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1、第七节 方向导数与梯度一、方向导数的定义一、方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念四四、小结小结 二、方向导数与连续、偏导数、二、方向导数与连续、偏导数、可微之间的关系可微之间的关系一、方向导数的定义一、方向导数的定义当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，如果如果（一）方向导数的定义（一）方向导数的定义记为记为推论：如果函数推论：如果函数 在点在点 对对 和和的的（二）方向导数与可为微、可导、连续之（二）方向导数与可为微、可导、连续之 间的关系间的关系其中其中 为为 轴到方向轴到方向L的转角的转角 证明证明由于函数可微，则函数值增量可表示为由于函数可微，则函数值增量可表示为两边同除以两边同除以
2、得到得到故有方向导数故有方向导数此定理不仅告诉了我们一个函数在某点此定理不仅告诉了我们一个函数在某点可微，则该函数在此点沿任意方向的方可微，则该函数在此点沿任意方向的方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数的方法。向导数的方法。解解1、方向导数与偏导数的关系、方向导数与偏导数的关系点沿任意方向的方向导数点沿任意方向的方向导数都存在，但推不出偏导数存在。都存在，但推不出偏导数存在。反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的方向导数存在。方向导数存在。方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限例例
3、在在(0,0)点任意方向的方向导数点任意方向的方向导数都存在都存在,但在但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。点偏导数不存在，且不可微。证明证明从而在从而在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。点偏导数不存在，且不可微。而而例例在在(0,0)点偏导数存在点偏导数存在,但但沿沿的方向导数的方向导数不存在。不存在。证明证明所以在所以在(0,0)点沿点沿 的方向导数不存在。的方向导数不存在。在在(0,0)点偏导数存在易知。点偏导数存在易知。函数在某点连续推不出方向导数存在，函数在某点连续推不出方向导数存在，反之亦然。反之亦然。2、函数连续与方向导数存在的关系、函数连续与方向导数存在的关系例例在在(0
4、,0)点连续但方向导数不存在。点连续但方向导数不存在。证明证明可知在可知在(0,0)点连续。点连续。由由不存在不存在可知在可知在(0,0)点方向导数不存在。点方向导数不存在。例例函数在（函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都存）点沿任意方向的方向导数都存在，但不连续。在，但不连续。证明证明可知可知不连续。不连续。可微可微方向导数方向导数（任意方向）（任意方向）连续连续偏导数偏导数综上可得下图：综上可得下图：方向导数与可微、可导、连续之间的关系方向导数与可微、可导、连续之间的关系解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故方向导数的概念可以推广到空间。方向导数的概念可以推广到空间。二、
5、梯度的概念二、梯度的概念（一）定义（一）定义结论结论在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得曲线曲线L在在xoy面上投影曲线为：面上投影曲线为：称称为等高线。为等高线。等高线的画法等高线的画法等高线上任意一点等高线上任意一点处法线的斜率为处法线的斜率为梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案解解 令令故故方向余弦为方向余弦为故故