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1、 专题 22 平面向量的数量积及其应用 【考点预测】一平面向量的数量积a（1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与b，我们把数量|cosa b叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b=|cosa b，规定：零向量与任一向量的数量积为 0 （2）平面向量数量积的几何意义 向量的投影：|cosa叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是 0 a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a与b在a方向上射影|cosb的乘积 二数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数，则：a bb a；()()()ab=a bab；()abc=a cb
2、c 三数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则|cose aa ea0aba b 当a与b同向时，|a ba b；当a与b反向时，|a ba b 特别地，2|a aa或|aa a cos|a ba b(|0)a b|a ba b 四数量积的坐标运算 已知非零向量11()xy，a，22()xy，b，为向量a、b的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模|aa a 22|xya|数量积|cosa ba b 1212x xy ya b 夹角 cos|a ba b 121222221122cosx xy yxyxy ab的充要 条件 0a b 12120 x xy
3、y ab的充要 0（）ab b 12210 x yx y 条件|a b与|a b 的关系|a ba b(当且仅当ab时等号成立)1212|x xy y22221122xyxy 五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a bab.（2）当0a 时，由0a b不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有0a b.当0a 时，且a ba c时，也不能推出一定有bc，当b是与a垂直的非零向量，c是另一与a垂直的非零向量时，有0a ba c，但bc.（3）数量积不满足结合律，即a b cb c a()()，这是因为a b c()是一个与c共线的向量，而
4、b c a()是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以a b c()不一定等于b c a()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b且(0)ab（或0a b，且(0)ab【方法技巧与总结】(1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于 0(2)数量积的运算要注意0a=时，0a b，但0a b时不能得到0a=或0b=，因为ab时，也有0a b (3)根据平面向量数量积的性质：|aa a，cos|a ba b，0aba b等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题(4)若a、b、c是实数，则a
5、bacbc(0a)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足a ba c（0a），则不一定有=bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(5)数量积运算不适合结合律，即()()a bcab c，这是由于()a bc表示一个与c共线的向量，()ab c表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此()a bc与()ab c不一定相等 【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长 题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算 例 1
6、（2022全国模拟预测（理）在ABC中，3ABC，O为ABC的外心，2BA BO，4BC BO，则BA BC（）A2 B2 2 C4 D4 2 例 2（2022河南安阳模拟预测（理）已知AH是RtABC斜边BC上的高，2 2AH，点 M在线段AH上，满足()8 2MBMCAH，则MB MC（）A4 B2 C2 D4 例 3（2022全国高三专题练习（理）已知向量,a b满足|1,|3,|2|3abab，则a b（）A2 B1 C1 D2 例 4（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）如图，正六边形 ABCDEF中，2AB，点 P是正六边形ABCDEF的中心，则AP AB_ 例 5（2022安
7、徽合肥市第八中学模拟预测（理）已知向量,a b c满足0,|1,|3,|4abcabc，则a b _ 例 6（2022陕西模拟预测（理）已知向量1,ax，0,1b，若25ab，则a b_ 例 7（2022上海徐汇二模）在ABC中，已知1AB，2AC，120A，若点P是ABC所在平面上一点，且满足APABAC，1BP CP，则实数的值为_ 例 8（2022陕西交大附中模拟预测（理）已知在平行四边形ABCD中，11,2,622DEEC BFFC AEAF，则AC DB值为_ 例 9（2022福建省福州第一中学三模）过点(2,3)M的直线与22:(3)16Cxy交于 A，B 两点，当 M为线段AB中
8、点时，CA CB_.例 10（2022全国模拟预测（理）已知向量a与b不共线，且2aab，1a，若 22abab，则bab_.例 11（2022全国高三专题练习（理）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b，则2abb_ 例 12（2022江苏徐州市第七中学模拟预测）如图是第 24 届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形 ABCD是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形 EFGH组成的 若大正方形的边长为5，E为线段 BF 的中点，则AF BC_ 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路（
9、2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b方向上的投影为|a bb（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2abaabb；222abaabb；()a bcabac公式都可通用 异：整式：a ba b，a仅仅表示数；向量：cosa ba b（为a与b的夹角）22222cosmanbm amn a bn b，使用范围广泛，通常是求模或者夹角 manbmanbmanb，通常是求manb最值的时
10、候用 题型二：平面向量的夹角 例 13（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（文）已知非零向量a，b满足aba，aab，则a与b夹角为_ 例 14（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（文）已知向量|1b，向量(1,3)a，且|2|6ab，则向量,a b的夹角为_.例 15（2022湖北武汉模拟预测）两不共线的向量a，b，满足3ab，且tR，atbab，则cos,a b（）A12 B32 C13 D33 例 16（2022云南师大附中模拟预测（理）已知向量2,2at，2,5bt ，若向量a与向量ab的夹角为钝角，则t的取值范围为（）A3,1 B 3,11,1 C1,3 D111,322 例 17（
11、2022广东深圳高三阶段练习）已知向量cos30,sin210a ，(3,1)b ，则a与b夹角的余弦值为_ 例 18（2022全国高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,a cb c，则t（）A6 B5 C5 D6 例 19（2022湖南长沙市明德中学二模）已知非零向量a、b满足0a b，0abab，则向量b与向量ab夹角的余弦值为（）A22 B0 C22 D32 例 20（2022辽宁大连市一 0 三中学模拟预测）已知单位向量a，b满足3abab，则a与b的夹 角为（）A30 B60 C120 D150 例21（2022北京市大兴区兴华中学三模）已知a为单位向量，向
12、量1,2b，且2a b，则,a ba（）A6 B4 C3 D34 例 22（2022全国模拟预测（理）已知平面向量ab与ab互相垂直，模长之比为 2：1，若|5a，则a与ab的夹角的余弦值为（）A2 55 B3 55 C55 D12 例 23（多选题）（2022福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b的夹角为120,则以下说法正确的是（）A|1ab B(2)aba C3cos,2ab b D2ab与2ab可以作为平面内的一组基底 例 24（多选题）（2022江苏模拟预测）已知向量(3,2)a ，(2,1)b，(,1)c，R，则（）A若(2)abc，则4 B若atbc，则6t Cab的最
13、小值为7 55 D若向量ab与向量2bc的夹角为锐角，则的取值范围是(,1)例 25（2022河南通许县第一高级中学模拟预测（文）已知1e，2e是单位向量，122aee，123bee，若ab，则1e，2e的夹角的余弦值为（）A35 B12 C13 D15 例 26（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量,a b满足2ababa，则ab与a的夹角为（）A6 B3 C23 D56 例 27（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（文）已知向量a，b为单位向量，0abab，则a与b的夹角为（）A6 B3 C2 D23 【方法技巧与总结】求夹角，用数量积，由|cosa bab得1212222
14、21122cos|x xy ya babxyxy，进而求得向量,a b的夹角.题型三：平面向量的模长 例 28（2022福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a、b、c满足0abc，0abac，9bc，则a _ 例 29（2022辽宁沈阳三模）已知平面向量,a b c满足1,1,0,1acabca b，则b _ 例 30（2022全国高三专题练习（文）已知向量(2,1)(2,4)ab，则ab（）A2 B3 C4 D5 例 31（2022江苏扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b为单位向量，且ab，向量c满足|2bca，则|c|的可能取值有（）A6 B5 C4 D3 例 32（2022江苏南京市
15、天印高级中学模拟预测）已知平面向量a，b满足2a，1b，且a与b的夹角为3，则ab（）A3 B5 C7 D3 例 33（2022河南开封市东信学校模拟预测（理）已知非零向量a，b的夹角为6，|3,aaab，则|b _.例 34（2022全国高三专题练习）已知三个非零平面向量a，b，c两两夹角相等，且|1a，|2b，|3c，求|23|abc 例 35（2022全国高三专题练习）已知2a，3b，a与b的夹角为120，求ab及ab的值 例 36（2022福建泉州模拟预测）已知向量(0,1)a,(,3)bt，若,a b的夹角为3，则|b=_.【方法技巧与总结】求模长，用平方，2|aa.题型四：平面向量
16、的投影、投影向量 例 37（2022新疆克拉玛依三模（理）设a，b是两个非零向量，ABa，CDb，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为1A，1B，得到11AB，则11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.如下图，已知扇形AOB的半径为 1，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，1,0OA，13,22OB，则弧AB的中点C的坐标为_；向量CO在OB上的投影向量为_.例 38（2022江西鹰潭二模（文）已知向量,(3,1),|2,(2)3a b ababb，则b在a方向上的投影为_ 例 39（2022江西南昌市八一中学三模（理）已知向量1,2a，3,bt，且a在b上的投影等于1，
17、则t _.例 40（2022江苏淮安模拟预测）已知|2a，b在a上的投影为 1，则ab在a上的投影为（）A-1 B2 C3 D2 例 41（2022四川成都三模（理）在ABC中，已知712A，6C，2 2AC，则向量BA在BC方向上的投影为（）A2 2 B2 C2 D2 例 42（2022广西桂林二模（文）已知向量(1,2),(0,1)ab，则a在b方向上的投影为（）A1 B2 C1 D2 例 43（2022内蒙古呼和浩特二模（理）非零向量a，b，c满足()bac，a与b的夹角为6，3a，则c在b上的正射影的数量为（）A12 B3 32 C12 D3 32 例 44（2022辽宁渤海大学附属高
18、级中学模拟预测）已知单位向量,a b满足|1ab，则a在b方向上的投影向量为（）A12b B12b C12a D12a 例 45（2022海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a，b的夹角为3，且|2a，(1,3)b ，则a在b方向上的投影向量为（）A3 1,22 B3,221 C13,22 D13,22 题型五：平面向量的垂直问题 例 46（2022海南海口二模）已知向量a，b的夹角为 45，2a，且2a b，若abb，则_ 例 47（2022广东茂名二模）已知向量a（t，2t），b（t，1），若（ab）（a+b），则 t_ 例 48（2022青海玉树高三阶段练习（理）已知向量1,1a ，1,b
19、m，若3aba，则m _ 例 49（2022河南开封模拟预测（理）已知两个单位向量1e与2e的夹角为3，若122aee，12beme，且ab，则实数m（）A45 B45 C54 D54 例 50（2022河南安阳模拟预测（文）已知向量(2 2,4),1,cos2 ab，其中(0,)，若ab，则sin_ 例 51（2022全国模拟预测（文）设向量2,1a，1,bx，若aba，则b _.【方法技巧与总结】121200aba bx xy y 题型六：建立坐标系解决向量问题 例 52（2022山东淄博三模）如图在ABC中，90ABC，F为AB中点，3CE，8CB，12AB，则EA EB（）A15 B1
20、3 C13 D15 例 53（2022贵州贵阳模拟预测（理）在边长为 2 的正方形ABCD中，E是BC的中点，则AC DE（）A2 B2 C4 D4 例 54（2022江苏模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，(4,1)AB，(2,3)DC，(2,)ACm，若0EAFC，则实数m的值是（）A3 B2 C2 D3 例 55（2022四川南充三模（理）在RtABC中，90A，2AB，3AC，2AMMC，12ANAB，CN 与 BM交于点 P，则cosBPN的值为（）A55 B2 55 C55 D2 55 例 56（多选题）（2022山东聊城三模）在平面四边形ABCD
21、中，1ABBCCDDA DC，12BA BC，则（）A1AC BCACDCACD C2ADBC D232BD CD 例 57（多选题）（2022湖南长郡中学模拟预测）已知向量abc，满足2222ababcc，则可能成立的结果为（）A34b B54b C34b c D54b c 例 58（多选题）（2022湖南长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中2
22、OA，则（）A20OBOEOG B2 2OA OD C4AHEH D42 2AHGH 例 59（2022江苏南京模拟预测）在ABC中，0AB AC，3AB，4AC，O为ABC的重心，D在边BC上，且ADBC，则AD AO_ 例 60（2022北京北大附中三模）已知正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点，点P满足2APAEAD，则PD _；PE PD_.例 61（2022天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD中，2AB，60BAD，E，F分别为BC，CD上的点，2CEEB，2CFFD，若线段EF上存在一点M，使得5162AMABAD，则|AM _，若点 N为线段BD上一个动点
23、，则AN MN的取值范围为_.【方法技巧与总结】边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 建系必备（1）三角函数知识cos,sinxryr；（2）向量三点共线知识(1)OCOBOA【过关测试】一、单选题 1（2022山东潍坊模拟预测）定义：sinaba b，其中为向量a与b的夹角若2a，5b，6a b，则ab等于（）A6 B6 C8 D8 2（2022全国哈师大附中模拟预测（文）已知ABC中，1ABAC，120oBAC，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得2DEEF，则AF BC的值为（）A12 B38
24、C12 D38 CBxy(a2,32a)(a,0)ACBxy(bcos，bsin)(a,0)AxyDB(0,a)C(a,a)(a,0)AxyD(0,b)C(a,a)B(a,0)AxyD(bcos，bsin)C(a+bcos，bsin)B(a,0)AxyD(0，asin)C(a-acos，asin)B(a,0)AxyB(a,0)D(bcos,bsin)C(a-bcos,bsin)AxyA(rcos,rsin)O 3（2022江苏扬州中学模拟预测）已知向量2,4a，1,bn，若/a b，则b（）A5 B2 C8 D4 5 4（2022北京潞河中学三模）已知菱形ABCD的边长为,60aABC，则DB
25、 CD（）A232a B234a C234a D232a 5（2022内蒙古赤峰模拟预测（理）若向量a，b满足1a，2b，235aab，则a与b的夹角为（）A6 B3 C23 D56 6（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若2,3a，(2sin,2cos)66b，下列正确的是（）A/()bab B()bab Ca在b方向上的投影是12 D()abab（）7（2022江苏苏州模拟预测）在ABC中，3A，点 D 在线段AB上，点 E 在线段AC上，且满足22,2ADDBAEEC，CD交BE于 F，设ABa，ACb，则AF BC（）A65 B175 C295 D325 8（2022全国二模
26、（理）已知向量(,)ax y，(1,2)b，(1,1)c ，若满足ab，()bac，则向量a的坐标为（）A6 3,5 5 B3 6,5 5 C2 1,5 5 D1 2,5 5 9（2022山东济南三模）已知单位向量a、b、c，满足abc，则向量a和b的夹角为()A23 B2 C3 D6 10（2022河北邯郸二模）若向量a，b满足|2a，2 3b，且3a b，则向量b与ba夹角的余弦值为（）.A32 B2 59 C7 216 D3 3020 11（2022全国模拟预测）已知平面向量1,3axx，2,1bx，若4a b，则a与b的夹角为（）A6 B4 C3 D2 12（2022河南安阳模拟预测（
27、理）如图，在等腰直角ABC中，斜边2AC，M 为 AB 的中点，D为 AC 的中点将线段 AC绕着点 D 旋转得到线段 EF，则ME MF（）A2 B32 C1 D12 13（2022河南安阳模拟预测（文）在ABC中，点 D在边AC上，且3,|ADDC BABC，若(3)BDBCBA，则（）A43 B3 C2 D1 14（2022湖南长沙县第一中学模拟预测）已知ABC 中，60A，AB=4，AC=6，且2CMMB，ANNB，则AC NM（）A12 B14 C16 D18 二、多选题 15（2022辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量2,1ab，且ab，c满足,2,a cb c，若bcac则c可能
28、的取值为（）A4 B8 C12 D16 16（2022湖南长沙一中模拟预测）已知(cos,sin)a,(cos,sin)b,其中,0,2)，则以下结论正确的是（）A若/ab，则 B若ab，则|2或32 C若12a b，则|1ab D若aba，则3()2aab 17（2022全国高三专题练习）已知,a b c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A0aba b B,abR ba C若a cb c，则ab D()()a bcab c 18（2022全国模拟预测）已知向量2,3am，,1bm，则下列说法正确的是（）A若ab，则12m B若ab，则3m C2ab的最小值为 7 D若13m，则a与b的夹
29、角为钝角 19（2022辽宁东北育才学校二模）对于非零向量m，n，定义运算“”，|sin,mnm nm n.已知两两不共线的三个向量a，b，c，则下列结论正确的是（）A若ab，则aba b B()()ab ca bc C()abab D()()()abcacbc 20（2022山东日照模拟预测）已知对任意平面向量,ABx y，把AB绕其起点 A沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosAPxyxy，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转角得到点 P已知平面内点1,2A，点12,22 2B，把点 B 绕点 A沿顺时针方向旋转4后得到点1P，逆时针旋转4，3后分别得到点2P，3P则（）
30、A120AP AP B12BPBP C321AB APAP AP D点1P的坐标为0,1 21（2022河北高三阶段练习）若平面向量(2cos,2sin),(2cos,2sin),(1,3)abc，则下列说法中正确的是（）A若ab，则,Zkk B若ac，则,Z3kk C若0abc，则2 k或2,Z3kk D若|2 2ab，则,Z2kk 22（2022海南文昌中学高三阶段练习）如图，平行四边形 ABCD中，AB=4，AD=2 且60BAD，M为边 CD的中点，则（）AADMCMA BDMCBAM CAM BC6 DAD在AB上投影向量的模为 2 三、填空题 23（2022全国模拟预测）已知向量2
31、,5a，1,4b，若abb，则_ 24（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）已知向量1,1,1,2,2,abmmcm若,ab则b c_.25（2022河北沧县中学模拟预测）已知向量,a b的夹角为23，4a，3b，则ab_ 26（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（文）设,a b为非零向量，且22abab，则a，b的夹角为_.27（2022辽宁抚顺市第二中学三模）已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则OA AB_ 28（2022河南模拟预测（文）若向量,a b满足1,6,8,5aba b ，则a与b的夹角为_ 29（2022海南省直辖县级单位三模）已知平面向量a，b满足()2abb，且|2a，|1b，则|ab_.30（2022河北高三期中）如图，在等腰直角ABC中，斜边2AC，M 为 AB 的中点，D 为 AC 的中点，将线段 AC绕着点 D旋转得到线段 EF，则ME MF _