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1、误差分析与数据处理第1页，此课件共73页哦 测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被测量的真实值都无法得到。本章所介绍的误差分析与数据测量的真实值都无法得到。本章所介绍的误差分析与数据测量的真实值都无法得到。本章所介绍的误差分析与数据测量的
2、真实值都无法得到。本章所介绍的误差分析与数据处理就是希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处处理就是希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处处理就是希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处处理就是希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，
3、测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。测量误差的基本概念 第2页，此课件共73页哦 真值，是指在一定的时间及空间真值，是指在一定的时间及空间真值，是指在一定的时间及空间真值，是指在一定的时间及空间(位置或状态位置或状态位置或状态位置或状态)条件下，被测量所体现条件下，被测量所体现条件下，被测量所体现条件下，被测量所体现的真实数值。通常所说的真值可以分为的真实数值。通常所说的真值可以分为的真实数值。通常所说的
4、真值可以分为的真实数值。通常所说的真值可以分为“理论真值理论真值理论真值理论真值”、“约定真值约定真值约定真值约定真值”和和和和“相对真值相对真值相对真值相对真值”。测量误差的基本概念一一真值真值 理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。例如三角形的内角和恒为的数值。例如三角形的内角和恒为的数值。例如三角形的内角和恒为的数值。例如三角形的内角和恒为1
5、80180一般情况下，理论真值是未知的。一般情况下，理论真值是未知的。一般情况下，理论真值是未知的。一般情况下，理论真值是未知的。约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于真值，因而可约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于真值，因而可约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于真值，因而可约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为以代替真值来使用。如：基准米定义为以代替真值来使用。如：基准米定义为以代替真值来使用
6、。如：基准米定义为“光在真空中光在真空中光在真空中光在真空中1/299792458s1/299792458s的时间间隔内行程的长度的时间间隔内行程的长度的时间间隔内行程的长度的时间间隔内行程的长度”。测。测。测。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。相对真值也叫实际值，是指将测量仪表按精度不同分为若干等级，高等级的测量相对真值也叫实际值，是指将测量仪表按精度不同分为若干等级，高等级的测量相对真值也叫实际值，是指将测量仪表按精度不同分为若干等级，高等级的测量相对真值
7、也叫实际值，是指将测量仪表按精度不同分为若干等级，高等级的测量仪表的测量值即为相对真值。例如，标准压力表所指示的压力值相对于普通压力表仪表的测量值即为相对真值。例如，标准压力表所指示的压力值相对于普通压力表仪表的测量值即为相对真值。例如，标准压力表所指示的压力值相对于普通压力表仪表的测量值即为相对真值。例如，标准压力表所指示的压力值相对于普通压力表的指示值而言，即可认为是被测压力的相对真值。通常，高一级测量仪表的误差若的指示值而言，即可认为是被测压力的相对真值。通常，高一级测量仪表的误差若的指示值而言，即可认为是被测压力的相对真值。通常，高一级测量仪表的误差若的指示值而言，即可认为是被测压力的
8、相对真值。通常，高一级测量仪表的误差若为低一级测量仪表的为低一级测量仪表的为低一级测量仪表的为低一级测量仪表的1/31/3到到到到1/101/10即可认为前者的示值是后者的相对真值。相对真值在误差测即可认为前者的示值是后者的相对真值。相对真值在误差测即可认为前者的示值是后者的相对真值。相对真值在误差测即可认为前者的示值是后者的相对真值。相对真值在误差测量中的应用最为广泛。量中的应用最为广泛。量中的应用最为广泛。量中的应用最为广泛。第3页，此课件共73页哦二测量误差及其表示方法二测量误差及其表示方法测量误差的基本概念测量结果与被测量真值之差称为测量误差。在实际测试中真值无法确定，因此常用约测量结
9、果与被测量真值之差称为测量误差。在实际测试中真值无法确定，因此常用约定真值或相对真值代替真值来确定测量误差。测量误差可以用以下几种方法表示。定真值或相对真值代替真值来确定测量误差。测量误差可以用以下几种方法表示。1绝对误差绝对误差绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值，即绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值，即式中式中绝对误差；绝对误差；真值，其可为相对真值或约定真值；真值，其可为相对真值或约定真值；测量值。测量值。绝对误差说明了系统示值偏离真值的大小，其值可正可负，具有和被测量相同的量纲。绝对误差说明了系统示值偏离真值的大小，其值可正可负，具有和被测量相同的量纲
10、。第4页，此课件共73页哦2相对误差相对误差相对误差定义为绝对误差与真值之比的百分数，即相对误差定义为绝对误差与真值之比的百分数，即测量误差的基本概念相相对误差对误差第5页，此课件共73页哦通常，用绝对误差来评价相同被测量测量精度的高低，用相对误差来评价不同被测量测量精度的高低。例如，用两种方法测量质量为的物体，其绝对误差分别为和显然第一种测量方法的精度高些。若用第三种方法测量一质量为的物体，其绝对误差为，此时要判断三种测量的精度，用绝对误差就不好判断了，因为被测量不同。为判断测量的精度，计算三者的相对误差分别为第6页，此课件共73页哦测量误差的基本概念显然，第一种方法最好，第二种次之，第三种
11、最差。显然，第一种方法最好，第二种次之，第三种最差。第7页，此课件共73页哦3引用误差引用误差测量误差的基本概念相对误差可以评价不同被测量的测量精度，却不能用来评价不同仪表的质量。相对误差可以评价不同被测量的测量精度，却不能用来评价不同仪表的质量。因为同一仪表在整个测量范围内的相对误差不是定值，由相对误差的定义可知，因为同一仪表在整个测量范围内的相对误差不是定值，由相对误差的定义可知，在绝对误差相同的情况下，随着被测量的减小，相对误差逐渐增大。为合理的在绝对误差相同的情况下，随着被测量的减小，相对误差逐渐增大。为合理的评价仪表的测量质量，引入引用误差的概念。评价仪表的测量质量，引入引用误差的概
12、念。引用误差定义为绝对误差与测量仪表的满量程的百分比，即引用误差定义为绝对误差与测量仪表的满量程的百分比，即r-引用误差引用误差第8页，此课件共73页哦测量误差的基本概念在测量领域，检测仪器的精度等级是由引用误差大小划分的。通常用最大引用误差去掉正负在测量领域，检测仪器的精度等级是由引用误差大小划分的。通常用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示。为统一和方便使用，国家标准表示。为统一和方便使用，国家标准GB77676电测量指示仪表通用技术条件电测量指示仪表通用技术条件规定，测量指示仪表的精度等级规定，测量指示
13、仪表的精度等级G分为分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七个等级七个等级，这也是工业检测仪器常用的精度等级。检测仪器的精度等级由生产厂商根据，这也是工业检测仪器常用的精度等级。检测仪器的精度等级由生产厂商根据其最大引用误差的大小并以其最大引用误差的大小并以“选大不选小选大不选小”的原则就近套用上述精度等级得到。例如一个电压的原则就近套用上述精度等级得到。例如一个电压表，其满量程为表，其满量程为100V，若其最大误差出现在，若其最大误差出现在50V处且为处且为0.12V，则可以确定仪表等级为，则可以确定仪表等级为0.2级。级。由于对于同一等级的检测仪器，其绝对误差随满量程值
14、的增大而增大，为提高测量的精由于对于同一等级的检测仪器，其绝对误差随满量程值的增大而增大，为提高测量的精确度，常常使被测量与仪表的量程相当，即被测量一般应在满量程的确度，常常使被测量与仪表的量程相当，即被测量一般应在满量程的2/3以上。以上。第9页，此课件共73页哦测量误差的基本概念三测量误差的来源三测量误差的来源1方法误差方法误差方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，没有正确的估方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，没有正确的估计电压表的内阻对测量结果的影响而造成的误差。在选择测量方法时，应考虑现有的测量计电压表的内阻对测量结果的影响而
15、造成的误差。在选择测量方法时，应考虑现有的测量设备及测量的精度要求，并根据被测量本身的特性来确定采用何种测量方法和选择哪些测设备及测量的精度要求，并根据被测量本身的特性来确定采用何种测量方法和选择哪些测量设备。正确的测量方法，可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器量设备。正确的测量方法，可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。件等。2理论误差理论误差理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量结果时理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性特性，传感器所
16、引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高次项的近似经验公式，内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高次项的近似经验公式，以及简化的电路模以及简化的电路模型等都会产生理论误差。型等都会产生理论误差。第10页，此课件共73页哦测量误差的基本概念3测量装置误差测量装置误差测量装置误差是指测量仪表本身以及仪表组成元件不完善所引入的误差。如测量装置误差是指测量仪表本身以及仪表组成元件不完善所引入的误差。如仪表刻度不准确或非线性，测量仪表中所用的标准量具的误差，测量装置本仪表刻度不准确或非线性，测量仪表中所用的标准
17、量具的误差，测量装置本身电气或机械性能不完善，仪器、仪表的零位偏移等。为了减小测量装置误身电气或机械性能不完善，仪器、仪表的零位偏移等。为了减小测量装置误差应该不断地提高仪表及组成元件本身的质量。差应该不断地提高仪表及组成元件本身的质量。4环境误差环境误差环境误差是测量仪表的工作环境与要求条件不一致所造成的误差。如温环境误差是测量仪表的工作环境与要求条件不一致所造成的误差。如温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动等引起的误差。度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动等引起的误差。5人身误差人身误差人身误差是由于测量者本人不良习惯、操作不熟练或疏忽大意所引起的误差。如人身误差是由
18、于测量者本人不良习惯、操作不熟练或疏忽大意所引起的误差。如念错读数、读刻度示值时总是偏大或偏小等。念错读数、读刻度示值时总是偏大或偏小等。在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测量结果的影响。量结果的影响。第11页，此课件共73页哦误差的分类 为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规律性为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规律性将其分为三类，即将其分为三类，即系统误差，随机误差和粗大误差系统误差，随机误差和粗大误差。第12页，此课件共73页哦误差的分类一一.系统误差系统误差 在相同的条件下，在
19、相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误差按照一定规律出现，对同一物理量进行多次测量，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差则把这种误差称为系统误差(systemerror)，简称系差，简称系差。系统误差可分为定值系统误差。系统误差可分为定值系统误差(简称定值系差简称定值系差)和变值系统误差和变值系统误差(简称变值系差简称变值系差)。数值和符号都保持不变的系统误差。数值和符号都保持不变的系统误差称为定值系差。数值和符号均按照一定规律性变化的系统误差称为变值系差。变值称为定值系差。数值和符号均按照一定规律性变化的系统误差称为变值系差。变值系差按其变化规律又可分为线性系统误差，周
20、期性系统误差和按复杂规律变化的系系差按其变化规律又可分为线性系统误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图统误差。如图2.1所示，其中所示，其中1为定值系差，为定值系差，2为线性系统误差，为线性系统误差，3为周期系统误差，为周期系统误差，4为按为按复杂规律变化的系统误差。复杂规律变化的系统误差。系统误差示意图系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，测量设备的基本误差、读数方法不正确不正确，测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。系统误差是一种有规律的误差，以及环境误差等。系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采用修
21、正值或补偿校正等方故可以通过理论分析采用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。法来减小或消除。第13页，此课件共73页哦误差的分类 二二.随机误差随机误差 当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的大小和符当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误差号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误差(randomerror)。随机误差产生的原因比较复杂，虽然测量是在相同。随机误差产生的原因比较复杂，虽然测量是在相同条件下进行的，但测量环境中温度、湿度、压力、振动、条件下进行的，但测量环境中温度、湿度、压力、振动、电场等总会发生微小变化，因此，随
22、机误差是大量对测量电场等总会发生微小变化，因此，随机误差是大量对测量值影响微小且又互不相关的因素所引起的综合结果。值影响微小且又互不相关的因素所引起的综合结果。第14页，此课件共73页哦误差的分类随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有下列特性。下列特性。(1)对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的可能性相对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的可能性相等。等。(2)有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一限度。有界性：在一定测量条件下
23、，随机误差的绝对值不会超出某一限度。(3)单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多。现的机会多。(4)抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。随机误差的变化通常难以预测，因此也无法通过实验方法确定、修正和随机误差的变化通常难以预测，因此也无法通过实验方法确定、修正和清除。但是清除。但是通过多次测量比较可以发现随机误差服从某种统计规律通过多次测量比较可以发现随机误差服从某种统计规律(如如正态分布、均匀分布、泊松分正态分布、均匀分布、
24、泊松分布等布等)。第15页，此课件共73页哦误差的分类三三.粗大误差粗大误差明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差(abnormalerror)。粗大误差一般是由于操作人员粗心大意、操作不当或实验粗大误差一般是由于操作人员粗心大意、操作不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验等造成的。如读错、测条件没有达到预定要求就进行实验等造成的。如读错、测错、记错数值、使用有缺陷的测量仪表等。含有粗大误差错、记错数值、使用有缺陷的测量仪表等。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，所有的坏值在数据处理时应的测量值称为坏值或异常值，所有的坏值在数据处理时应剔除
25、掉。剔除掉。第16页，此课件共73页哦误差的分类四四.测量精度测量精度 测量精度是从另一角度评价测量误差大小的量，它与误差大小相对应，即误差大，精度低；误差小，测量精度是从另一角度评价测量误差大小的量，它与误差大小相对应，即误差大，精度低；误差小，精度高。测量精度可细分为准确度、精密度和精确度。精度高。测量精度可细分为准确度、精密度和精确度。1准确度表明测量结果偏离真值的程度，它反映表明测量结果偏离真值的程度，它反映系统误差系统误差的影响，系统误差小，则准的影响，系统误差小，则准确度高。确度高。2精密度表明测量结果的分散程度，它反映表明测量结果的分散程度，它反映随机误差随机误差的影响，随机误差
26、小，则精密度高。的影响，随机误差小，则精密度高。3精确度精确度反映测量中系统误差和随机误差综合影响的程度，简称精度。精度高，说明准确精确度反映测量中系统误差和随机误差综合影响的程度，简称精度。精度高，说明准确度与精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。度与精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。第17页，此课件共73页哦误差的分类测量的准确度与精密度的区别，由图可知，若靶心为真实值，图中黑点为测量值，则图测量的准确度与精密度的区别，由图可知，若靶心为真实值，图中黑点为测量值，则图(a)表表示准确却不精密的测量，图示准确却不精密的测量，图(b)表示精密却不准确的测量，图（表示精密却不准确的测
27、量，图（c)表示既准确又精密的测量。表示既准确又精密的测量。一切测量都应同时兼顾准确度和精密度，力求既准确又精密，才能成为精确的测量。一般来一切测量都应同时兼顾准确度和精密度，力求既准确又精密，才能成为精确的测量。一般来说，工程测量中，占主要地位的是系统误差，应力求准确度高，所以人们习惯上又把精度称说，工程测量中，占主要地位的是系统误差，应力求准确度高，所以人们习惯上又把精度称为准确度。而在精密测量中由于已经采取一定的措施为准确度。而在精密测量中由于已经采取一定的措施(如改进测量方法，改善测量条件如改进测量方法，改善测量条件)减小减小或消除了系统误差，因而随机误差是主要的。或消除了系统误差，因
28、而随机误差是主要的。第18页，此课件共73页哦测量数据处理 测量数据处理是对测量所获得的数据进行深入测量数据处理是对测量所获得的数据进行深入的分析，找出变量之间相互制约、相互联系的的分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时还需要用数学解析的方法，推依存关系，有时还需要用数学解析的方法，推导出各变量之间的函数关系。只有经过科学的导出各变量之间的函数关系。只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真，从而获得反处理，才能去粗取精、去伪存真，从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用信息，这映被测对象的物理状态和特性的有用信息，这就是测量数据处理的最终目的。就是测量数据处理的最终目的。第1
29、9页，此课件共73页哦测量数据处理一一.测量数据的统计参数测量数据的统计参数 测量数据总是存在误差的，而误差又包含着各种因素产生的分量，如系统误差、随机误测量数据总是存在误差的，而误差又包含着各种因素产生的分量，如系统误差、随机误差、粗大误差等。显然一次测量是无法判别误差的统计特性，只有通过足够多次的重复测差、粗大误差等。显然一次测量是无法判别误差的统计特性，只有通过足够多次的重复测量才能由测量数据的统计分析获得误差的统计特性。量才能由测量数据的统计分析获得误差的统计特性。而实际的测量是有限次的，因而测量数据只能用样本的统计量作为测量数据总而实际的测量是有限次的，因而测量数据只能用样本的统计量
30、作为测量数据总体特征量的估计值。体特征量的估计值。测量数据处理的任务就是求得测量数据的样本统计量，以得到测量数据处理的任务就是求得测量数据的样本统计量，以得到一个既接近真值又可信的估计值以及它偏离真值程度的估计。一个既接近真值又可信的估计值以及它偏离真值程度的估计。误差分析的理论大多基于测量数据的正态分布，而实际测量由于受各种因素的影响，误差分析的理论大多基于测量数据的正态分布，而实际测量由于受各种因素的影响，使得测量数据的分布情况复杂。因此，测量数据必须经过消除系统误差、正态性检使得测量数据的分布情况复杂。因此，测量数据必须经过消除系统误差、正态性检验和剔除粗大误差后，才能作进一步处理，以得
31、到可信的结果。验和剔除粗大误差后，才能作进一步处理，以得到可信的结果。第20页，此课件共73页哦测量数据处理 二二随机误差及其处理随机误差及其处理随随机机误误差差与与系系统统误误差差的的来来源源和和性性质质不不同同，所所以以处处理理的的方方法法也也不不同同。由由于于随随机机误误差差是是由由一一系系列列随随机机因因素素引引起起的的，因因而而随随机机变变量量可可以以用用来来表表达达随随机机误误差差的的取取值值范范围围及及概概率率。若若有有一一非非负负函函数数，其其对对任意实数有分布函数任意实数有分布函数称为的概率分布密度函数 为为误误差差在在之之间间的的概概率率，在在测测量量系系统统中中，若若系系
32、统统误误差差已已经经减减小小到到可可以以忽忽略略的的程程度度后后才才可对随机误差进行统计处理。可对随机误差进行统计处理。第21页，此课件共73页哦测量数据处理1.随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律。正态分布的曲线如图所示。图中的横坐标表示随机误差，纵坐标为误差的概率密度。应用概率论方法可导出随机误差的正态分布曲线特征特征量量标准差标准差n为测量为测量次数次数P（）=68.3%；P（2）=95.4%；P（3）=99.7%第22页，此课件共73页哦测量数据处理 2.真实值与算术平均值真实值与算术平均值设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别
33、为下设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别为下x1,x2,xn,各次测量值的随机误差为各次测量值的随机误差为。将随机误差相加。将随机误差相加两边同除两边同除n得得用用代表测量列的算术平均值代表测量列的算术平均值 第23页，此课件共73页哦测量数据处理 根据随机误差的抵偿特征，即根据随机误差的抵偿特征，即于是于是可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次测量小。且测量次数越多，影响越小。比单次测量小。且测量次数越多，影响越小。因此可以用多次测量的算术平均值代替真实值，因
34、此可以用多次测量的算术平均值代替真实值，并称为最可信数值。并称为最可信数值。第24页，此课件共73页哦测量数据处理3.随机误差的估算随机误差的估算 1)标准差标准差标准差标准差定义为定义为它是一定测量条件下随机误差最常用的估计值。其物理意义为随机误差落在它是一定测量条件下随机误差最常用的估计值。其物理意义为随机误差落在(，)区区间的概率为间的概率为68.3%。区间。区间(，)称为置信区间，相应的概率称为置信概率。称为置信区间，相应的概率称为置信概率。显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取(2，2)、(3，3)时，相应的置信概率时，相应的置信
35、概率P(2)=95.4%,P(3)=99.7%.第25页，此课件共73页哦测量数据处理 定义3为极限误差，其概率含义是在1000次测量中只有3次测量的误差绝对值会超过3。由于在一般测量中次数很少超过几十次，因此，可以认为测量误差超3出范围的概率是很小的，故称为极限误差，一般可作为可疑值取舍的判定标准。如图是不同值时的 曲线。值越小，曲线陡且峰值高，说明测量值的随机误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好。反之，值越大，曲线较平坦，各测量值的分散性大，重复性差。不同不同的概率密度曲线的概率密度曲线第26页，此课件共73页哦测量数据处理代替误差代替误差来估算有限次测量中的标准差，得到的
36、结果就是单次测量的标准差，用来估算有限次测量中的标准差，得到的结果就是单次测量的标准差，用表示，它只是表示，它只是的一个估算值。由误差理论可以证明单次测量的标准差的计算式为的一个估算值。由误差理论可以证明单次测量的标准差的计算式为 这一公式称为贝塞尔公式。这一公式称为贝塞尔公式。2)单次测量值的标准差的估计单次测量值的标准差的估计由于真值未知时，随机误差 不可求，可用各次测量值与算术平均值之差剩余误差第27页，此课件共73页哦测量数据处理同理，按同理，按计算的极限误差为计算的极限误差为，的物理意义与的物理意义与的相同。当的相同。当时，有时，有，则，则。在一般情况下，对于。在一般情况下，对于和和
37、的符号并的符号并不加以严格的区分，但是不加以严格的区分，但是n较小时，必须采用贝塞尔公式计算较小时，必须采用贝塞尔公式计算的值。的值。3)算术平均值的标准差的估计算术平均值的标准差的估计在测量中用算术平均值作为最可信赖值，它比在测量中用算术平均值作为最可信赖值，它比单次测量得到的结果可靠性高。由于测量次数单次测量得到的结果可靠性高。由于测量次数有限，因此有限，因此也不等于也不等于。也就是说，。也就是说，还是还是存在随机误差的，可以证明，算术平均值的标存在随机误差的，可以证明，算术平均值的标准差准差是单次测量值的标准差是单次测量值的标准差的的倍，倍，即即第28页，此课件共73页哦测量数据处理 上
38、式表明，在上式表明，在n较小时，增加测量次数较小时，增加测量次数n，可明显减小测量结果的标准差，可明显减小测量结果的标准差，提高测量的精密度。但随着提高测量的精密度。但随着n的增大，减小的程度越来越小；当的增大，减小的程度越来越小；当n大到一定大到一定数值时数值时就几乎不变了。就几乎不变了。4.间接测量的标准差传递间接测量的标准差传递直接测量的结果有误差，由直接测量值经过运算而得到的间接测量的直接测量的结果有误差，由直接测量值经过运算而得到的间接测量的结果也会有误差，这就是误差的传递。结果也会有误差，这就是误差的传递。设间接测量值与各独立的直接测量值设间接测量值与各独立的直接测量值X1，X2，
39、X3,Xn的函数关系为的函数关系为,在对在对X1，X2，X3,Xn进行有限次测量的情况下，间接测量的最佳估进行有限次测量的情况下，间接测量的最佳估计值为计值为第29页，此课件共73页哦绝对误差绝对误差相对误差相对误差标准差标准差上式不仅可以用来计算间接测量值上式不仅可以用来计算间接测量值y的标准差，而且还可以用来分析各直接测量的标准差，而且还可以用来分析各直接测量值的误差对最后结果的误差的影响大小，从而为改进实验提出了方向。在设值的误差对最后结果的误差的影响大小，从而为改进实验提出了方向。在设计一项实验时，误差传递公式能为合理地组织实验、选择测量仪器提供重要计一项实验时，误差传递公式能为合理地
40、组织实验、选择测量仪器提供重要的依据。的依据。第30页，此课件共73页哦测量数据处理 一些常用函数标准差的传递公式见表一些常用函数标准差的传递公式见表标准差传递公式函数表达式常用函数标准差的传递公式第31页，此课件共73页哦例题：计算系统误差例题：计算系统误差已知一平衡电桥，求测量热电阻已知一平衡电桥，求测量热电阻Rx的绝对误差和相对误差。的绝对误差和相对误差。假设电源假设电源E和检流计和检流计D引起的误差忽略不计。引起的误差忽略不计。Rx10欧姆，欧姆，R2100欧姆，欧姆，R3100欧姆，欧姆，R41000欧姆，欧姆，R20.1欧姆，欧姆，R30.01欧姆，欧姆，R41.0欧姆。欧姆。Rx
41、R2R3R4DE第32页，此课件共73页哦解：当电桥处于平衡时，有：解：当电桥处于平衡时，有：第33页，此课件共73页哦测量数据处理 三系统误差的发现三系统误差的发现由于系统误差对测量精度的影响较大，必须消除系统误差的影响才能有由于系统误差对测量精度的影响较大，必须消除系统误差的影响才能有效地提高测量精度，下面介绍几种发现系统误差的方法。效地提高测量精度，下面介绍几种发现系统误差的方法。1.定值系统误差的发现定值系统误差的发现1)实验对比法实验对比法对于定值系统误差，通常采用实验对比法发现和确定。实验对比法又可分为标准器件法对于定值系统误差，通常采用实验对比法发现和确定。实验对比法又可分为标准
42、器件法(简称标准件法简称标准件法)和标准仪器法和标准仪器法(简称标准表法简称标准表法)两种。两种。标准器件法就是用测量仪表对高精度的标准器件标准器件法就是用测量仪表对高精度的标准器件(如标准砝码如标准砝码)进行多次重复测量。如果定值系差进行多次重复测量。如果定值系差存在则测量值与标准器件的差值为固定值。该差值的相反数即可作为仪表的修正值。存在则测量值与标准器件的差值为固定值。该差值的相反数即可作为仪表的修正值。标准仪器法是用精度等级高于被标定仪器标准仪器法是用精度等级高于被标定仪器(即需要检验是否具有系统误差的仪表即需要检验是否具有系统误差的仪表)的标准仪器和被标定仪器同的标准仪器和被标定仪器
43、同时测量被测量。将标准仪器的测量值作为相对真值。若两测量仪表的测量值存在固定差值则可判断有定值系差，时测量被测量。将标准仪器的测量值作为相对真值。若两测量仪表的测量值存在固定差值则可判断有定值系差，并将差值的相反数作为修正值。并将差值的相反数作为修正值。当无法通过标准器件或标准仪器来发现并消除定值系差时，还可以通过多台同类或相近的当无法通过标准器件或标准仪器来发现并消除定值系差时，还可以通过多台同类或相近的仪器进行相互对比，观察测量结果的差异，以便提供一致性的参考数据。仪器进行相互对比，观察测量结果的差异，以便提供一致性的参考数据。第34页，此课件共73页哦测量数据处理 2)改变外界测量条件改
44、变外界测量条件有些检测系统，一旦测量环境或被测参数值发生变化，其系统误差往往也有些检测系统，一旦测量环境或被测参数值发生变化，其系统误差往往也从一个固定值变化到另一个固定值。利用这一特性，可以有意识地改变测量从一个固定值变化到另一个固定值。利用这一特性，可以有意识地改变测量条件，来发现和确定仪器在不同条件下的系统误差。例如，更换测量人员或条件，来发现和确定仪器在不同条件下的系统误差。例如，更换测量人员或改变测量方法等。分别测出两组或两组以上数据，然后比较其差异，便可判改变测量方法等。分别测出两组或两组以上数据，然后比较其差异，便可判断是否含有定值系差，同时还可设法消除系统误差。注意，在改变测量
45、条件断是否含有定值系差，同时还可设法消除系统误差。注意，在改变测量条件进行测量时，应该判断在条件改变后是否引入新的系统误差。进行测量时，应该判断在条件改变后是否引入新的系统误差。3)理论计算及分析理论计算及分析因测量原理或检测方法等方面存在不足而引入的定值系差，可通过原理分析因测量原理或检测方法等方面存在不足而引入的定值系差，可通过原理分析与理论计算来加以修正。对此需要有针对性地仔细研究和计算、评估实际值与理与理论计算来加以修正。对此需要有针对性地仔细研究和计算、评估实际值与理论值之间的差异，然后设法补偿和消除系统误差。论值之间的差异，然后设法补偿和消除系统误差。第35页，此课件共73页哦测量
46、数据处理 2.变值系统误差的发现变值系统误差的发现1)残差观察法残差观察法当系统误差与随机误差相比较大时，通过观察测量数据的各个剩余误差大小和当系统误差与随机误差相比较大时，通过观察测量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律来判断有无变值系统误差。符号的变化规律来判断有无变值系统误差。若剩余误差数值有规律的递增或递减，且剩余误差序列减去其中值后的新数列若剩余误差数值有规律的递增或递减，且剩余误差序列减去其中值后的新数列在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，则说明测量存在累进性的线性系统在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，则说明测量存在累进性的线性系统误差。误差。如果发现剩余误差序列呈有规律交
47、替重复变化，则说明测量存在周期性系如果发现剩余误差序列呈有规律交替重复变化，则说明测量存在周期性系统误差。统误差。当系统误差比随机误差小或相当时，则不能通过观察来发现系统误差，当系统误差比随机误差小或相当时，则不能通过观察来发现系统误差，必须通过专门的判断准则才能较好地发现和确定。这些判断准则实质上必须通过专门的判断准则才能较好地发现和确定。这些判断准则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布，常用的有是检验误差的分布是否偏离正态分布，常用的有马利科夫准则和阿贝马利科夫准则和阿贝-赫赫梅特准则梅特准则等。等。第36页，此课件共73页哦测量数据处理2)马利科夫准则马利科夫准则马利科夫准则适用于判断
48、、发现和确定马利科夫准则适用于判断、发现和确定线性系统线性系统误差。设对某一被测量误差。设对某一被测量进行次等精度测量，按测量先后顺序得到进行次等精度测量，按测量先后顺序得到X1,X2Xi,Xn等数值。令这些等数值。令这些数值的算术平均值为数值的算术平均值为相应的剩余误差为：相应的剩余误差为：将前面一半以及后面一半数据的剩余误差分别求和，然后取其差值，有将前面一半以及后面一半数据的剩余误差分别求和，然后取其差值，有第37页，此课件共73页哦测量数据处理 若若M近似为零，则说明上述测量列中不含线性系统误差；若近似为零，则说明上述测量列中不含线性系统误差；若M与与相当或更大，则说明测量相当或更大，
49、则说明测量列中存在线性系统误差。列中存在线性系统误差。3)阿贝阿贝-赫梅特赫梅特(Abbe-Helmert)准则准则阿贝阿贝-赫梅特准则用于发现赫梅特准则用于发现周期性系统误差周期性系统误差。此准则的实际操作方法也是将在等精度重复测量下。此准则的实际操作方法也是将在等精度重复测量下得到的一组测量值得到的一组测量值,按顺序排列，并求出相应的剩余误差按顺序排列，并求出相应的剩余误差。然后计算。然后计算若存在若存在成立成立(为测量数据序列的方差为测量数据序列的方差)，则认为测量序列中含有周期，则认为测量序列中含有周期性系统误差。性系统误差。第38页，此课件共73页哦测量数据处理 4)不同公式计算标准
50、差比较法不同公式计算标准差比较法对等精度的多次测量，用不同的方法计算标准差，通过比较以对等精度的多次测量，用不同的方法计算标准差，通过比较以发现系统误差。发现系统误差。用贝塞尔公式用贝塞尔公式用别捷尔斯公式用别捷尔斯公式对于两种不同公式计算得出的标准差对于两种不同公式计算得出的标准差，如果有，如果有成立，则认为测量序列中有系统误差存在。成立，则认为测量序列中有系统误差存在。第39页，此课件共73页哦测量数据处理 四四.减小系统误差的方法减小系统误差的方法分析和研究系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。下面介绍一些常用的消分析和研究系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。下面介绍一些常用的消除