(Lame)系数。现在学习的是第28页，共36页散度的有关公式 在任意正
17、交曲线坐标系中，矢量场的散度表达式为：现在学习的是第29页，共36页 0.5 0.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。现在学习的是第30页，共36页环量的概念：矢量场对于闭合曲线L的环量定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)如果矢量场对于任何闭
18、合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。现在学习的是第31页，共36页现在学习的是第32页，共36页Sir C.Hinshelwood:“Fluid dynamicists were divided into hydraulic engineers who observed what could not be explained,and mathematicians who explained things that could not be observed.”-Quoted by M.J.Lighthill in Nature 178(1956),p434.现在学习的是第33页，共36页G.Birkhoff:“Sydney Goldstain has observed that one can read all of Lamb without realizing that water is wet!”Hydrodynamics:a study in logics,fact,similitude,Princeton Univ.Press,1960,p4.现在学习的是第34页，共36页现在学习的是第35页，共36页现在学习的是第36页，共36页