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1、关于定积分求面积1现在学习的是第1页，共22页2l 用用定积分定积分解决实际问题，应先明确解决实际问题，应先明确 两个问题两个问题：第一，定积分能解决哪类问题？第一，定积分能解决哪类问题？(共性共性)第二，用定积分解决这类问题方法的关第二，用定积分解决这类问题方法的关键是什么？键是什么？现在学习的是第2页，共22页3一、微元法一、微元法第一个问题第一个问题：用定积分所解决问题的用定积分所解决问题的共性共性：2.这个在这个在a,b上分布的整体量等于其所有上分布的整体量等于其所有1.都是求在都是求在a,b非均匀分布的一个整体量，非均匀分布的一个整体量，如：面积、体积、曲线弧长；作功、引如：面积、体
2、积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；力、总成本、总利润等等；现在学习的是第3页，共22页4子区间局部量的总和子区间局部量的总和(可和可和)，具体地讲：，具体地讲：设设F(x)可微可微现在学习的是第4页，共22页5第二个问题第二个问题：用定积分解决问题的用定积分解决问题的关键关键 在找出整体量的微元在找出整体量的微元：微元法解决问题的步骤微元法解决问题的步骤1.写出实际问题整体改变量的微元表达式：写出实际问题整体改变量的微元表达式：2.用定积分求出整体改变量：用定积分求出整体改变量：现在学习的是第5页，共22页6二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用1.1.平面图形的面积（平面图形
3、的面积（Area）l用微元法求面积用微元法求面积 现在学习的是第6页，共22页7例例 1 求由求由所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)思考思考:求面积前需要做那些准备工作求面积前需要做那些准备工作?现在学习的是第7页，共22页8解解从图中可以明显看出所求面积分为两部从图中可以明显看出所求面积分为两部两块面积的微元分别为：两块面积的微元分别为：分分:现在学习的是第8页，共22页9现在学习的是第9页，共22页10l 用微元法求面积用微元法求面积 求面积前需要做的准备工作有求面积前需要做的准备工作有:现在学习的是第10页，共22页11(1)最好能作出草图最好能作出草图,弄清边界曲线的方程弄清边
4、界曲线的方程;(2)根据所选方法确定积分变量及总量微元根据所选方法确定积分变量及总量微元;(3)确定积分区间确定积分区间,为此常需要求出边界曲线为此常需要求出边界曲线 交点的坐标交点的坐标.(如图如图)现在学习的是第11页，共22页12例例 2 再再求由求由所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)现在学习的是第12页，共22页13 解解那那种种方方法法好好？现在学习的是第13页，共22页14例例3 求星形线所围面积，求星形线所围面积，它的参数方程为：它的参数方程为：直角坐标方程直角坐标方程现在学习的是第14页，共22页解解 由对称性只需求出由对称性只需求出(1/4)面积即可。面积即可。现在学
5、习的是第15页，共22页例例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线用微元法推导由极坐标给出的曲线C：l用微元法先推导用微元法先推导 极坐标系下求面积极坐标系下求面积 的表达式的表达式or所围的面积所围的面积,并求心脏并求心脏所围图形的面积所围图形的面积.现在学习的是第16页，共22页17解解 心脏线的对称心脏线的对称 性是明显的，因性是明显的，因 此此现在学习的是第17页，共22页18例例5 求双纽线：求双纽线：所围封闭所围封闭图形的面积。图形的面积。现在学习的是第18页，共22页19解解(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过 分析分析求出面积？求出面积？)分析分析使用公式：使用公式：解这个问题的解这个问题的难点难点在确定积分限。在确定积分限。注意到注意到 每两个零点曲线封闭一次每两个零点曲线封闭一次.变化过程中，变化过程中，现在学习的是第19页，共22页20由于周期性的变化由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重你会发现封闭图形将重复出现在第一、三象限复出现在第一、三象限,且图形关于原点对且图形关于原点对称，称，故有故有进而得进而得现在学习的是第20页，共22页21见图见图现在学习的是第21页，共22页01.04.2023感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第22页，共22页