《复变函数泰勒定理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数泰勒定理.ppt（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、复变函数泰勒定理现在学习的是第1页，共31页(4.9)D 定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成内能展成如下幂级数如下幂级数 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系数( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n展式是唯一的.4.3.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理Ka现在学习的是第2页，共31页K 证证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式熟知的公式:011nnuu(|u|1).(4.10)
2、总有一个圆周总有一个圆周:|(0),aR使点使点z含在含在 (图图4.1中虚线表中虚线表). azD图图4.1的内部的内部zK (2)1()pziffzd()fz 我们设法将被积式我们设法将被积式:由柯西积分公式得由柯西积分公式得现在学习的是第3页，共31页表示为一个含有表示为一个含有z-a的正幂次级数的正幂次级数.为此改写：为此改写：( )( )( )()11fffzzaaaaaz(4.11)由由 时时|,|1zazaa应用公式应用公式(4.10),我们有我们有0,1()1nnzazaaa右端的级数在右端的级数在 上上(关于关于 )是一致收敛的是一致收敛的.现在学习的是第4页，共31页( )
3、fa于是于是(4.11)表示为表示为 上一致收敛级数上一致收敛级数01()(,)()nnnfafzaa 将将上上式式沿沿积积分分，并并以以乘乘所所得得结结果果根根据据逐逐项项积积分分定定理理即即得得1.2,i 以在以在 上的有界函数上的有界函数一致收敛级数一致收敛级数相乘相乘,仍然得到仍然得到 上的上的( )1( )2pf zdfiz10( ),1()2nnpnzaifda现在学习的是第5页，共31页由定理3.13知()11()( ),2()!nnpffadian最后得出0.)()(nnnazczf其中的系数由其中的系数由Cn公式公式(4.9)给出给出.上面证明对于上面证明对于任意任意z均成立
4、均成立,故定理的前半部分得证故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的下面证明展式是唯一的. 设另有展式设另有展式0( ) () (:|).nnnf zcz azKz aR 由定理由定理4.13(3)即知即知nnncnafc!)()(n=0,1,2,),故展式是唯一的故展式是唯一的.现在学习的是第6页，共31页 定义定义4.8 (4.8)称为称为f(z)在点在点a的的泰勒展式泰勒展式,(4.9)称为其称为其泰勒系数泰勒系数,而而(4.8)右边的级数右边的级数,则称则称为为泰勒级数泰勒级数.0( )() (5.8 )nnnf zcza ( )11( )( ) (4.9 )2()!nnnffacd
5、ian 定理定理4.15 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为:f(z)在在D内任内任一点一点a的邻域内可展成的邻域内可展成z-a的幂级数的幂级数,即泰勒级数即泰勒级数. 由第三章的柯西不等式知若由第三章的柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且)|:|( ,)()(0RazKzazczfnnn则则f(z)在收敛圆周在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点上至少有一奇点,即即不可能有这样的函数不可能有这样的函数F(z)存在存在,它在它在|z-a|R内与内与f (z)恒等恒等,而在而在C上处处解析上处处解析. 证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中
6、心,而在圆O内F(z)是解析的.z1现在学习的是第9页，共31页0()nnnczaK/:|z-a|R+内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10现在学习的是第10页，共31页注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点. 232222( )123nzzzzfzn21( )123nzzzfzn(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才
7、弄的完全明白.2462111xxxx 现在学习的是第11页，共31页常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数现在学习的是第12页，共31页例例1. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为现在学习的是
8、第13页，共31页仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz现在学习的是第14页，共31页2. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数结合解析函数的性质的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积分等积分等)和其它和其它数学技巧数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展开式求函数的泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需
9、要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接因而比直接展开更为简洁展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .现在学习的是第15页，共31页例例2 . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi01( )()2!nnnizizinn 01(1( ) )2!nnnnizin 02(1( ) )2( 1)210,1,2,nnknkiinkk 现在学习的是第16页，共31页附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,!
10、 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z现在学习的是第17页，共31页242205)cos1( 1)( 1),2!4!(2 )!(2 )!nnnnnzzzzznn )( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z现在学习的是第18页，共31页例例3 3. )1(1 2
11、的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z4.3.4 4.3.4 典型例题典型例题, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇点点在在由由于于,1内内处处处处解解析析且且在在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成z现在学习的是第19页，共31页 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,现在学习的是第20页，共31页例例4 4. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是
12、解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xy现在学习的是第21页，共31页zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲线线到到内内从从为为收收敛敛圆圆设设zzC 现在学习的是第22页，共31页例例5 5. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121
13、231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即现在学习的是第23页，共31页例例6 6 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因为为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn现在学习的是第24页，共31页例例7 7.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12c
14、os642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所所以以 zzzz! 62! 42! 22165432现在学习的是第25页，共31页例例8 8.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:, 1所所以以收收敛敛半半径径为为, 1 内内进进行行展展开开可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz 现在学习的是第26页，共31页, 2)0(, 1)0(, 0)0(,
15、1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz 现在学习的是第27页，共31页4.3.5、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.现在学习的是第28页，共31页奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题现在学习的是第29页，共31页 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项, 偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .现在学习的是第30页，共31页感谢大家观看8/24/2022现在学习的是第31页，共31页