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1、行列式按一行列展开1第1页，此课件共39页哦例如例如一、余子式与代数余子式2第2页，此课件共39页哦在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如3第3页，此课件共39页哦4第4页，此课件共39页哦引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 证证当当 位于第一行第一列
2、时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时5第5页，此课件共39页哦得得6第6页，此课件共39页哦得得7第7页，此课件共39页哦8第8页，此课件共39页哦中的余子式中的余子式9第9页，此课件共39页哦故得故得于是有于是有10第10页，此课件共39页哦定理定理4.14.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即或或二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则11第11页，此课件共39页哦下面我们对行的情形给出证明：下面我们对行的情形给出证明：证证12第12页
3、，此课件共39页哦13第13页，此课件共39页哦例例114第14页，此课件共39页哦15第15页，此课件共39页哦 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式16第16页，此课件共39页哦17第17页，此课件共39页哦 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式18第18页，此课件共39页哦推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即或或19第19页，此课件共39页哦证证20第20页，此课件共39页哦同理同理相同相同21第2
4、1页，此课件共39页哦关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质22第22页，此课件共39页哦例例 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得23第23页，此课件共39页哦例例 计算行列式计算行列式解解24第24页，此课件共39页哦25第25页，此课件共39页哦*拉普拉斯定理拉普拉斯定理26第26页，此课件共39页哦27第27页，此课件共39页哦28第28页，此课件共39页哦定理定理4.14.1（拉普拉斯定理）设在行列式拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取中任意取定了定了k(1 1kn)个行。由这个行。由这k行元素所组成的一切行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积
5、的和等于行列式阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。29第29页，此课件共39页哦例例证明证明30第30页，此课件共39页哦证明证明按前按前k行展开根据拉普拉斯定理，去掉为零的行展开根据拉普拉斯定理，去掉为零的项立即可得结论，这相对上一节的方法而言，项立即可得结论，这相对上一节的方法而言，明显简单得多。明显简单得多。31第31页，此课件共39页哦例例1 计算计算5阶行列式阶行列式32第32页，此课件共39页哦 所以所以 D=126=6.解解:对对D的第的第1,3 1,3 行用行用Laplace定理定理,在第在第1,3 1,3 行中不行中不为零的二阶子式分别是为零的二阶子式分别是 它们各自对应的代数余子式是它们各自对应的代数余子式是33第33页，此课件共39页哦例例2 2 计算计算2n阶行列式阶行列式34第34页，此课件共39页哦解解 对的第对的第n,n+1行应用行应用Laplace定理（按第定理（按第n,n+1 行展开）得行展开）得35第35页，此课件共39页哦利用这个递推关系式有利用这个递推关系式有36第36页，此课件共39页哦定理定理4.2 4.2(对角块行列式乘法法则对角块行列式乘法法则),则则若若若若 三角块三角块，则，则推论推论37第37页，此课件共39页哦例例3 3 计算行列式计算行列式38第38页，此课件共39页哦解解:39第39页，此课件共39页哦