《2022年平行四边形的性质及判定-典型例题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年平行四边形的性质及判定-典型例题 .pdf（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀教案欢迎下载平行四边形的性质及判定（典型例题）1平行四边形及其性质例 1 如图，O 是ABCD 对角线的交点 OBC 的周长为 59 ，BD=38 ，AC=24 ，则 AD=_ 若OBC 与OAB 的周长之差为15，则 AB=ABCD 的周长 =_. 分析：AC，可得 BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC ，由平行四边形的对角线互相平分 ，可知 OBC 与OAB 的周长之差就为 BC与 AB 之差，可得 AB，进而可得ABCD 的周长对角线互相平分 ) OBC 的周长 =OBOCEC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，
2、共 34 页优秀教案欢迎下载=1912BC=59 BC=28 ABCD 中，BC=AD( 平行四边形对边相等 ) AD=28 OBC 的周长 -OAB 的周长=(OB OCBC)-(OB OA+AB) =BC-AB=15 AB=13 ABCD 的周长=ABBCCDAD =2(AB BC) =2(13 28) =82 说明：本题条件中的 “ OBC 占OAB 的周长之差为 15” ，用符精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页优秀教案欢迎下载号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC 与 AB 之差是 15例 2 判断题(
3、1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形( ) (2)平行四边形的两角相等( ) (3)平行四边形的两条对角线相等( ) (4)平行四边形的两条对角线互相平分( ) (5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离( ) (6)平行四边形的邻角互补( ) 分析：根据平行四边形的定义和性质判断解：(1)错“ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是两组对边，而不是两条对边如图四边形ABCD，两条对边 ADBC显然四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页优秀教案欢迎下载ABCD 不是平行四
4、边形(2)错平行四边形的性定理1，“ 平行四边形的对角相等” 对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理3，“ 平行四边形的对角线互相平分” 一般地不相等 (矩形的两条对角线相等 )(4)对根据平行四边形的性质定理3 可判断是正确的(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 3
5、4 页优秀教案欢迎下载例 3 如图 1 ，在ABCD 中 ，E、F 是 AC 上的两点且 AE=CF求证： EDBF分析：欲址 DEBF，只需 DEC=AFB, 转证=ABFCDF,因ABCD，则有 ABCD，从而有BAC=CDA再由 AF=CF得 AF=CE 满足了三角形全等的条件证明：AE=CF AE+EF=CF+EF AF=CE 在ABCD 中ABCD(平行四边形的对边平行 ) BAC=DCA(两直线平行内错角相等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页优秀教案欢迎下载AB=CD( 平行四边形的对边也相等)
6、ABFCDE(SAS) AFB=DCE EDBF(内错角相等两直线平行 ) 说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理例 4 如图已知在 ABC 中 DEBCFG，若 BD=AF 、求证；DEFG=BC 分析 1：要证 DEFG=DC 由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质考虑将 DE 平移列 BC 上为此， 过 E(或 D)作 EHAB(或DMAC)，得到 DE=BH、只需证 HC=FG，因 AF=BD=EH，CEH=A.AGFC 所以AFGEHC此方法称为截长法分析 2：过 C 点作 CKAB 交 DE 的延长线于K，只需证精选学习资料 - - - - - - - - -
7、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页优秀教案欢迎下载FG=EK ，转证 AFGCKE证法 1：过 E 作 EHAB 交于 H DEBC 四边形 DBHE 是平行四边形 (平行四边形定义 ) DB=EH DE=BH( 平行四边形对边也相等 ) 又 BD=AF AF=EH BCFG AGF=C(两直线平行同位角相等 ) 同理 A=CEH AFGEHC(AAS) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页优秀教案欢迎下载FG=HC BC=BH+HC=DE=FG 即 CE+FG=BD 证法 2：. 过
8、C 作 CKAB 交 DE 的延长线于 K. DEBC 四边形 DBCK 是平行四边形 (平行四边形定义 ) CK=BD DK=BC (平行四边形对边相等 ) 又 BD=AF AF=CK CKAB A=ECK(两直线平行内错角相等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页优秀教案欢迎下载BCFG AGF=AED(两直线平行同位角相等 ) 又CEK=AED(对顶角相等 ) AGF=CEK AFGCKE(AAS) FG=EK DE+EK=BC DE+FG=BC 例 5 如图ABCD 中，ABC=3A，点 E 在 CD 上
9、,CE=1 ，EFCD 交 CB 延长线于 F，若 AD=1，求 BF 的长分析： 根据平行四边形对角相等 ，邻角互补，可得 C=F=45进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等 ，得 BF 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页优秀教案欢迎下载解： 在ABCD 中，ADBC AABC=180 (两直线平行同旁内角互补) ABC=3 A A=45 ，ABC=135 C=A=45 (平行四边形的对角相等 ) EFCD F=45 (直角三角形两锐角互余 ) EF=CE=1 AD=BC=1 例 6 如图 1，AB
10、CD 中 ，对角线 AC 长为 10cm，CAB=30 ，AB 长为 6cm，求ABCD 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页优秀教案欢迎下载解： 过点 C 作 CHAB，交 AB 的延长线于点 H(图 2) CAB=30 SABCD AB CH6 5=30(cm2) 答：ABCD 的面积为 30cm2 说明： 由于=底 高，题设中已知 AB 的长，须求出与底 AB相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D 的高，故选择过点 C 作高例 7 如图，E、F 分别在ABCD 的边 CD、BC 上，且 EFBD
11、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页优秀教案欢迎下载求证： SACE=S ABF 分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形证明：将 EF 向两边延长分别交AD、AB 的延长线于 G、H. ABCD DE AB DEG= BHF(两直线平行同位角相等 ) GDE=DAB(同上) ADBC DAB=FBH(同上) GDE= FBH DEBH，DBEH 四边形 BHED 是平行四边形DE=BH( 平行四边形对边相等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
12、- - - - -第 12 页，共 34 页优秀教案欢迎下载GDEFBH(ASA) SGDE=S FBH(全等三角形面积相等 ) GE=FH( 全等三角形对应边相等 ) SACE=S AFH(等底同高的三角形面积相等) SADESABF 说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积即 S=a haa 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a 边与其对边的距离即对应的高 ，为了区别，可以把高记成 ha，表明它所对应的底是a例 8 如图，在ABCD 中，BE 平分 B 交 CD 于点 E，DF平分 D 交 AB 于点 F，求证 BF=DE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
13、结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页优秀教案欢迎下载证明：四边形 ABCD 是平行四边形DEFB， ABC= ADC( 平行四边形的对边也平行对角相等) 1=3(两直线平行内错角相等 ) 1=2 2=3 DFBE(同位角相等两条直线平行) 四边形 BEDF 为平行四边形 (平行四边形定义 ) BF=DE (平行四边形的对边相等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页优秀教案欢迎下载说明： 此例也可通过 ADFCBE 来证明，但不如上面的方法简捷例 9 如图，CD 的 RtABC 斜边 AB 上
14、的高， AE 平分BAC交 CD 于 E，EFAB，交 BC 于点 F，求证 CE=BF 分析 作 EGBC，交 AB 于 G，易得 EG=BF 再由基本图，可得 EG=EC ，从而得出结论证明：过 E 点作 EGBC 交 AB 于 G 点EGA=B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页优秀教案欢迎下载EFAB EG=BF CD 为 RtABC 斜边 AB 上的高BACB=90 BACACD90B=ACD ACD=EGA AE 平分 BAC 1=2 又 AE=AE AGEACE(AAS) CE=EG CE=BF 说
15、明：(1)在上述证法中， “ 平移” 起着把条件集中的作用(2)本题也可以设法平移 AE(连 F 点作 FGAE，交 AB 于 G) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页优秀教案欢迎下载例 10 如图，已知ABCD 的周长为 32cm，ABBC=5 3，AEBC 于 E，AFDC 于 F，EAF=2 C，求 AE 和 AF 的长分析：从化简条件开始由ABCD 的周长及两邻边的比 ，不难得到平行四边形的边长EAF=2 C 告诉我们什么？这样，立即可以看出ADF、AEB 都是有一个锐角为30 的直角三角形精选学习资料
16、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页优秀教案欢迎下载再由勾股定理求出解：ABCD 的周长为 32cm 即 AB+BC+CD+DA=32 AB=CD BC=DA( 平行四边形的对边相等 ) 又 ABBC=53 EAF+AFC+C+CEA=360 (四边形内角和等于360 ) AEBC AEC=90 AFDC EAF+C=180 EAF=2C C=60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页优秀教案欢迎下载ABCD(平行四边形的对边平行 ) ABE=C=6
17、0 (两直线平行同位角相等 ) 同理 ADF=60 说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始它虽简单，却很有效2平行四边形的判定例 1 填空题(1)如图 1，四边形 ABCD 与四边形 BEFC 都是平行四边形，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页优秀教案欢迎下载四边形 AEFD 是_，理由是 _ (2) 如图 2，D、E 分别在 ABC 的边 AB、AC 上，DE=EF ，AE=EC，DEBC 则四边形 ADCF
18、 是_，理由是_，四边形 BCFD是_，理由是 _ 分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得AD 平行且等于 BC，BC 平行且等于 EF，从而得 AD 平行且等于 EF，由判定定理 4 可得 (2)由 AE=EC ，DE=EF ，由判定定理 3 可得四边形 ADCF 是平行四边形，从而得ADCF 即 BDCF，再由条件，可得四边形 BCFD 是平行四边形解： (1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形精选学习
19、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页优秀教案欢迎下载说明： 平行四边形的定义 (两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB=CD ADB= CBD=90 求证：四边形 ABCD 是平行四边形分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法证法一：AB=CD ADB= CBD=90 ，BD=DB 精选学习资料 - - - - -
20、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页优秀教案欢迎下载RtABDRtCDBABD=CDB，A=CABD+CBD= CDB+ADB 即 ABC=CDA四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对角分别相等的四边形是平行四边形 )证法二：ADB=CBD=90 ，AB=CD 、BD=DB RtABDRtCDBABD=CDBABCD(内错角相等两直线平行 ) 四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )证法三：由证法一知， RtABDRtCDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
21、 -第 22 页，共 34 页优秀教案欢迎下载DA=BC 又AB=CD 四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ) 说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明例 3 如图，ABCD 中，E、G、F、H 分别是四条边上的点，且 AE=CF ，BG=DH ，求证： EF 与 GH 互相平分分析：只须证明 EGFH 为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页优秀教案
22、欢迎下载证明：连结 EG、GF、FH、HE四边形 ABCD 是平行四边形A=C，AD=CB BG=DH AH=CG 又 AE=CF AEHCFG(SAS) HE=GF 同理可得EG=FH 四边形 EGFH 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ) EF 与 GH 互相平分 (平行四边形的对角线互相平分)说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页优秀教案欢迎下载例 4 如图，ABCD 中，AEBD 于 E，CFBD 于 F求证：四边形 AE
23、CF 是平行四边形分析：由平行四边形的性质，可得ABECDF AE= CF 进而可得四边形AECF 是平行四边形证明：ABCD 中，ABCD (平行四边形的对边平行，对边相等) ABD=CDB(两直线平行内错角相等 ) AEBD、CFBD AECFAEB=CFD=90 ABECDF(AAS) AE=CF 四边形 AECF 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页优秀教案欢迎下载平行四边形 ) 说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法例 5
24、 如图，ABCD 中，E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF，AF、BE 相交于 G，CE、DF 相交于 H 求证： EF 与 GH 互相平分分析： 欲证 EF 与 GH 互相平分，只需四边形EGFH 为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE 、四边形 EBFD 都为平行四边形，所以可得AFEC，BEDF，从而四边形GEHF 为平行四边形证明：ABCD 中，ADBC(平行四边形对边平行且相等) AE=CF DE=BF 四边形 AFCE、四边形 BFDE 是平行四边形 (一组对边平行且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26
25、页，共 34 页优秀教案欢迎下载相等的四边形是平形四边形) AFCE，BEDF(平行四边形对边平行 ) 四边形 EGFH 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) GH 与 EF 互相平分 (平行四边形的对角线互相平分) 说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明例 6 如图，已知ABCD 中，EF 在 BD 上，且 BE=DF，点 G、H 在 AD、CB 上，且有 AG=CH
26、 ，GH 与 BD 交于点 O，求证 EGHF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页优秀教案欢迎下载分析：证 EF、GH 互相平分GEHF 为平行四边形证明：连 BG、DH、GF、EH ABCD 为平行四边形ADBC 又 AG=HC DGBH 四边形 BGDH 为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) HOGO，DO=BO( 平行四边形的对角线互相平分) 又 BE=DF OE=OF 四边形 GEHF 为平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
27、总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页优秀教案欢迎下载四边形 ) EGHF(平行四边形的对边平行相等) 说明： 由于条件 BE=DF 涉及到对角线 BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例 7 如图，ABCD 中，AEBD 于 E，CFBD 于 F，G、H 分别为 AD、BC 的中点，求证： EF 和 GH 互相平分分析：连结 EH，HF、FG、GE，只须证明 EHFG 为平行四边形证法一：连结 EH，HF、FG、GE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 34 页优秀教案欢迎下载AEBD，G 是 AD 中
28、点GED=GDE 同理可得四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，GDE=HBF GE=HF ，GED= HFB GEHF 四边形 GEHF 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ) EF 和 GH 互相平分 (平行四边形对角线互相平分) 证法二：容易证明 ABECDF BE=DF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页优秀教案欢迎下载四边形 ABCD 为平行四边形ADBC G、H 分别为 AD、BC 的中点DGBH 四边形BHDG 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ) BD
29、和 GH 互相平分 (平行四边形对角线互相平分) OG=OH ，OB=OD 又 BE=DF OE=OF EF 和 GH 互相平分例 8 如图，已知线段 a、b 与 ，求作：ABCD，使ABC= ，AB=a，BC=b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 34 页优秀教案欢迎下载分析：已知两边与夹角，可先确定ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点 D，从而平行四边形可作出作法：(1)作EBF= ，(2)在 BE、BF 上分别截取 BA=a，BC=b，(3)分别为 A、C 为圆心， b，a 为半
30、径作弧，两弧交于点D，四边形 ABCD 为所求*证明：由作法可知 AB=CD a BC=AD=b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 34 页优秀教案欢迎下载四边形 ABCD 为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形为平行四边形 ) 且ABC= ，AB=a，BC=b ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1)已知两邻边 (AB、BC)和夹角 (B)(2)已知一边 (BC)和两条对角线 (AC，BD)(3)已知一边 (BC)和这条边与两条对角线的夹角(如 DBC，ACB)(4)已知一边 (CD) 和一个内角 (ABC) 以及过这个角的顶点的一条对角线 (BD，且 BDCD) 求作平行四边形 (如图) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 34 页优秀教案欢迎下载完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 34 页