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1、关于方向导数与梯度(2)现在学习的是第1页，共34页一、方向导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题现在学习的是第2页，共34页当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？现在学习的是第3页，共34页记为记为方向导数的几何意义方向导数的几何意义现在学习的是第4页，共34页过直线过直线 作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z=f(x,y)所交的曲线记为所交的曲线记为 C 表示表示C 的割线向量的割线向量 即即即即割线转化为切线割线转化为切线现在学习的是第5页，共34页上式极限存在就意味着当点上式极限存在
2、就意味着当点趋于点趋于点 曲线曲线C在点在点 P0 有唯一的切线有唯一的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率就是方向导数就是方向导数LCM0TP0PMl现在学习的是第6页，共34页证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到现在学习的是第7页，共34页故有方向导数故有方向导数现在学习的是第8页，共34页解解现在学习的是第9页，共34页解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故现在学习的是第10页，共34页推广可得推广可得三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义现在学习的是第11页，共34页解解令令故故方向余弦为方向余弦为现在学习的
3、是第12页，共34页故故现在学习的是第13页，共34页二、梯度的概念二、梯度的概念问题：问题：现在学习的是第14页，共34页现在学习的是第15页，共34页在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线等高线现在学习的是第16页，共34页等高线的画法等高线的画法现在学习的是第17页，共34页例如例如,现在学习的是第18页，共34页梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：现在学习的是第19页，共34页此时此时 f(x,y)沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为
4、 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。法线方向就是方向导数取得最大值的方向。现在学习的是第20页，共34页梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值的最大值.现在学习的是第21页，共34页现在学习的是第22页，共34页解解
5、由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故现在学习的是第23页，共34页例例5 求函数求函数沿曲线沿曲线在点在点处处的内法线方向的方向导数的内法线方向的方向导数解一解一用方向导数计算公式用方向导数计算公式即要求出从即要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在两边对两边对x 求导求导现在学习的是第24页，共34页解得解得（切线斜率）（切线斜率）故法线斜率为故法线斜率为内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为而由而由得得现在学习的是第25页，共34页解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方
6、向一致，它的模等于方向导数的最大值导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，从等高线的角度来看，f(x,y)在点在点 P 的梯度的梯度 现在学习的是第26页，共34页方向与过点方向与过点P 的等高线的等高线 f(x,y)=C 在这点在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线指向数值较高的等高线等高线为等高线为f(x,y)=C 即即椭圆椭圆大于椭圆大于椭圆因此因此在点在点处的内法线恰好是梯度方向处的内法线恰好是梯度方向现在学习的是第27页，共34页故故现在学习的是第28页，共34页三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系思考题思考题现在学习的是第29页，共34页思考题解答思考题解答现在学习的是第30页，共34页练练 习习 题题现在学习的是第31页，共34页现在学习的是第32页，共34页练习题答案练习题答案现在学习的是第33页，共34页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第34页，共34页