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1、-.z.平行四边形 一、知识点复习 1、平行四边形的判定 平行四边形的判定方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。对角线相互平分的四边形是平行四边形。2、平行线等分线段和三角形中位线定理（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等。（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3、
2、三角形的重心（1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。二、典型例题讲解-.z.模块 1：平行四边形的判定 题型 1：平行四边形的判定 例题 1：如图所示，在平行四边形ABCD中，CFAE,分别是DAB，BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。例题 2：如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形ADE。（1）求CAE的度数。（2）取AB的中点F，连接CF、EF。试证明四边形CDEF是平行四边形。例题 3：如图，在平行四边形ABCD中，BD
3、为对角线，FE,是BD上的点，且DFBE.求证：四边形AECF是平行四边形。变式练习：1.如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点，连接DEGDFGEF,，求证：四边形DEFG是平行四边形。2.如图，已知DEAB/，DEAB，DCAF，求证：四边形BCEF是平行四边形。3.如图，四边形ABCD中，BCAD/，作DCAE/交BC于E。ABE的周长是cm25，四边形ABCD的周长是cm37，则ADcm。题型 2：添加条件证明平行四边形 例题 4：如图，在四边形ABCD中，ACBDAC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件不能是（）A、BCAD B、OCO
4、A C、CDAB D、180BCDABC 例题 5：A、B、C、D在同一平面内，从CDAB/；CDAB；ADBC/；ADBC 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种。变式练习-.z.1.(如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A、DOOBOCOA,B、CDABBCDBAD/,C、BCADBCAD,/D、COAOCDAB,2.已知在四边形ABCD中，CDAB/，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、BCAD B、BDAC C、CA D、BA 3.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线B
5、D上两点，连接AE,AF,CE,CF,添加条件，可以判定四边形AECF是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）4.四边形ABCD中，BCAD/，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是（横线上只需填一个你认为合适的条件即可）题型 3：平行四边形的判定与性质的综合应用 例题 6：已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。（1）求证：COFB；（2）求证：四边形AOBF是平行四边形。例题 7：如图所示，O为等边ABC内任意一点，BCOD/，ACOE/，ABOF/，并且D、E、F分别在AB、BC、AC上，求证
6、：BCOFOEOD 例题 8:如图所示，BD是ABC的角平分线，点E,F分别在边BC,AB上，且ACEFABDE/,/.（1）求证：AFBE；（2）若6,60BDABC,求四边形ADEF的面积。变式练习 1.如图，P是等边三角形ABC外一点，且ABPD/,BCPE/，ACPF/，若ABC的周长是 36，则PEPFPD=。-.z.2.如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O,BDAE，BDCF，垂足分别为FE,，求证：四边形AECF为平行四边形。3.如图所示，在平行四边形ABCD中，60C,NM,分别是BCAD,的中点，CDBC2.（1）求证四边形MNCD是平行四边形；（2）求证MNBD3
7、.题型 4：平行四边形中的动点问题 例题 18：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，BC=6cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点的位置同时出发，点 P 以 1cm/s 的速度由点 A 向点 D 运动，点 Q 以 2cm/s 的速度由点 C 出发向点 B 运动试探究：几秒后四边形 ABQP 是平行四边形？例题 19：如图，在四边形ABCD中，BCAD/,6AD，16BC，E是BC的中点。点P以每秒 1 个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒 3 个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动。点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当运动时间t为多少秒时，以Q
8、P,DE,为顶点的四边形是平行四边形。变式练习 1.如图：在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q 分别从 A、C 同时出发，P 以 1cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，_秒时直线 QP 将四边形截出一个平行四边形 2.如图，在四边形ABCD中，BCAD/，90B,cmAB8，cmAD24，cmBC26，点P从点A出发，以Scm/1的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以scm/3的速度向点B运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也-.z.随之停止运动，从运动开始，使CDPQ/和CDPQ,分别
9、需经过多少时间？为什么？模块 2：三角形的中位线 题型 1:直接利用三角形的中位线性质 例题 1：如图，在ABC中，5AB,6BC,7AC,点D,E,F分别是ABC三边的中点，则DEF的周长为（）A、9 B、10 C、11 D、12 例题 2：如图，ABC周长为 1，连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第 2018 个三角形的周长为（）A、20162 B、20172 C、20182 D、20192 变式练习 1.已知三角形的 3 条中位线分别为cm3、cm4、cm6，则这个三角形的周长是（）A、cm3 B、cm26 C、cm24 D、cm6
10、5 2.如图所示，EF是ABC的中位线，BD平分ABC,交EF于D,若2DE，则EB。题型 2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题 例题 3：如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若CEF的面积为212cm，则DGFS的值为（）A、24cm B、26cm C、28cm D、29cm 例题 4：如图，ABC的面积是 12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（）A、5.4 B、5 C、5.5 D、6 变式练习 1.如图，在ABC中，ACAB，NM,分别是ACAB,的中点，ED,为BC上的点，-.z.连接DN,EM。若cmAB13，
11、cmBC10，cmDE5，则图中阴影部分面积为（）2cm。A、25 B、35 C、30 D、42 第 1 题第 2 题 2.如图，在ABC中，90BAC,6,4ACAB,点ED,分别是BC,AD的中点，BCAF/交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为。题型 3：与三角形中位线有关的动点问题 例题 4：如图，四边形ABCD中，90A,8AB,6AD,点NM,分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点FE,分别为MNDM,的中点，则EF长度的最大值为（）A、8 B、6 C、4 D、5 变式练习 1.如图，已知四边形ABCD中，PR,分别是BC，CD边上的点，FE,分别是R
12、PAP,的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A、EFP的周长不变 B、线段EF的长与点P的位置无关 C、点P到EF的距离不变 D、APR的大小不变 2.如图，已知四边形ABCD中，90C,点P是CD边上的动点，连接AP，FE,分别是AB,AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A、线段EF的长先减小后增大 B、线段EF的长不变 C、线段EF的长逐渐增大 D、线段EF的长逐渐减小 题型 4：三角形中位线性质的综合应用 例题 5：如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，AECE，点F在边AB上，BCEF/.
13、（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；-.z.（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。变式练习 1.如图所示，已知AO是ABC中BAC的平分线，AOBD的延长线于点ED,是BC的中点。求证：)(21ACABDE.课后作业 一、选择题。1.下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线相互平分的四边形是平行四边形 2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A、BCADCDAB,/B、DCBA,C、ACCDAB,/D、
14、CDCBADAB,3.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A、，B、，C、，D、，第 3 题第 4 题第 5 题 4.如图，ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若6BC，则DF的长是（）A、3 B、2 C、25 D、4 5.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC,ANBN 于点N,且10AB,3,15MNBC,则AC的长是（）A、12 B、14 C、16 D、18-.z.6.如 图，在ABC中D，E分 别 是ACAB,的 中 点，点,FG在BC上，且CGBFBC
15、44,EF与DG相交于点O，若40DFE，80DGE，则DOE的度数是（）A、100 B、120 C、140 D、160 第 6 题第 7 题第 8 题 7.如图，在四边形ABCD中，CDAB/,5 BCAD，7DC，13AB，点P从点A出发以 3 个单位/s 的速度沿DCAD向终点C运动，同时点Q从点B出发，以 1 个单位/s 的速度沿BA向终点A运动。当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A、s4 B、s3 C、s2 D、s1 8.如图，平行四边形ABCD中，cmAB6，cmAD10，点P在AD边上以每秒cm1的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒cm4的速度从点C出发，在
16、CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以BQDP,四点组成平行四边形的次数有（）A、1 次 B、2 次 C、3 次 D、4 次 二、填空题。9.如图，在ABC中，ED,分别是边ACAB,的中点，50B，先将ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为1A，则1BDA的度数为。10.如图，用 9 个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出平行四边形。11.如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，BCAD,90BAC,将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形个。-.z.1
17、2.已知直角坐标系内有四个点)0,0(O,)0,3(A,)1,1(B,)1,(xC，若以,CBAO为顶点的四边形是平行四边形，则x=。13.如图，在等边三角形 ABCD 中，cmBC6，射线BCAG/，点E从点A出发沿射线AG以scm/1的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以scm/2的速度运动。如果点FE,同时出发，设运动时间为)(st，当t=s时，以FECA,为顶点的四边形是平行四边形。三、解答题 14.如图，四边形ABCD中，90ABCA，1AD,3BC，E是边CD的中点，连接BE并延长，与AD的延长线相交于点F.求证：四边形BDFC是平行四边形。15.如图，在平行四边形ABCD中，CGAE,DHBF,连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EFGH是平行四边形。16.在平行四边形ABCD和平行四边形ADEF中，8AB,6AF,AFAB,NM,分别是对角线AC、DF的中点，求MN的长。17.如图，平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点，ACDF/,AEBDFC,连接EF。（1）求证：AEDF；（2）求证：四边形BCFE是平行四边形。18.如图所示，在四边形ABCD中，BCAD,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点。请判断PMN的形状，并说明理由。