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1、 2009 届高三数学二轮专题复习教案三角函数 一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成 k3600+的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合|=k1800，kZ，终边在 y 轴上的角集合|=k1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180(1857 弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。2、任意角的三角函数的定义、三角函数的
2、符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP|则：,cos,sinrxryxytan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 1)2)0 3)6 4)4 5)3 6)2 7)8)23 9)2 10)sin 11)0 12)21 13)22 14)23 15)1 16)0 17)-1 18)0 19)cos 20)1 21)23 22)22 23)21 24)0 25)-1 26)0 27)1 28)tan 29)0 30)33 31)1 32)3 33)不存在 34)0 35)
3、不存在 36)0（3）同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin22（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:sin()sin,cos()cos,tan()tan sin()sin,cos()cos,tan()tan sin()sin,cos()cos,tan()tan sin(2)sin,cos(2)cos,tan(2)tan sin(2k)sin,cos(2k)cos,tan(2k)tan，()kZ sin(2)cos,cos(2)sin sin(2)cos,cos(2)-sin 3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式;sincoscossin)sin(;s
4、insincoscos)cos(tantan1tantan)tan(（2）二倍角公式 二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan（3）经常使用的公式 升（降）幂公式：21 cos2sin2、21 cos2cos2、1sincossin22；辅助角公式：22sincossin()abab（由,a b具体的值确定）；正切公式的变形：tantantan()(1tantan).4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sinyx，cosyx，tanyx的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求sin
5、()yAx的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；sinyx的对称轴是2xk()kZ，对称中心是(,0)k()kZ；cosyx的对称轴是xk()kZ，对称中心是(,0)2k()kZ tanyx的对称中心是(,0)()2kkZ 注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式sin()yAx时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x.（三）正弦型函数sin()
6、yAx的图象变换方法如下：先平移后伸缩 sinyx的图象 向左(0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()yx的图象()横坐标伸长(0 1)1到原来的纵坐标不变 得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的 倍 横坐标不变 得sin()yAx的图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度 得sin()yAxk的图象 先伸缩后平移 sinyx的图象(1)(01)AAA 纵坐标伸长或缩短为原来的 倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位 得sin()yAxx的
7、图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象 5、解三角形 正、余弦定理正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）注：CBAcbasin:sin:sin:；CRcBRbARasin2,sin2,sin2；CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。余弦定理：Abccbacos2222等三个；注：bcacbA2cos222等三个。几个公式:三角形面积公式：)(21(,)()(sin2121cbapcpbpappCabahSABC；内切圆半径 r=cbaSABC2；外接圆直径 2R=;sinsinsinCcBbAa 在使用正
8、弦定理时判断一解或二解的方法：ABC 中，sinsinABAB 已知Aba,时三角形解的个数的判定：其中 h=bsinA,A 为锐角时：ah 时，无解；a=h 时，一解（直角）；hab 时，一解（锐角）。三、考点剖析 考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高
9、考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例 1、（2008 北京文）若角 的终边经过点P(1,-2),则 tan 2 的值为 .解：222tan4tan2,tan2.11tan3 点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。考点二：同角三角函数的关系 【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意22sincos1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题
10、规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例、（浙江理）若cos2sin5,则tan=()（A）21 （B）2 （C）21 （D）2 解：由cos2sin5 可得：由cos52sin，又由22sincos1，可得：2sin（52sin）21 可得sin552，cos52sin 55，所以，tancossin2。点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：22sincos1，与它联系成方程组，解方程组来求解。例 3、（2007 全国卷 1 理 1）是第四象限角，5tan12，则sin（）A15 B15 C513 D513 解：由5ta
11、n12，所以，有1cossin125cossin22，是第四象限角，解得：sin513 点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：cossintan，同样要能想到隐含条件：22sincos1。考点三：诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与 cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k+的整数 k 来讲的，象限指2k+中，将看作锐角时，2k+所在象 限，如将 cos(23+)写成 cos（23+），因为 3 是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又23+看作第
12、四象限角，cos(23+)为“+”，所以有 cos(23+)=sin。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例 4、(2008 陕西文)sin330等于（）A32 B12 C12 D32 解：sin330sin(36030)1sin302 点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。答案：725 例 5、（2008 浙江文）若2cos,53)2sin(则 .解：由3sin()25可知，3cos5；而2237cos22cos12()1525 。点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属
13、基础题，熟练掌握公式就能求解。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在0，2，正切函数在（-2，2）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与 x 轴的交点，会用五点法画函数sin()yAxxR，的图象，并理解它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的14个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、
14、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。例 6、(2008 天津文)设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）Aabc Bacb Cbca Dbac 解：2sin7a，因为2472，所以220cossin1tan7772，选 D 点评：掌握正弦函数与余弦函数在0，4，4，2的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1，也要掌握。例 7、(2008 山东文、理)函数lncos22yxx的图象是（）解：lncos()22yxx是偶函数，可排除 B、D，由cos x的值域可以确定.因此本题应选 A.点评：本小题主要考查复合
15、函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。例 8、(2008 天津文)把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）Asin 23yxxR，Bsin26xyxR，Csin 23yxxR，Dsin 23yxxR，解：y=sin x3 向左平移个单位sin()3yx12横坐标缩短到原来的倍sin(2)3yx，故选（C）。点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求
16、解即可。例 9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是()（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 解：原函数可化为：)20)(232cos(，xxy=sin,0,2.2xx作出原函数图像，截取0,2 x部分，其与直线21y的交点个数是 2 个.y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O A B C D 点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。考点五：三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能从两
17、角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。例 10、（2008 惠州三模）已知函数xxxxfcossinsin3)(2（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）求函数2,0)(xxf在的值域.解：xxxxfcossinsin3)(2xx2sin2122cos13 232cos232sin21xx 23
18、)32sin(x （I）22T （II）20 x 34323x 1)32sin(23x 所以)(xf的值域为：232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。例 11、（2008 广东六校联考）已知向量a(cos23x，sin23x)，b(2sin2cosxx，)，且 x0，2（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。解：（I）由已知条件：20 x，得：33(coscos,sinsin)2222xxxxab 2233(coscos)(sinsin)2222xxxx xxsin22cos22 （2）2si
19、n23sin2cos23cossin2)(xxxxxxfxx2cossin2 23)21(sin21sin2sin222xxx，因为：20 x，所以：1sin0 x 所以，只有当：21x时，23)(maxxf，0 x，或1x时，1)(minxf 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。例 12、（2008 北京文、理）已知函数2()sin3sinsin()(0)2f xxxx的最小正周期为.（）求的值；（）求函数 f(x)在区间0，23上的取值范围.解：（）1 cos23()sin222xf xx=311sincos2222xx=1sin(2).6
20、2x 因为函数 f(x)的最小正周期为,且0，所以22 解得=1.（）由（）得1()sin(2).62f xx 因为 0 x23，所以1226x7.6 所以12(2)6x1.因此 01sin(2)62x32，即 f(x)的取值范围为0，32 点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦 定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是
21、否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。例 13、（2008 广东五校联考）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且10103cos,21tanBA（1）求 tanC 的值;（2）若ABC 最长的边为 1，求 b。解：（1）3 10cos0,10B B 锐角,且210sin1 cos10BB,sin1tancos3BBB,11tantan23tantan()tan()1111tantan123ABCABABAB (2)由(1)知 C 为钝角,C 是
22、最大角,最大边为 c=1,2tan1,135,sin2CCC ,由正弦定理:sinsinbcBC得101sin510sin522cBbC。点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。例 14、(2008 海南、宁夏文)如图，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交 AC 于 E，AB=2。（1）求 cosCBE 的值；（2）求 AE。解：（）因为9060150BCD，CBACCD，所以15CBE 所以62coscos(4530)4CBE（）在ABE中，2AB，由正弦定理2sin(4
23、515)sin(9015)AE 故2sin30cos15AE 12262462 EDCBA 点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角 45 度，30 度，60 度，推导 15 度，75 度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。例 15、(2008 湖南理)在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45且与点 A 相距 402海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点 A 相距 1013海里的位
24、置 C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC 由于090,所以 cos=2265 261().2626 由余弦定理得 BC=222cos10 5.ABACABAC 所以船的行驶速度为10 515 523（海里/小时）.（II）如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos10 13cos(45)30
25、CAD,y2=ACsin10 13sin(45)20.CAD 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=20210,直线 l 的方程为 y=2x-40.又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.14 所以船会进入警戒水域.点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。四、方法总结与 2009 年高考预测 1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos2xsin2x。（2）角的配凑。（），22等。（3）升幂与降幂。主要用 2 倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入
26、辅助角。asinbcos22ba sin()，这里辅助角所在象限由 a、b的符号确定，角的值由 tanab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式
27、，促使差异的转化。5高考考点分析 近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。五、复习建议 1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。