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1、关于方向导数与梯度(2)第1页，此课件共34页哦一、方向导数的定义 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlP xyP第2页，此课件共34页哦|PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且,z 考虑考虑当 沿着 趋于 时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？的的方方向向导导数数沿沿方方向向则则称称这
2、这极极限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(第3页，此课件共34页哦记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 方向导数的几何意义 ),(),(lim),(0000000yxfyyxxflyxfx 第4页，此课件共34页哦 yyyxxx 00过直线 作平行于 z 轴的平面 与曲面 z=f(x,y)所交的曲线记为 C C上上考考察察在在 对对应应的的方方向向与与lPP0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示
3、C 的割线向量 的的交交角角的的正正切切值值与与lPP0即的的斜斜率率关关于于lPP0时时当当0),(),(0000yxyyxx 即割线转化为切线第5页，此课件共34页哦上式极限存在就意味着当点),(00yyxx ),(00yx趋于点 曲线C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率l就是方向导数),(00yxlf LCM0TP0PMl第6页，此课件共34页哦证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以,得到第7页，此课件共34页哦 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数 lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sinc
4、os yfxf cossin例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0,1(P处处沿沿从从点点 )0,1(P到到点点)1,2(Q的的方方向向的的方方向向导导数数.第8页，此课件共34页哦解这这里里方方向向l即即为为1,1 PQ,故故x轴轴到到方方向向l的的转转角角4 .;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所所求求方方向向导导数数 lz)4sin(2)4cos(.22 例例 2 2 求求函函数数22),(yxyxyxf 在在点点（1，1）沿沿与与x轴轴方方向向夹夹角角为为 的的方方向向射射线线l的的方方向向导导数数.并并问问在在怎怎样样的的方方向向上上
5、此此方方向向导导 数数有有 （1）最最大大值值；（2）最最小小值值；（3）等等于于零零？第9页，此课件共34页哦解由方向导数的计算公式知 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx sincos),4sin(2 故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.第10页，此课件共34页哦推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(z
6、yxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （其中其中222)()()(zyx ）设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z.coscoscos zfyfxflf 第11页，此课件共34页哦例例 3 3 设设n是是曲曲面面632222 zyx 在在点点)1,1,1(P处处的的指指向向外外侧侧的的法法向向量量，求求函函数数2122)86(1yxzu 在在此此处处沿沿方方向向n的的方方向向导导数数.解令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,66 PPyyF,22 PPzzF
7、故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为,142cos ,143cos .141cos 第12页，此课件共34页哦PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 故PPzuyuxunu)coscoscos(.711 第13页，此课件共34页哦二、梯度的概念?最快沿哪一方向增加的速度函数在点 P由由方方向向导导数数公公式式知知问题：第14页，此课件共34页哦sin,cos,yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos|),(|yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 当当1),
8、(cos(eyxgradf时时，lf 有最大值有最大值.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22|),(|yfxfyxgradf.gradfgradf P第15页，此课件共34页哦当当xf 不不为为零零时时，x轴轴到到梯梯度度的的转转角角的的正正切切为为xfyf tan),(yxfz 在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz ,),(czyxfz所得曲线在xoy面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcy
9、xf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量等高线第16页，此课件共34页哦等高线的画法第17页，此课件共34页哦例如,图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 第18页，此课件共34页哦梯度与等高线的关系：向向导导数数的的方方于于函函数数在在这这个个法法线线方方向向模模等等高高的的等等高高线线，而而梯梯度度的的值值较较值值较较低低的的等等高高线线指指向向数数从从数数线线的的一一个个方方向向相相同同，且且在在这这点点的的法法高高线线的的等等的的梯梯度度的的方方向向与与点点在在点点函函数数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(第19页，此课件共34页哦此时 f(x,
10、y)沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。第20页，此课件共34页哦梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大
11、值.第21页，此课件共34页哦第22页，此课件共34页哦例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点)2,1,1(处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解 由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故.1225)2,1,1(kjigradu 在在)0,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.第23页，此课件共34页哦例5 求函数)(12222byaxz 沿曲线12222 byax在点)2,2(ba处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式 即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在1
12、2222 byax两边对x 求导02222 dxdybyax第24页，此课件共34页哦解得yaxbdxdy22 abdxdyM 0（切线斜率）故法线斜率为ba tan内法线方向的方向余弦为22cosbab 22cosbaa 而由)(12222byaxz 得222,2byyzaxxz byzaxzMM2,200 第25页，此课件共34页哦 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )(2122baab 解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，f(x,y)在点 P 的
13、梯度 第26页，此课件共34页哦方向与过点P 的等高线 f(x,y)=C 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxfz 等高线为f(x,y)=C 即Cbyax 12222212111CCCC 若若椭圆122221Cbyax 222221Cbyax 大于椭圆因此12222 byax在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方向第27页，此课件共34页哦故22)()(|yzxzgradzlz Pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 第28页，此课件共34页哦三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一
14、般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系.),(最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数yxf思考题第29页，此课件共34页哦思考题解答xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy|lim0沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 第30页，此课件共34页哦练 习 题一、一、填空题填空题:1 1、函数函数22yxz 在点在点)2,1(处沿从点处沿从点)2
15、,1(到点到点 )32,2(的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 ,则则)0,0,0(gradf_._.3 3、已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、称向量场称向量场a为有势场为有势场,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.第31页，此课件共34页哦三三、设设vu,都都是是zyx,的的函函数数,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续,证证明明:ugradvvgraduuvgrad
16、 )(四四、求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模?二二、求求函函数数)(12222byaxz 在在点点)2,2(ba处处沿沿曲曲线线 12222 byax在在这这点点的的内内法法线线方方向向的的方方向向导导数数.第32页，此课件共34页哦一、一、1 1、321；2 2、kji623；3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(；4 4、gradua .二、二、)(2122baab.四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000.练习题答案第33页，此课件共34页哦感谢大家观看第34页，此课件共34页哦