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1、关于利用球坐标计算三重积分现在学习的是第1页，共19页回顾回顾 三重积分的概念三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为现在学习的是第2页，共19页定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作记作现在学习的是第3页，共19页1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二
2、”)方法方法2.截面法(“先二后一”)先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:现在学习的是第4页，共19页方法方法1.1.投影法(“先一后二”)找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。现在学习的是第5页，共19页方法方法2.2.截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作现在学习的是第6页，共19页2.2.利用柱坐标计算三重积分利
3、用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面现在学习的是第7页，共19页 如图所示,在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为 因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.体积微元现在学习的是第8页，共19页其中为由例例1.1.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.先二后一现在学习的是第9页，共19页例例2.2.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=现在学习的是第10
4、页，共19页例例3.3.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围立体.其中 与球面注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？现在学习的是第11页，共19页3.3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面现在学习的是第12页，共19页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.现在学习的是第13页，共19页例例5.5.计算三重积分解解:在球
5、面坐标系下所围立体.其中 与球面这种方法简单多了！现在学习的是第14页，共19页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;现在学习的是第15页，共19页（1）若空间闭区域关于平面 对称,即即被积函数关于z为偶函数时，即被积函数关于z 为奇函数时,则当当其中 是 位于 平面上侧的部分.积分区域关于其它坐标平面：对称，且被积函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论 一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 现在学习的是第16页，共19页（2）若空间区域具有轮换对称性，即则也就是三字母轮换积分区域不改变，现在学习的是第17页，共19页和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 现在学习的是第18页，共19页感感谢谢大大家家观观看看4/1/2023现在学习的是第19页，共19页