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1、因子分析1现在学习的是第1页，共67页 1 1 引言引言 因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。2现在学习的是第2页，共67页 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反
2、映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分，称为特殊因子。3现在学习的是第3页，共67页注：注：因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；意义；主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因
3、子模型。型。主成分分析主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；合变量，即主成分；因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。组合表示原始变量。4现在学习的是第4页，共67页2因子分析模型因子分析模型一、数学模型一、数学模型 设 个变量，如果表示为5现在学习的是第5页，共67页 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因因子子载载荷荷。是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：即不相关；即 互不相关，方差为1。6现在学习的是第6页，共67页即互不相关，方差不一定相等，
4、。7现在学习的是第7页，共67页用矩阵的表达方式:8现在学习的是第8页，共67页二、因子分析模型的性质1、原始变量X的协方差矩阵的分解D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成分越多。9现在学习的是第9页，共67页2、模型不受计量单位的影响将原始变量X做变换X*=CX,这里 Cdiag(c1,c2,cn),ci0。10现在学习的是第10页，共67页11现在学习的是第11页，共67页3、因子载荷不是惟一的(正交因子模型本身不具有确定性，A*，F*也满足模型，而且方差分解式不变）设T为一个pp的正交矩阵，令A*=AT，F*=TF，则模型可以表示为,且满足因子模型的条件12现在学习的是第12页，
5、共67页 三、三、因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征(不妨假设原始变量已经标准化不妨假设原始变量已经标准化)1 1、因子载荷、因子载荷a aijij的统计意义的统计意义 因子载荷 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数模型为 在上式的左右两边乘以,再求数学期望 根据公共因子的模型性质，有 （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。13现在学习的是第13页，共67页 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定定义义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为 ，称为第i个变量的共同
6、度统计意义统计意义：两边求方差 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1，非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。因此它反映了变量xi对公共因子的依赖程度14现在学习的是第14页，共67页 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为公因子 对所有变量的方差贡献和。作为公因子重要性的一个度量，衡量的相对重要性。对的各个分量的总的影响，也就是对的贡献15现在学习的是第15页，共67页由因子模型知，我们试图用m个公共因子和特殊因子来研究相关矩阵的内部依赖结构或者说明相关关系的内在原因，从本质上讲
7、，建立前述的统计模型，使其具有一定的方差分解式关键就是因子载荷矩阵的估计16现在学习的是第16页，共67页 3 3 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法设随机向量的均值为，协方差为,为的特征根，为对应的标准化特征向量，则（一）主成分分析法（一）主成分分析法17现在学习的是第17页，共67页上式给出的 表达式是精确精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的略去后面的p-m项的贡献项的贡献，有18现在学习的是第18页，共67页上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从 的分解中忽略了特殊因子的方差。19现在学习的是第19页，共67页
8、四公共因子个数的确定仍然按主成分的思想来确定比较理想的情况是只有少数几个公共因子对变量的贡献很大（利用）我们注意到在标准化变量的情况下，所有变量的总方差为，第j个公因子的贡献为因而寻找一个数m，使得22现在学习的是第22页，共67页 例例假定某地固定资产投资率，通货膨胀率，失业率，相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。23现在学习的是第23页，共67页特征根为：24现在学习的是第24页，共67页根据因子载荷矩阵的值确定公共因子的含义：可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献为1.55。第二公因子F2为投资因子，对X的贡献为0.85。共同度分别为1，0.
9、706，0.706。(1.55+0.85)/3=80%,所以确定两个公因子即可25现在学习的是第25页，共67页4因子旋转（正交变换）建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有三种主要的正交旋转法。四次方最大法、方差最大法方差最大法和等量最大法。（一）为什么要旋转因子（一）为什么要旋转因子26现在学习的是第26页，共67页 百米跑
10、成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析27现在学习的是第27页，共67页28现在学习的是第28页，共67页 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表29现在学习的是第29页，共67页30现在学习的是第30页，共67页 通过旋转，因子有了较为明确的含义。百米跑，跳远和 400米跑，需
11、要爆发力的项目在 有较大的载荷，可以称为短跑速度因子；铅球，铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；百米跨栏，撑杆跳远，跳远和为 跳高在 上有较大的载荷，爆发腿力因子；长跑耐力因子。31现在学习的是第31页，共67页变换后因子的共同度变换后因子的共同度设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换变换后因子的共同度没有发生变化！说明变量变换后因子的共同度没有发生变化！说明变量对公因子的依赖程度没有改变！对公因子的依赖程度没有改变！（二）旋转方法（二）旋转方法32现在学习的是第32页，共67页变换后因子贡献变换后因子贡献设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换变换后因子的贡献发
12、生了变化！但是旋转只影响有各个因子变换后因子的贡献发生了变化！但是旋转只影响有各个因子解释的总方差的分布，由所有因子解释的总方差没有改变！解释的总方差的分布，由所有因子解释的总方差没有改变！33现在学习的是第33页，共67页 1、方差最大法（方差极大旋转）方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因
13、子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于1，另一部分趋于0。（即使载荷矩阵的每一列都是有两极分化的特征，称这种载荷矩阵具有简单结构）34现在学习的是第34页，共67页35现在学习的是第35页，共67页36现在学习的是第36页，共67页37现在学习的是第37页，共67页 5 因子得分因子得分（一）因子得分的概念（一）因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。38现在学习的是第38页，共67页 人人均均要要素
14、素变变量量因因子子分分析析。对我国32个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：X1：人口（万人）X2：面积（万平方公里）X3：GDP（亿元）X4：人均水资源（立方米/人）X5：人均生物量（吨/人）X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有科学家、工程师数（人）RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.21522-0.273970.89092X20.63973-0.28739-0.28755X3-0.157910.063340.94855X40.95898-0.01501-0.07556X50.97224-0.06778-0.1
15、7535X6-0.114160.98328-0.08300X7-0.110410.97851-0.0724639现在学习的是第39页，共67页高载荷指标因子命名因子1X2；面积（万平方公里）X4:人均水资源（立方米/人）X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子因子2X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有的科学家、工程师数（人）人力资源因子因子3X1;人口（万人）X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.9485
16、5F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F340现在学习的是第40页，共67页StandardizedScoringCoefficientsFACTOR1FACTOR2FACTOR3X10.05764-0.060980.50391X20.22724-0.09901-0.07713X30.146350.129570.59715X40.479200.112280.1706
17、2X50.455830.074190.10129X60.054160.486290.04099X70.057900.485620.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1
18、-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X741现在学习的是第41页，共67页REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.3178
19、9-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三个因子得分42现在学习的是第42页，共67页 因子分析的数学模型为：原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，
20、我们还想反过来把公共因子表示为原变量的线性组合。因子得分函数：可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而而由由于于pmpm，所以不能得到精确的得分，只能通过估计，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。43现在学习的是第43页，共67页1、巴特莱特因子得分巴特莱特因子得分(加权最小二乘法）加权最小二乘法）把 看作因变量；把因子载荷矩阵 看成自变量的观测；把某个个案的得分 看着最小二乘法需要求的系数。1)巴特莱特因子得分计算方法的思想44现在学习的是第44页，共67页由于特殊因子的方差相异，所以用加权最小二乘法求得分，每个各案作一次，要求出所有样品的得分，需要作n次。45现在学习的是第4
21、5页，共67页用矩阵表达：满足上式的F是相应个案的因子得分。46现在学习的是第46页，共67页47现在学习的是第47页，共67页48现在学习的是第48页，共67页2、回归方法（汤普森因子得分）49现在学习的是第49页，共67页 则，我们有如下的方程组：50现在学习的是第50页，共67页j=1,2,m51现在学习的是第51页，共67页注：共需要解注：共需要解m次才能解次才能解出出所有的得分函数的系数。所有的得分函数的系数。52现在学习的是第52页，共67页国民生活质量的因素分析 国家发展的最终目标，是为了全面提高全体国民的生活质量，满足广大国民日益增长的物质和文化的合理需求。在可持续发展消费的统
22、一理念下，增加社会财富，创自更多的物质文明和精神文明，保持人类的健康延续和生生不息，在人类与自然协同进化的基础上，维系人类与自然的平衡，达到完整的代际公平和区际公平(即时间过程的最大合理性与空间分布的最大合理化)。从1990年开始，联合国开发计划署(UYNP)首次采用“人文发展系数”指标对于国民生活质量进行测度。人文发展系数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的健康状况(使用出生时的人均预期寿命表达)、人的智力程度(使用组合的教育成就表达)、人的福利水平(使用人均国民收入或人均GDP表达)，并且特别强调三类指标组合的整体表达内涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。53
23、现在学习的是第53页，共67页在这个指标体系中有如下的指标：X1预期寿命X2成人识字率X3综合入学率X4人均GDP（美圆）X5预期寿命指数X6教育成就指数X7人均GDP指数54现在学习的是第54页，共67页旋转后的因子结构RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X10.381290.417650.81714X20.121660.848280.45981X30.648030.618220.22398X40.904100.205310.34100X50.388540.432950.80848X60.282070.853250.43289X70.900910
24、.206120.35052FACTOR1为经济发展因子FACTOR2为教育成就因子FACTOR3为健康水平因子55现在学习的是第55页，共67页被每个因子解释的方差和共同度VarianceexplainedbyeachfactorFACTOR1FACTOR2FACTOR32.4397002.2763172.009490FinalCommunalityEstimates:Total=6.725507X1X2X3X4X50.9875300.9457960.8523060.9758300.992050X6X70.9949950.97699956现在学习的是第56页，共67页StandardizedS
25、coringCoefficients标准化得分系数FACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.18875-0.343970.85077X2-0.241090.60335-0.10234X30.354620.50232-0.59895X40.53990-0.17336-0.10355X5-0.17918-0.316040.81490X6-0.092300.62258-0.2487657现在学习的是第57页，共67页生育率的影响因素分析生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率进行多元回归分析
26、，最终结果往往只能保留两三个变量，其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下用新生成的因子对生育率进行分析。选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是1990年中国30个省、自治区、直辖市的数据。58现在学习的是第58页，共67页59现在学习的是第59页，共67页EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.0
27、67433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.02011.0000特征根与各因子的贡献特征根与各因子的贡献60现在学习的是第60页，共67页Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962没有旋转的因子结构没有旋转的因子结构61现在学习的是第61页，共67页Factor1可解释方差Factor2可解释方差2.99754292.1642615各旋转后的共同度各旋转后的共同度0
28、.884540230.911439980.859770610.877894530.9300636962现在学习的是第62页，共67页 在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。Factor1Factor2x1-0.35310-0.87170 x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.
29、03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋转后的因子结构方差最大旋转后的因子结构标准化得分函数标准化得分函数63现在学习的是第63页，共67页6因子分析的步骤、展望和建议 计算所选原始变量的相关系数矩阵（计算所选原始变量的相关系数矩阵（R R型因子分析型因子分析）相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。选择分析的变量选择分析的变量用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前提条件是观测变量
30、间有较强的相关性，因为如果变量之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强的相关性。一、因子分析通常包括以下五个步骤64现在学习的是第64页，共67页 提取公共因子提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因为方差小于1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到60才能符合要求；因子旋转因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个
31、潜在因子赋予有实际意义的名字。65现在学习的是第65页，共67页 计算因子得分计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析中的回归因子。66现在学习的是第66页，共67页因子分析是十分主观的，在许多出版的资料中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有产生如此明确的结果。不幸的是，评价因子分析质量的法则尚未很好量化，质量问题只好依赖一个“哇！”准则如果在仔细检查因子分析的时候，研究人员能够喊出“哇，我明白这些因子”的时候，就可看着是成功运用了因子分析方法。67现在学习的是第67页，共67页