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1、 1 第七章 空间解析几何与向量代数 在平面解析中.通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题.这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的.正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.第一节 向量及其线性运算 本节主
2、要内容 1 向量的概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标进行线形运算 5 向量的模、方向角、投影 讲解提纲：一、向量的概念.既有大小，又有方向。例如位移、速度、加速度等等。二、向量的线性运算：向量的加减法,向量与数的乘法 定理 1 设向量0a,那末向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数,使ab.定理 1 是建立数轴的理论依据.我们知道，确定一条数轴,需要给定一个点、一个方向及单位长度.由于一个单位向量既确定了方向,又确定了单位长度,因此,只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.三、空间直角坐标系 四、利用坐标进行线形运算(bakbajbaibazzyyxx)(
3、)()(bakbajbaibazzyyxx)()()2(akajaiazyx)()()五、向量的模、方向角、投影 性质 1 cos|Praaju（为向量a与u轴的夹角）;性质 2 bjajbajuuuPrPr)(Pr;性质 3 ajajuuPr)(Pr（为实数）.例题选讲：向量的线性运算 例 1 化简 13325.25baabb 例 2 在 平 行 四 边 形 ABCD 中,设,ABaADb 试 用a和b表 示 向 量,MA MB MC 和MD,这里 M 是平行四边形对角线的交点.解：由对角线互相平分，所以 ()2,abA CA M 即()2,abMA 于是1()2MAab，111(),(),
4、()222MCabMDbaMBab 例 3 在 x 轴上取定一点 O 作为坐标原点.设 A,B 是 x 轴上坐标依次为21,xx 的两个点,i是与 x 轴同方向的单位向量,证明 21().ABxxi 空间两点间的距离 例 4 已知点)10,3,4(),4,1,2(BA，写出以线段AB为直径的球面方程。解：记线段中点的坐标为),(000zyx，则 7,2,3000zyx 半径113112r 得所求的球面方程为11)7()2()3(222zyx 3 向量的代数运算 例 5 设,kjim,2kjin,22kjip 用单位向量pnmeee,.表示向量.,kji 解：易得 pnmipnmknmj4112
5、1125),(41),(31 于是得 pnmnmpnmeeekeejeeei434643,3633,431261235 例 6 已知两点),(111zyxA和),(222zyxB以及实数),1(试在直线 AB 上求一点),(zyxM，使 AMMB.解：由于)(OMOBOAOM 从而OM1()1OAOB )1,1,1(212121zzyyxxOM 向量的模、方向角、投影 例 7 已知两点(4,0,5)A和(7,1,3)B，求与向量BA平行的单位向量e.解：因为 (3,1,2)A BO BO A 所以14AB 于是1(3,1,2).14e 例 8 已知两点1(4,4,4)M和2(1,3,1)M,计
6、算向量12M M的模、方向余弦和方向角.向量在轴上的投影 例 9 设立方体的一条对角线为 OM,一条棱为 OA,且|,OAa 求OA在OM方向上的投影Pr.OMjOA 解：1cos3OAMOAOM 4 于是Pr.OMjOA=|OA cosMOA=3a 课堂练习 1.已知平行四边形 ABCD 的对角线,ACaBDb 试用ba,表示平行四边形四边上对应的向量.2.在ABC中,D 是 BC 上的一点,若),(21ACABAD 证明 D 是 BC 的中点.3 试证明以三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)ABC为顶点的三角形是等腰三角形.4 设有向量12P P,已知12|2,P P 它与
7、 x 轴和 y轴的夹角分别为3和4,如果1P的坐标为(1,0,3),求2P的坐标.第二节 数量积 向量积 混合积*本节主要内容 1 两向量的数量积 2 两向量的向量积 讲解提纲：一、两向量的数量积：定义 1 设有向量a、b，它们的夹角为，乘积cos|ba称为向量a与b的数量积（或称为内积、点积），记为ba，即 cos|baba.根据数量积的定义，可以推得：（1）bjaajbbaabPr|Pr|;性质：（1）2|aaa;（2）设a、b为两非零向量，则 ba的充分必要条件是 0 ba.数量积的运算规律：（1）交换律 ;abba 5（2）分配律 ;)(cbcacba（3）结合律 )()()(baba
8、ba,（为实数）.二、两向量的向量积 定义 2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：（1）c的方向既垂直于a又垂直于b,c的指向按右手规则从a转向b来确定（图7-3-5）；（2）c的模 sin|bac，(其中为a与b的夹角)，则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为 bac.根据向量积的定义，即可推得（1）0 aa；（2）设a、b为两非零向量，则 ba/的充分必要条件是 0 ba.向量积满足下列运算规律:（1）;abba （2）分配律;)(cbcacba（3）结合律)()()(bababa,（为实数）.例题选讲：两向量的数量积 例 1 已知,2,2,1,4,1,1ba
9、求(1);ba (2)a与b的夹角;(3)a与b上的投影.例 2 试用向量方法证明三角形的余弦定理.解：设在ABC中，BCA,BCa CAbABc 记,CBa CAb ABc 则有cab 从而可得2222coscabab。6 例 3 设,a b c均为单位向量，且有0,abc则32a bb cc a 例 4 设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设 n 为垂直于 S 的单位向量 计算单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量 P(液体的密度为).解：单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、斜高为v的斜柱体。该柱体的斜高与底面的
10、垂线的夹角就是v与n的夹角，体积为 Avcos=Av n 从而质量 P=Av n。两向量的向量积 例 5 设23,3,mab nab a b 模为 2 和 1，夹角为3。则mn 解：可得mn11 3。例 6 三角形的三顶点为)5,4,3(),3,2,1(BA和)7,4,2(C 求三角形ABC的面积.解：ACABAACABSABC21sin21 于是 ABCS=142)6(421222 例 7 设向量pnm,两两垂直,符合右手规则,且 ,4m,2n,3p 计算.pnm 例 8 设刚体以等角速度绕 l 轴旋转,计算刚体上一点 M 的线速度.解：设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a,在 l 轴上任取
11、一点作向量rOM，并以表示与r的夹角，则有 a=sinr 由物理学知识可知vwa=wsinr,v的方向垂直于点 M 与旋转轴 l 的平面，因此有vwr。课堂练习 1.已知(2,1,2),(1,2,2),ab求a与b夹角平分线上的单位向量v.2 证明向量c与向量 acbbca.垂直.3.已知cba,两两垂直,且,3|,2|,1|cba求cbas的长度与它和 7 cba,的夹角.4 利用向量证明直径所对的圆周角为直角。5 利用向量积证明三角形正弦定理.第三节 曲面及其方程 本节主要内容 1 曲面方程的概念 2 旋转曲面 3 柱 面 4 二次曲面 讲解提纲：一、曲面方程的概念 空间曲面研究的两个基本
12、问题是：1已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。三、柱面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。四、二次曲面 三元二次方程0),(zyxF所表示的曲面称为二次曲面。例题选讲：曲面方程的概念 例 1 建立球心在点),(0000zyxM、半径为 R 的球面方程.解：易得球面方程为2222000()()()xxyyzzR 例 2 求与原点 O 及)4,
13、3,2(0M的距离之比为 1:2 的点的全体所组成的曲面方程.解：易得曲面方程为22224116()(1)()339xyz。例 3 已知1,2,3,A 2,1,4,B 求线段AB的垂直平分面的方程.8 解：设点(,)Mxyz为所求平面上的任一点，由 A MB M 即222222(1)(2)(3)(2)(1)(4)xyzxyz 整理得26270 xyz。例 4 方程2222440 xyzxyz表示怎样的曲面？旋转曲面 例 5 将xOz坐标面上的抛物线25zx分别绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程 225yzx 例 6 直线 L 绕另一条与 L 相交的定直线旋转一
14、周,所得旋转曲面称为叫圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角)20(称为圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为 z 轴,半顶角为的圆锥面方程 解：在yoz坐标平面上，直线 L 的方程为 c o tzy 可得圆锥面的方程为 2222()zxy 柱面 例 7 分别求母线平行于x轴和y轴，且通过曲线2222222160 xyzxyz的柱面方程.解：母线平行于x轴的柱面方程：22316yz 母线平行于y轴的柱面方程：223216xz 二次曲面.椭球面：1222222czbyax)0,0,0(cba 抛物面 椭圆抛物面 qypxz2222（同号与qp）9 双曲抛物面 zqypx222
15、2 (p与q同号)双曲面 单叶双曲面 1222222czbyax)0,0,0(cba 双叶双曲面 1222222czbyax)0,0,0(cba 二次锥面 0222222czbyax 例 8 由曲面,0,0,0zyx1,122zyyx围成的空间区域(在第一卦限部分),作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121xyzL绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程.2.指出方程221xy及22zx所表示的曲面.3 方程22234zxy的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程 本节主要内容 1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 3 空间曲线在坐标面上的投影 讲解提纲：一、空间曲线的一般方程 0),(
16、0),(zyxGzyxF 二、空间曲线的参数方程 )()()(tzztyytxx 10 三、空间曲线在坐标面上的投影 .0),(,0),(zyxGzyxF 0),(yxH 00),(zyxH 例题选讲：空间曲线的一般方程 例 1 方程组 221493xyy 表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程 例 2 若空间一点 M 在圆柱面222ayx上以角速度绕 z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升(其中、v 是常数),则点 M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解：取时间 t 为参数，在 t=0 时，动点位于 x 轴上的一点(,0,0)A a处。经过时间 t,动点运动到(,)Mx
17、 y z，点M在xoy面上的投影为M coscossinsinxOMAOMawtyOMAOMawt 由于动点同时以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升，所以 zMMv t 因此螺旋线的参数方程为cossinxawtyawtzvt 空间曲线在坐标面上的投影 例 3 求直线11:111xyzL在平面:21xyz上的投影直线的方程.解：设通过直线L且垂直于平面的平面*的方程 直线:L的方向向量(1,1,1),s 平面:的法向量(1,1,2)n 平面*的法向量*11132112ijknsnijk 可得平面*的方程为3210 xyz 11 所求投影直线的方程321010 xyzxyz 例 4 求抛物
18、面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.例 5 求旋转抛物面22(04)zxyz在三坐标面上的投影.解：在三坐标面上的投影为22224,4,4.xyxzyz 课堂练习 1.设一个立体由上半球面224yxz和锥面)(322yxz所围成,求它在xOy面上的投影.2.求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.3 方程组42222222ayaxyxaz表示怎样的曲线?第五节 平面及其方程 平面是空间中最简单而且最重要的曲面.本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.本节主要
19、内容 1 平面的点法式方程 2 平面的一般方程 3 两平面的夹角 4 点到平面的距离 讲解提纲：一、平面的点法式方程：.0)()()(000zzCyyBxxA 二、平面的一般方程：12,0DCzByAx 平面的截距式方程：.1czbyax 三、两平面的夹角：设有两平面1和2：,0:11111DzCyBxA,1111CBAn 则两平面的夹角 222222212121212121|c o sCBACBACCBBAA 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出如下性质：（1）21 的充要条件是0212121CCBBAA；（2）21/的充要条件是.212121CCBBAA（3）21 与重合的充要条件是.2
20、1212121DDCCBBAA 四、点到平面的距离：.|222000CBADCzByAxd 例题选讲：平面的点法式方程 例 1 求过点(1,2,1)M且与23503240 xyzxyz垂直的平面方程.解:设所求平面方程为：(1)(2)(1)0.A xB yC z (,)nABC,直线的方向向量s为 231571 1312ijksijk 因为平面与已知直线垂直 所以/ns，取ns 即所求的平面方程为5(1)7(2)11(1)0.xyz 例2 求过点(1,1,1),(2,2,2)AB和(1,1,2)C的平面方程.13 例3 求通过(1,2,1)点且通过直线23:212xtLytzt的平面的方程.解
21、：设 所 求 平 面 方 程 为：(1)(2)(1)AxByCz直 线 的 方 向 向 量s=(3,1,2)。因为ns于是有320ABC 由题意有20AC 联立解之得2,4,AC BC 故所求平面方程为：2450 xyz。平面的一般方程 例 4 求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解：设该平面方程为0ByCz 又因为该平面过点(4,3,1)，所以有30BC 整理可得所求平面方程为30yz 例 5 设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.解：所求平面的法向量可取为 *632446412ijknsnijk 故所求平面方程为2230 xyz 平面的截距式方程 例
22、6 求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.两平面的夹角 例 7 求两平面的夹角:,062:1zyx;052:2zyx 解：由公式 14 21112211|212|cos222222 例 8 求平面2250 xyz与各坐标面夹角的余弦.解：可得与各坐标面夹角的余弦为122,.333 点到平面的距离 例 9 求两平行平面1：10AxByCzD和2：20AxByCzD之间的距离d.解：取平面1：10AxByCzD上一点000(,)P xyz 则00021222222AxByCzDDDdABCABC 课堂练习 1.求通过直线111121xyz和223112xy
23、z的平面的方程.2.求通过点)3,2,1(),1,1,2(QP且垂直于平面 06532zyx 的平面方程.3 求经过两点)9,2,3(1M和)4,0,6(2M且与平面0842zyx垂直的平面的方程.4 求平面 II,使其满足:(1)过z轴;(2)II 与平面052zyx夹角为3.第六节 空间直线及其方程 本节主要内容 1 空间直线的一般方程 2 空间直线的对称式方程与参数方程 3 两直线的夹角 4 直线与平面的夹角 15 讲解提纲：一、空间直线的一般方程：.0,022221111DzCyBxADzCyBxA 二、空间直线的对称式方程与参数方程：pzznyymxx000 ptzzntyymtxx
24、000 三、两直线的夹角 设,1111pnms，,2222pnms分别是直线1L，2L的方向向量，则1L与2L的夹角应是),(21ss和),(21ss),(21ss两者中的锐角.因此|),cos(|cos21ss.仿照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果.（1）2222222121212121212121|cospnmpnmppnnmmssss；（2）21LL 的充要条件是0212121ppnnmm；（3）21/LL的充要条件是.212121ppnnmm 四、直线与平面的夹角（1）设直线的方向向量为,pnms，平面的法向量,CBAn 直线与平面的夹角为，则|),cos(|sinns222222|
25、pnmCBACpBnAm；（2）L的充要条件是;pCnBmA（3）/L的充要条件是.0CpBnAm 例题选讲：空间直线的对称式方程与参数方程 例 1 求过点1,2,1，垂直于直线111:321xyzL又与直线2:2xLyz 相交的直线的方程.16 解：设通过1,2,1的直线方程为121xltymtznt 因为1LL，所以320,lmn 又因为L与2L相交，可得nlm，联立解之得：32,55ln mn，故所求直线的方程为132215xtytzt 例 2 用对称式方程及参数方程表示直线.043201zyxzyx 解：取10 x代入方程组得 632zyzy解之得：)2,0,1(设s为直线的方向向量，
26、kjikjinns3431211121 因此直线的对称式方程为32141zyx 参数方程为tztytx3241 两直线的夹角 例 3 求直线1210:210 xyzLxyz和直线.210:210 xyzLxyz间的夹角.例 5 求过点 M(2,1,3)且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.直线与平面的夹角 例 6 设直线,21121:zyxL平面,32:zyx求直线与平面的夹角.17 平面束 例 7 过直线10:220 xyzLxyz与平面1:2330.xyz夹角的余弦.课堂练习 1.在直线方程pznymx6224中,m、n、p 各怎样取值时,直线与坐标面xOy、yOz都平行.2 设一直
27、线过点),4,3,2(A且与 y 轴垂直相交,求其方程.3.求直线5272xzxy与平面xz3的夹角和交点.4.求直线111:,121xyzL与直线11:23xzLyz之间的距离.本章小结：空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就.法国数学家笛卡尔和费马均于十七世纪上半叶对此作出了开创性的工作.我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问题的思想，这就是解析几何的基本思想.要用代数方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中最基本的概念分别是数和点.于是首先要找到一种特定的数学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是坐标系.通过坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.