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1、复变函数泰勒定理现在学习的是第1页，共31页(4.9)D 定理定理4.14(泰勒定理泰勒定理)设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成内能展成如下幂级数如下幂级数(4.8)其中系数展式是唯一的.4.3.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理Ka现在学习的是第2页，共31页K 证证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式熟知的公式:(|u|1).(4.10)总有一个圆周总有一个圆周:使点使点z含在含在(图图4.1中虚线表中虚线表).azD图图4.1的内部的内部 我们设法将被积式我们设法将被积
2、式:由柯西积分公式得由柯西积分公式得现在学习的是第3页，共31页表示为一个含有表示为一个含有z-a的正幂次级数的正幂次级数.为此改写：为此改写：(4.11)由由时时应用公式应用公式(4.10),我们有我们有右端的级数在右端的级数在 上上(关于关于 )是一致收敛的是一致收敛的.现在学习的是第4页，共31页于是于是(4.11)表示为表示为 上一致收敛级数上一致收敛级数以在以在 上的有界函数上的有界函数一致收敛级数一致收敛级数相乘相乘,仍然得到仍然得到 上的上的现在学习的是第5页，共31页由定理3.13知最后得出其中的系数由其中的系数由Cn公式公式(4.9)给出给出.上面证明对于上面证明对于任意任意
3、z均成立均成立,故定理的前半部分得证故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的下面证明展式是唯一的.设另有展式设另有展式由定理由定理4.13(3)即知即知(n=0,1,2,),故展式是唯一的故展式是唯一的.现在学习的是第6页，共31页 定义定义4.8 (4.8)称为称为f(z)在点在点a的的泰勒展式泰勒展式,(4.9)称为其称为其泰勒系数泰勒系数,而而(4.8)右边的级数右边的级数,则称则称为为泰勒级数泰勒级数.定理定理4.15 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为:f(z)在在D内内任一点任一点a的邻域内可展成的邻域内可展成z-a的幂级数的幂级数,即泰勒级数即泰勒级数.
4、由第三章的柯西不等式知若由第三章的柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且则则f(z)在收敛圆周在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点上至少有一奇点,即即不可能有这样的函数不可能有这样的函数F(z)存在存在,它在它在|z-a|R内与内与f(z)恒等恒等,而在而在C上处处解析上处处解析.证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a现在学习的是第9页，共31页K/:|z-a|R+内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z
5、5z2z6z8z9z10a现在学习的是第10页，共31页注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.现在学习的是第11页，共31页4.3.3、将函数展开成泰勒级数、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数现在学习的是第12页，共31页例例1故有故有现在学习的是第13页，共31页仿照上例仿照上例,现在学习的是第14页，共31页2.间
6、接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的结合解析函数的性质性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其它数学和其它数学技巧技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展开式求函数的泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展因而比直接展开更为简洁开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.现在学习的是第15页，共31页例例2 现在学习的是第16页，共31页附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式现在学习的是第17页，共31页现在学习的是第18页，共31页例例
7、3 3解解4.3.4 4.3.4 典型例题典型例题现在学习的是第19页，共31页上式两边逐项求导上式两边逐项求导,现在学习的是第20页，共31页例例4 4分析分析如图如图,现在学习的是第21页，共31页即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解现在学习的是第22页，共31页例例5 5 解解现在学习的是第23页，共31页例例6 6 解解现在学习的是第24页，共31页例例7 7解解现在学习的是第25页，共31页例例8 8解解即微分方程即微分方程对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:现在学习的是第26页，共31页现在学习的是第27页，共31页4.3.5、小结与思考 通过本
8、课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.现在学习的是第28页，共31页奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题现在学习的是第29页，共31页 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.现在学习的是第30页，共31页感感谢谢大大家家观观看看01.04.2023现在学习的是第31页，共31页