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1、 专题 04 基本不等式及其应用 【考点预测】1.基本不等式 如果00ba，那么2baab，当且仅当ba 时，等号成立 其中，2ba叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数 基本不等式 1：若a b，R，则abba222，当且仅当ba 时取等号；基本不等式 2：若a b，R，则abba2（或abba2），当且仅当ba 时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式
2、（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,a bR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例：10,2;2abaaaba（,a b同号）.（3）其他变形：2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)重要不等式串：222,1122abababa bRab即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理 已知,x yR.（1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有
3、最大值”.（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2nmmnxnmx，当且仅当mnx 时等号成立；模型二：)0,0(2)(nmmamnmaaxnaxmaxnmx，当且仅当mnax时等号成立；模型三：)0,0(2112cabacxcbaxcbxaxx，当且仅当acx 时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnxnmmnmxnmxmmmxnmxmxnx（，当且仅当mnx2时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消
4、参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值 题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用 例 1（2022宁夏银川一中二模（理）下列不等式恒成立的是（）A12xx B2abab C22222abab D222abab 例 2（2022黑龙江哈九中三模（理）已知 x，y都是正数，且xy，则下列选项不恒成立的是（）A2xyxy B2xyyx C2xyxyxy D12xyxy 例 3（2022江苏高三专题练习）几何原本卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
5、据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明 现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A(0,0)2abab ab B222(0,0)abab ab C2(0,0)abab abab D22(0,0)22ababab 例 4（2022黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（文）下列不等式中一定成立的是（）A2111xxR B12,sinsinxxkxkZ C21lnln(0)4xx x D212xx x R（多选题）例 5（2022全国高三专题练习）下列函数中最小值为 6 的是（）A9lnlny
6、xx B36 sin2 sinyxx C233xxy D222516xyx（多选题）例 6（2022江苏扬州中学高三开学考试）设0a，0b，下列结论中正确的是（）A1229abab B2221abab C22baabab D22ababab【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值 例 7（2022全国模拟预测（文）若实数 a，b满足1ab，则 ab 的最大值为（）A2 B1 C12 D14 例 8（2022甘肃酒泉模拟预测（理）若 x，y为实数，且26xy，则39xy的最小值为（）A18 B27 C54
7、D90 例 9（2022河南河南三模（理）已知二次函数 22f xaxxc（xR）的值域为0,，则14ca的最小值为（）A4 B4 C8 D8 例 10（2022湖北十堰三模）函数 1111642xxxf x的最小值为（）A4 B2 2 C3 D4 2（多选题）例 11（2022广东汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a，b是两个正数，4 是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（）Aab的最小值是 1 Bab的最大值是 1 C11ab的最小值是94 D11ab的最大值是92 例 12（2022四川广安二中二模（文）若,Ra b，且11ba，则2ba的最大值是_.例 13（2022全国高
8、三专题练习）已知正数x、y满足124xy，则yx的最小值是_.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值 例 14（2022全国高三专题练习（理）若11x ，则22222xxyx有（）A最大值1 B最小值1 C最大值1 D最小值1 例 15（2022全国高三专题练习）函数131yxx(1)x 的最小值是（）A4 B2 33 C2 3 D2 33 例 16（2022全国高三专题练习）若0 x，0y 且xyxy，则211xyxy的最小值为（）A3 B562 C36 D32 2 例 17（2022上海高三专题练习）若1x，则函数211xxyx的最小值为_.例 1
9、8（2021江苏常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy，且102y，则22416xyxy最大值为_ 例 19（2022全国高三专题练习）（1）求函数411yxxx的最小值及此时x的值；（2）已知函数25102xxyx，2,x，求此函数的最小值及此时x的值.【方法技巧与总结】1通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式 2注意验证取得条件 题型四：消参法求最值 例 20（2022浙江绍兴模拟预测）若直线30(0,0)axbyab过点(1,1)，则12 ab的最大值为_.例 21（2022全国高三专题练习）设正实数x，y，z满足22340 xxyyz，则当xyz取得最大值时，21
10、2xyz的最大值为（）A0 B3 C94 D1 例 22（2022全国高三专题练习（理）已知正实数 a，b满足220aba，则4ab的最小值是（）A2 B4 22 C4 32 D6 例 23（2022浙江高三专题练习）若正实数a，b满足32baab，则2abab的最大值为_ 例 24（2022全国高三专题练习）若,x yR，23()()xyxy，则11xy的最小值为_.例 25（2022浙江绍兴模拟预测）若220,0,422ababab，则12abab的取值范围是_【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二
11、定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值 例 26（2022浙江省江山中学高三期中）设0a，0b，若2231abab，则23aab的最大值为（）A33 B2 3 C13 D23 例 27（2022天津南开一模）若0a，0b，0c，2abc，则4ababc的最小值为_ 例 28（2022天津市蓟州区第一中学一模）已知 xy1，y0，x0，则121xxy的最小值为_ 例 29（2022全国高三专题练习）已知0a，0b，21ab，则11343abab取到最小值为 _ 例 30（2022全国高三专题练习）若,x yR，且21xy，则22212xyxy的最小值为_ 例 31（2022全国高三
12、专题练习）若正实数x，y满足22xy，则224122xyyx的最小值是_ 【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 1代换变量，统一变量再处理 2注意验证取得条件 题型六：“1”的代换求最值 例 32（2022辽宁模拟预测）已知正实数 x，y 满足211xy，则436xyxy的最小值为（）A2 B4 C8 D12 例 33（2022河南鹤壁高中模拟预测（文）设正项等差数列 na的前n项和为nS，若20132013S，则2201211aa的最小值为（）A1 B2 C4 D8 例 34（20
13、22安徽南陵中学模拟预测（理）若实数a，b满足123,12abab，则2211abab的最小值为（）A6 B4 C3 D2 例 35（2022安徽南陵中学模拟预测（文）已知20,0,61abab，则162ba的最小值为（）A13 B19 C21 D27 例 36（2022四川石室中学三模（文）已知0a，0b 且1ab，则1811ab的最小值是()A49 B50 C51 D52 例 37（2022河南宝丰县第一高级中学模拟预测（文）已知正数 a，b满足0abab，则4ab的最小值为_.例 38（2022天津南开中学模拟预测）设0 x，0y，1xy，则212xxy的最小值为_ 例 39（2022新
14、疆阿勒泰三模（理）函数11xya图象过定点A，点A在直线31,0mxnymn上，则121mn最小值为_.【方法技巧与总结】1 的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形 1根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法 2注意验证取得条件 题型七：齐次化求最值 例 40（2022全国高三专题练习）已知0,0ab，满足222232390,a bab则32baab的最小值是（）A26 B4 3 C4 6 D6 3 例 41（2022浙江嘉兴二模）已知函数2()()f xaxbxc ab的定义域为 R，则24baabc的最大值是_.例 42（
15、2022全国高三专题练习（理）若 a，b，c均为正实数，则2222abbcabc的最大值为（）A12 B14 C22 D32 例 43（2022全国高三专题练习）已知三次函数32()()f xaxbxcxd ab在R上单调递增，则abcba最小值为（）A2 652 B653 C752 D2 753 例 44（2022天津高三专题练习）已知0a，0b，且21ab，则12bbab的最小值为_.例 45（2022浙江高三专题练习）已知 x，y，z 为正实数，且240 xyz，则2xyz的最大值为_ 例 46（2022全国高三专题练习）若0,0 xy且224log 3log 9log 81xy，则43
16、3xyxy的最小值为_.【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解 题型八：利用基本不等式证明不等式 例 47（2022安徽马鞍山二中模拟预测（理）已知0a，0b (1)若21ab，证明：2233348ab；(2)若2abab，证明：4104 6abab 例 48（2022陕西渭南二模（文）设函数 124f xxx(1)求不等式 23f xx的解集(2)若 f x的最大值为222abc，证明：3abbcca 例 49（2022全国高三专题练习）已知正数a，b，c满足3abc (1)求abc的最大值；(2)证明：3333a b
17、b cc aabc 例 50（2022安徽省芜湖市教育局高三期末（理）设 a，b，c 为正实数，且1abc .证明：(1)11192abbcca；(2)33332abbccaabcabc.例 51（2022河南洛阳一模（文）已知 a，b，c都是正数.(1)证明：abcabbcac；(2)若3abc，证明：11132abbcca.【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.题型九：利用基本不等式解决实际问题 例 51（2021全国高三专题练习（理）设计用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大
18、容积是（）A（38373)m3 B16 m3 C42 m3 D14 m3 例 53（2021全国高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知4AB，3AD，那么当BM _时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为_.例 54（2022全国高二课时练习）根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型如图所示的空心模型是体积为317 176cm的球挖去一个三棱锥PABC后得到的几何体，其中PAAB，BC 平面 PAB，1BCcm不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC 的长 例 55（2
19、022全国高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t0)万元满足421kxt(k 为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件已知 2019 年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数；(2)该厂家 2019 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【方法技巧
20、与总结】1理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题 2注意定义域，验证取得条件 3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等 【过关测试】一、单选题 1（2022甘肃省武威第一中学模拟预测（文）已知点 E 是ABC的中线BD上的一点（不包括端点）若AExAByAC，则21xy的最小值为（）A4 B6 C8 D9 2（2022河南安阳模拟预测（文）已知,a b为正实数，且196abab，则ab的最小值为（）A6 B8 C9 D12 3（2022安徽马鞍山三模（理）若0a，0b，lglglg3abab，则ab的最小值为（）A4 3 B42 3 C6 D33 3 4（20
21、22重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知1e，2e为平面的单位向量，且其夹角为23，若1222,xeyex yR，则2xy的最大值为（）A2 3 B2 2 C3 D2 3 5（2022天津红桥一模）设0a，1b，若2ab，则411ab的最小值为（）A6 B9 C3 2 D18 6（2022山西运城模拟预测（理）已知等比数列 na的公比为 q，且51a，则下列选项不正确的是（）A372aa B462aa C76210aa D191911aaaa 7（2022河南鹤壁高中模拟预测（文）已知 a，Rb，满足ee1ab，则下列错误的是（）A2ln 2ab Be0ab C1ab D222 ee1ab 8（20
22、22河北保定二模）已知 a，0,b，且22347aabb，则2ab的最大值为（）A2 B3 C2 2 D3 2 二、多选题 9（2022河北张家口三模）已知,x yR，xym（m 是常数），则下列结论正确的是（）A若141xy的最小值为1m，则3m B若(1)x y 的最大值为 4，则3m C若xy的最大值为 m，则2m D若4m，则29yx的最小值为 2 10（2022河北模拟预测）已知220,0,2abab，则以下不等式成立的是（）A2ab B332ab C114abba D112ab 11（2022山东菏泽二模）设 a，b 为两个正数，定义 a，b的算术平均数为2abA a b,，几何平
23、均数为G a bab,上个世纪五十年代，美国数学家 D H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即11,pppppabLa bab，其中 p 为有理数下列结论正确的是（）A0.51,La bL a b B0,La bG a b C2,La bA a b D1,nnLa bLa b 12（2022湖北荆门市龙泉中学二模）已知函数2()log xf x，且正实数a，b满足()()1f af b，则下 列结论可能成立的是（）A2ab B1122ab的最大值为32 C2ab D2211ab的最小值为2 2 三、填空题 13（2022黑龙江齐齐哈尔三模（理）已知正实数 x，y 满足1 2e(2)
24、eyxxy，则22yxyxy的最小值为_ 14（2022吉林模拟预测（理）已知2x，则42xx的最小值是_ 15（2022重庆三模）已知0a，0b，且2233a babab，则3ab的最小值为_.16（2022浙江模拟预测）已知正实数 x，y满足：222xxxyy，则232xyy的最小值为_ 四、解答题 17（2022江西二模（理）已知函数 263f xxx(1)解不等式 10f x 的解集；(2)设 3g xf xx到的最小值为t，若正数m，n满足2mnt，求11211mn的最小值 18（2022江西南昌三模（理）已知函数 24f xxx，已知不等式 0f xkx k恒成立.(1)求k的最大
25、值0k；(2)设0a，0b，求证：01223abababk.19（2022江西九江三模（文）设函数()|()f xxaaR(1)若关于 x的不等式()(2)4f xfx恒成立，求 a的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy中，()()1f xf y所围成的区域面积为 S，若正数 b，c，d满足()()bd cdS，求23bcd的最小值 20（2022陕西模拟预测（理）设函数 142af xxxxa0a (1)当1a 时，求不等式 52f x 的解集；(2)已知不等式 1fxxa的解集为1x x，0m，0n，m na，求28mn的最小值.21（2022河南模拟预测（文）设 a，b 为正数，且1ab证明：(1)22a bb a：(2)222abbaa 22（2022云南昆明模拟预测（理）设 a，b，c均为正数，且1abc (1)求14abc的最小值；(2)证明：1116abc