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1、微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题77 空间直角坐标系1.填空题(1)下列各点所在象限分别是：a.(1,-2,3)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _:b.(2,3,-4)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；C.(2,-3,-4)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；d.(-2,-3,1)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)点P(-3,2,-l)关于平面XOY的对称点是,关于平面YOZ的对称点是，关于平面ZOX的对称点是,关于X轴的对称点是，关于Y轴的
2、对称点是,关于Z轴的对称点是。(3)点A(-4,3,5)在XOY平 面 上 的 射 影 点 是,在YOZ平面上的射影点是,在ZOX面上的射影点是,在X轴上的射影点是,在Y轴上的射影点是，在Z轴上的射影点是。(4)已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(-a,-a,-a ),B(a,-a,-a ),C()和 D (),则其余顶点分别为,班级:姓 名：学号:2.已知三角形的三个顶点 A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,0,2),求过 A、B、C三点的中线的长度。3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A(2,-3,-5),B(-1,3,2)及它的对角线的交点E(4,-1,7),求顶点
3、C、D的坐标。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.已知某直线线段AB被点C(2,0,2)及点D(5,-2,0)内分为3 等分，求端点A、B 的坐标。5.求点M(-4,3,-5)到各坐标轴的距离。班级：姓 名：学号:6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和 C(0,5,1)等距离的点。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-2 向量及其线性运算1.填空题(1)已知某向量B与万平行，方向相反，且|同=洞，则B由N表示为。(2)已 知 梯 形 O AB C,瓦 而 且 5=1/2 d，若 苏=2,。1 =石，则A B =。(3)-向量的终点在点
4、B(2,1,-7),它在X轴，Y轴和Z轴上的投影依次为4,-4 和 7,则这向量的起点A 的坐标为 oTT(4)设向量的模是4,它与轴的夹角是彳，则它在轴上的投影为 o3-(5)已知 A(4,0,5),B (7,1,3),贝。2.响量的起点为A (1,4,-2),终点为B (-1,5,0),求 在 X轴 I、Y轴I、Z轴上的投影，并 求A B。班级:姓 名：学号:3.已知两点M 1(4,J 5,l),M 2(3,0,2),计算向量Mi2的模，方向余弦和方向角。4.已知 5 =3,5,4 出=6,1,2 =0,-3,4 ,求 22 3 5+4 5 及其单位向量。微 积 分 练 习 册 第 七 章
5、 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何5.一向量与x轴，y轴的夹角相等，而与Z轴的夹有是前者的两倍，求该向量的方向角6.已知向量。与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若 同=2,求向量的坐标班级:姓名:学号:7.设之=3 i +5j+S k,b-2i-4 j-lk,c-5i+/一 4 1，求向量/=4万 +3看一不在x轴上的投影以及在y轴上的分向量8.已知两向量2=A,5,-l,&=3,1,平行，求 入的值微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-3数量积 向量和 混合积1.填空题(i)已知5,瓦己为单位向量，且满足万+B+i =G,则限方+51 +1*=(2)若向量B与向
6、量万=(2,1,2)共线，且2%=1 8,则万=.(3)已知同=3,同=5,问;1 =时，。+得 与。一 相 互 垂 直.A(4)已知同=2,同=耶 B卜J7,则(2,很)=.(5)已知2与B垂直，且 同=5,恸=12,则忸+同=,a-b=(6)向量色很忑两两垂直，且 同=1,|可=2,同=3,则 =+5 +不的长度为一2.己知，试求：(1)M与B的夹角；(2)G在B上的投影.班级：姓 名：学号:3.已知同=3冏=3 6,|万同=7 2,求方4判断向量2小 元 是否共面:(1)5=3,2,5/=1,1,2,c=9,7-16；(2)5=1,-2,3,b=3,3,1,c=1,7-5微积分练习册 第
7、七章 向量代数与空间解析几何5.己知 A(l,-1,2),B(5,-6,2),C(l,3,-1),求:(1)同 时 与 凝 及 就 垂 直 的 单 位 向 量；(2)A A B C的面积;（3）从顶点A 到边BC的高的长度班级：姓 名：学号:6.一个四面体的顶点为 A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5)和 D(6,0,3),求它的体积。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-4平面与直线（一）1.填空题（1）过 点（3,0,-1）且与平面3 x-7y +5 z =0平 行 的 平 面 方 程 为.(2)过 两 点(4,0,-2)和(5,1,7)且平行于a x轴的平面
8、方程为.(3)若平面A/+与y +G z +3=0与平面4 2犬+82)+。21+。2 =0互相垂直，则充要条件是 若上两平面互相平行，则充要条件是.(4)设 平 面；r:x+%y-2z-9=0,若 乃 过 点，则女=；又若乃与平面2x+4 y +3 z-3 =0 垂直，贝蛛=.(5)一平面过点(6,-10,1),它在a x轴上的截距为，在o z轴上的截距为2,则该平面方程是(6 )一平面 与%|：2%+%=0及万2 -)?=1都 垂 直，则该平面法向量为2.求过点“0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点A?。的线段。知0垂直的平面方程班级：姓 名：学号:3.分别按下列条件求平面方程：(1)平
9、行于X O Z平面且通过点(2,-5,3)；(2)平行于x轴且经过点(4,0,-2),(5,1,7)；(3)过 点(-3,1,-2)和 Z 轴.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.求过点（1,I,1）和 点（0,1,-1）且与平面x+y +z=0相垂直的平面方程。5.求通过点A(3,0,0)和B(0,0,1)且与xoy平面成7/3的平面方程。班级：姓 名：学号:6求 点(1,-4,5)到平面x-2 y +4 z-1 =0的距离。7.已知平面口1 :x 2)+2 Z+2 1=0与平面口2 ：7x+2 4 z-5 =0,求平分风 和n?夹角的平面方程。微积分练习册 第七章 向量代数与空
10、间解析几何习题7-4平面与直线(二)1.填空题(1)过 点(4,-1,3)且 平 行 于 直 线 亍 =)，=的直线方程为(2)过 两 点(3,-2,1)和(-1,0,2)的直线方程为x-2 y +4 z =7(3)过 点(2,0,-3)与直线 垂直的平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3x+5 y-2 x=-l(4)直 线L：=1和 平 面 乃：2x+3y+3z-8=o的 交 点 是3 1 2x+y+3z=0(5)直线 ,与平面x-y-z +l=O的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x-y-z =0y+z=12.写出直线L:1 的
11、对称式方程及参数方程2x+y+z=4班级：姓 名：学号:3.求满足下列条件的直线方程：Y 3 V 7 1(1)过 点(4,L 3)且平行于直线=)=4.2 1 5(2)过 点(0,2,4)且同时平行于平面x+2z=1和y-3z=2.(3)过点且垂直于平面2x+3y+z+l=0.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4求 点(3,-1,2)到直线2x-y+z-4=0*的距离.x+y z+l=O|4 x-y+3z =1 ,5 .求直线 在平面2 x-y +5 z -3=0上的投影方程.x+5 y-z +2 =0班级：姓 名：学号:x+y z 1 06.已 知 两 直 线 和L 2：x=y =
12、z 12 x+z 3=0-(1)求过4且平行于4的平面方程；(2)求右与心 间的最短距离7.求两直线4x+2 y +5 =02 y -”4 =0y =0 x+2 z +4的公垂线的方程.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-5 曲面及其方程1.填空题：（1）以 点（1,2,3）为球心，且 过 点（0,0,1）的球面方程是（2）将 xo z 坐标面上的抛物线j=5 x 绕 轴旋转而成的曲面方程是（3）将 xo y 坐 标 面 上 的 圆/+（-1）2 =2绕 o y 轴旋转一周所生成的球面方程是,且球心坐标是,半径为2 2 2（4）方 程 上+-邑=0 表示旋转曲面。，它的旋转轴是
13、2 2 3（5）方 程 V二 名 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示,在空间解析几何中表示2.画出下列各图(1)yoz坐标面上z?=y绕0y轴旋转而成的曲面班级：姓名:学号:(2)由x+z=l,x?+y2=1和z=0所围立体的表面.22-？+与1微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何3.作出下列不等式所确定的空间区域：(1)x2+y2 l,z 0;(2)x2+4 y2 2 z,z 2;班级：姓 名：学号:(3)2x2+y2+3z2 0,y 0,z 0;(4)-x2-y2+4z2 4,|z|/)截上述曲面所得截痕是2 2(3)二次曲面z=j+勺 与 平 面 y=%相截，其截妆是空间中的
14、a b(4)曲面-/=%在xoz坐标面上的截痕是(5)双曲抛物面/彳_ =2 z 与1少坐标面的交线是(6)由曲面z =J/+y2与 z =JR2 2 一/2所围成的有界区域用不等式组可表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 .指出下列方程所表示的曲线x2+4 y2+9 z2=36(1)；y =ly2+z2-4 x+8 =0y=4班级：姓 名：学号:3.画出下列曲线在第一卦限的图形：z =J 4-x2-y2 x2+y2=a2V J；(2)2),2x-y =O x+z =a-r2+v2+72=Q4.将曲线 化为参数方程 y=x微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.求球面
15、x2+y2+z2 9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影曲线方程6.求旋转抛物面z=x2+y2(0 z,2)=尤 2 一丁2,则=X(5)函数z 二 机7二 的 定 义 域 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l n(l-x2-y2)(6)函数z =Jx-6的定义域是(7)函数z =ar c s i n 的定义域是xv2+2x（8）函数Z =的间断点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/-2 x2.求下列极限：2-J x y +41)lim-y-0,班级:姓 名：学号:1面2x-0 xy-0l-c o s(x2+y2)(3)lim(/+
16、y 2)/y 2zOyfO微积分练习册 第八章多元函数微分学3.证 明lim(x,y)-(0,0)=04证明：极限“，幅3+y2=0不存在班级：姓 名：学号:xs i n-,(x,y)*(0,0)5.函数/(x,y)=x2+y2 在 点(0,0)处是否连续？为什么？0,(x,y)=(0,0)微积分练习册 第八章多元函数微分学习 题 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用1.填 空 题(1)设 z =I n t a n ,贝ij 包=_;y dx dy&a?(2)设2=“1+)，则竽=_，与=_；dx dy(3)设=%上，则=_,=_,=_;z dx dy d z,y d2z d2z d2z(4)
17、设 z =axe t a n,贝ij-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,r,-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _x dx2 dy2 dxdy(5)设“=(2)，则-=_；y dxdy(6 )设 f(x,y)在 点(。力)处 的 偏 导 数 存 在，则f(a+x,b)-f(a-x,b)_n m_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3。X2.求 下 列 函 数 的 偏 导 数(1)Z=(1+孙 尸班级:姓名:学号:(2)w =a rc si n(x-y)z3.设z =y 求函数在（1,1）点的二阶偏导数微积分练习册 第八章多元函数微分学d3 z4.设z=xln(xy),求白 邑 和
18、上 三dx2dy dxdy2_(一 _ ),分7 c C)75.Z=e x ，试 化 简/空+y2空dx dy班级:姓名:学号:/(X,V)=)。(0,0)x+VC-八 八 在 点(0,0)处的偏导数存在，但不0,(x,y)=(0,0)连续.微积分练习册 第八章多元函数微分学习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px=1000-5Qx;PY=1 6 0 0-4 2 7公司X、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。（1）X 和 Y 当前的价格弹性是多少？（2）假定Y 降价后，使 Q Y 增加到300个单位，同时导致
19、X 的销量Q x下降到75个单位，试问X 公司产品的交叉价格弹性是多少？（利用弧交叉弹性公式：Erx=.2二0N/P乃 一P i）QX2+Py2+P y班级：姓 名：学号：2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：DA=(P r+KAIA)/PX,DB=KBIB/PX(1)商品X的市场需求函数；(2)计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，P r是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性微积分练习册 第八章多元函数微分学3.求下列函数的全微分/、s +1(1)u=-s-t(2)设 f(x,y,z)=d)I，求力(LU)y班级:姓名:学号:(3)z=ln(l+x2+y2
20、),求当 x=l,y=2,Ax=0.1,Ay=0.2 的全增量和全微分dz4.计算J(1.02)3+(1.97)3的近似值微积分练习册 第八章多元函数微分学习题8-4多元复合函数的求导法则1 .填空题X分7(1)设 Z=2 I n y 而=,y =3x -2y ,则一=_ _ _ _ _ _y dx-(2)设 z =rsi n(x-y)而x =3f,则 虫=dt(3)设-，而 y =a sm x,z =c os x ,则 一a+1-dx(4)设 z =a rc t a n(x y),而y=e*,则一 =dx设 =/（工2j/）,则？duSyu=f(x,xy,xyz)，则 二O X班级:姓名:学
21、号:1d2z2.设z=2 f(xy)+yf(x+y),f具有二阶连续导数，求 上 x dxdy3.设Z=/（X,三），/具有二阶连续偏导数，求 生!）dx微积分练习册 第八章多元函数微分学2 0）,求使产鱼总量最大的放养数班级：姓 名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为。=2 点 收，其 中 为 正 常 数，且 a+=1,假设两种要素的价格分别为0】和试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册 第九章 二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题(1)当函数/(x,y)在闭区域D上 时，则其在D上的
22、二重积分必定存在(2)二重积分尤,y)d S的几何意义是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _D(3)若/(x,y)在有界闭 区 域D上可积，且O n A n。？，当/(x,y)20时，则JJ7(x,y)db JJ/(x,y)d S；当/(x,y)W 0时，则 JJ/(x,y)d b JJ/(x,y)d b(4)j j s i n(x2+y2)J5 S,其中 5 是圆域 1 +/4 4 2 的面积，(2)A =Jj n(x+y)d S与 =JJ l n(x+，其中D DD -(x,y
23、)|3 x 5,0 y 1D3 =16%(注：填比较大小符号)2.比较下列积分的大小：(1)/,=JJ(x+y)2d s与 右=j j(x+y)3 d b其中积分区域D是由x轴，y轴与直D D线x +y =l所围成班级：姓 名：学号:3.估计卜.列积分的值(1)I=j j x y(x +y +i)dS,其中 D=(X,y)|0 x 1,0 y 2)D微积分练习册 第九章 二重积分(2)I=+9),其中 O =(x,y)|x 2+y 24 4 D4.求二重积分 Jj J l-V-y 2dbx2+y2l班级：姓名:学号:5.利用二重积分定义证明kf(x,y)db kf(x,y)d8(其中为上常数)
24、D D微积分练习册 第九章 二重积分习题9-2利用直角坐标计算二重积分1.填空题(1)“(/+3/y +y dS =其中 Z)：0 x l,0 y 0)DX所围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为2 p jlx-x2(5)将二次积分f dx/(x,y)d y改换积分次序，应为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _J 1 J 2-x伴 in xdx xf(x,y)dy改换积分次序，应用_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0 J-sin 2(7)将二次积分，d y J：/(x,y W x+J；
25、。办J：尸/(x，y)x改换积分次序，应为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(8)将二次积分，J：d yV/(x,y M x，改换积分次序，应为班级：姓 名：学号:2.计算下列二重积分：(1)xye +y2 d 6，其中 D=(x,y)a x b,c y dD(2),(/+/)乩%其中口是由直线丁=2广=彳，及y=2x所围成的闭区域.D微积分练习册 第九章 二重积分(3)JJJy /,其中);1 W x W 1,0 W y W 23.计算二次积分班级:姓名:学号:4.交换积分次序，证明：d y e f M d x =f (a-x)em(a
26、-xf (x)dx5.求由曲面z =X 2+2y 2及 =6 -y2所围成的立体的体积.微积分练习册 第九章 二重积分习题9-3 利用极坐标计算二重积分1.填空题(1)把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分|f(x2+y2,a r c t a n )dxdy=；x2+y22x Z)=(x,y)|l /+y2 x 1 卜八 dxdy=D(2)化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 J ：d x 广/(X2+y 2)d y =,(a A 0)Wd xfo/U x2+y2)dy=；J；d x J 匚 f(a r c t a n )dy=;J:小,y)dy=-班级：姓名：学号:2.计算下列二重积分(1
27、)J J l n(l +x 2+y 2)d S,其 中D是由圆周，+)，2=1及坐标轴所围成的在第一象限D内的闭区域.(2)2dxdy，其中D是由曲线y=/与直线y=x所围成的闭区域.微积分练习册 第九章 二重积分(3)J J F二 二T d S,其中 D 是由圆周%2+VR x所围成的闭区域(4)(2)即2+y 2-2“淇中 D:x2+y2 0)围成的区域为底，而以曲面z =/+)为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-1微分方程的基本概念1.填空题(1)方程一(了)4 3)/+y I n X =0称为 阶微分方程(2)设y =y(x,c”C 2,g)是方程y
28、-W +2 y的通解，则任意常数的个数n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程(4)设曲线y =y(x)上 任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a,则曲线所满足的微分方程(5)某人以本金P o元进行一项投资，投资的年利率为7,若以连续复利计，t年后资金的总额为p(f)=(6)方程y =x +ydx可化为形如 微分方程2.已知Q =cek,满足微分方程丝=-0.0 32，问C和K的取值应如何？班级：姓 名：学号3.、若可导函数/(X)满 足 方 程=力+1.，将(1)式两边J 0求
29、导，得r(x)=2(x).(2)易知/(x)=c e*(c为 任 意 常 数)是(2)的通解，从而/(x)=c e/为(1)的解，对吗？4.证明：y=。/+。2%间N 是微分方程/）/一盯+y=0 的通解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程（一）1.求卜 列微分方程的通解:J+3工(2)y+-=0y 3ex tan ydx+(2-e*)sec2 ydy=0班级：姓 名：2.求卜列微分方程满足所给初始条件的特解：.7 1(1)sin y cos xdy=cos y sin xdx,y v=0=学号:(2)xi+ydx-4=。,心。13 镭的衰变速度与它的现存量R成
30、正比，有资料表明，镭 经 过 1 60 0 年后，只余原始量 尺 的一半，试求镭的量R 与时间f 的函数关系微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程(二)1.填空题(1)设 y*是 虫+p(x)y=Q(x)的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程dx的通解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _r 1(2)y*=是 方 程 盯+y=x e，的 一 个 特 解，则 其 通 解 为x(3)微分方程孙+y-y2nx=Q作变换 可化为一阶线性微分方程(4)(x +y)y+(x-y)=0 的通解为X X x(5)(1+2 )心+2(1-一)dy=0 的通解为y2.求下
31、列微分方程的通解:(1)xy+y=x2+3x+2班级：姓 名：学号:（x-2x y-y2）y +y2=o3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:立+ycotx=5e8s,y.=-4dx*=不微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.用适当的变量代换将卜列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:(2)xyr+y=y(l n x +I n y)班级：姓 名：学号:5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2x +y,求该曲线的方程6.设/(%)可微且满足关系式J：2 f it)-1力=/(x)-1,求/(x)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-3 一阶微分方程在经济
32、学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为丝=-P(lnP +l),且当P=1时，需求量Q=1EP(1)求商品对价格的需求函数(2)当P f+o o 时，需求量是否趋于稳定？2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性 =3P2,而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数班级：姓 名：学号：3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q =$S=b p其中a 0力 0为常数，价格P是时间，的函数，且满足 =k0(p)S(p)(左为正常数)假设当f=0时，价格为1,试求：(1)需求量等于供给量的均衡价格匕(2)价格函数p(f)(3)lim p(f)/-+oo微积分练习册 第十章 微分方程与差
33、分方程4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N,在，=0时 刻 已 掌 握 新 技 术 的 人 数 为,在任意时刻t已掌握新技术人数为xQ),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k 0求 x(f)班级：姓 名：学号：5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%,希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若f 以年为单位，写出余额8=/“）所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B 为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-4可降阶的二阶微分方
34、程1.填空题(1)微分方程y=的通解为.(2)微分方程y=l+(y)2的通解为.(3)微分方程y=y+x 的通解为.(4)微分方程yy+(y)2=的通解为.2(5)微分方程y+(y)2=0 的通解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.i-y(6)设=x 2 与%=/历 尤 是 方 程 3盯+4y=0 的特解，则其方程的通解为.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解/+1 =。，心=*心=。.班级:姓名:学号:3.求下列微分方程满足初始条件的特解:了 一 2=0,九0=0,小。=-1 卜 微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程X4.试求y=x的经过点M(O,1)且在此点与直线y=
35、+l相切的积分曲线5.验证必=2及 为=%/2都是方程),4盯+(4-2)y =0的解，并写出该方程的通解.班级:姓名:学号:6.设函数弘(x),y2(x),%(x)均是非齐次线性方程d2ydx2+a(x)今+b(x)y =/(x)的特解，其中a(x),6(x),/(x)为已知函数，而 且)2(x)y(x)声常数,求证y(x)=(1-c,-c2)y 1(x)+cly,(x)+c2y3(x)(6了?为任意常数)是该方程的通解.7.证 明 函 数y=cex+c2e2x+e5x(c1,c2是 任 意 常 数)是 方 程了 3 0)二阶可导,且y M 0,(0)=1,过曲线y =y(x)上任意一点p(
36、x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为邑，区间 0,幻 上 以y =y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S 2,恒 有2.%-$2=1，求曲线y =y(=的方程.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-6 差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构1.填空题(1)设=e 贝 U 丫、=(2)设打=x2,贝 ij=(3)设 yx=co s 2x，贝 ij Ayx=(4)差分的运算法则：A(cy J =(”,+Z x)=-2.已 知=e*是方程居+a yx=2ex的一个解，求 a.班级:姓名:学号:3.求下列函数的二阶差分(1)y=e3x(2)=
37、2x3-x2(3)y =l o g x (aO,l)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.给定一阶差分方程yx+l+pyx-A ax,验证：A(1)当p+a=O时，yx.=-/是方程的解.p+a(2)当p+a=O 时，是方程的解班级:姓 名：学号:习题107 一阶常系数线性差分方程（一）1.填空题（1）一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 差 分 方 程 打+1 =0 （a H 0）的 通 解 为2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：2匕旬-3 y工=0（2）八+%=0（3）兀+1兄=0微 积 分 练 习 册 第 十 章 微 分 方 程 与 差 分 方 程习题10-7 一阶常系数线性差
38、分方程(二)1.填空题(1)若/(x)=p“(x)，则一阶常系数非齐次线性差分方程y用一=/(x)具有形如y；=的特解.当1不是特征方程的根时，k=;当1是特征方程的根时，k=.2.求卜列一阶差分方程在给定初始条件下的特解(1)2y x M+5 =0且%=3班级:姓名:学号:(2)Ay v=0,且=23.求下列一阶差分方程的通解 A y*-4 y*=3(2)yx+i+4 yv=2 x2+x +l微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程%+i-g y,=2,（4）%+i +%=2班级：姓 名：4.求卜列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解 八+1 +4 y x =2x?+%-2且%=1学号:八+
39、i+L =2,且 先=2微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-9 差分方程的经济应用1.（存款模型）设S,为f年末存款总额，r为年利率，有关系式5,+1=5,+rS,且初始存款为5(),求f年末的本利和.班级：姓 名：学号：2.设某产品在时期f的价格，总供给与总需求分别为C，S,与对于f =0,1,2,有S,=2Pl+l关系式：D,=-4 P,_t+4S,=D,(1)求证：由 关 系 式 可 推 出 差 分 方 程+2Q =2；(2)%已 知 时，求该方程的解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程3.设 为t期国民收入，c,为f期消费，I为 投 资(各 期 相 同)，三者有关
40、系式y,=c,+/,c,=；+,其中0 a 0己知t=0时，y,=y0,试求yt和c,班级：姓 名：学号：4.设某商品在f时期的供给量的与需求量4都是这一时期该商品价格P,的线性函数，已 知 环=3 -2,d,=4-5p,且在f时期的价格P,由 及 供 给 量 与 需 求 量 之 差S,_1-4T按关系式Pi=P-1-77（s,-i-）确定试求商品的价格随时间变化的规律.微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-1 常数项级数的概念和性质1.填空题6（1）“收敛，则 l i m”，；一%+3）=”-8=1c o(2)收敛，且s“=q+。2 +%，则l i m +1+S“T-2S“)=一 8n
41、=i(3)(；+1)+(*+*)+(:+)+的和是-00 8(4)若Z“的和是3,贝 的 和 是n=n=38 8 fit(5)X,的和是2,贝UX的和是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n=l n=l 2(6)当 国 i时，的和是n=l2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性(，1)、6y-1-(2 1)(2+1)班级:姓 名：学号:8 _ _(2)(J +2 -2,+1 +)n=3.判断卜列级数的敛散性(1)(-1 严n=l微积分练习册 第十一章 无穷级数 H(-irc4-r=i 5E（|）n=乙(4)V O.O O l=l班级:姓名:学号:8EW=12+
42、3 6（6）L i+U+-J+5 2 5 5 微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-2 正项级数及其审敛法1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性:8 1(1)Z 7 1 ny/n+1（2）Xe；1+T c o s2-2图1 +n0 0 _Z.7Ts m 7=1 乙班级:姓名:学号:2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性:oo o）0(-1),=2 Inn8 O P 83.已知级数z。；和 都 收 敛，试证明级数、，也，绝对收敛=1 n=l n=微积分练习册 第十一章 无穷级数习题11-4泰勒级数与毫级数（一）1.填空题0 0 r 3（1）若基级数Z%（=）在
43、x=0处收敛，则在x=5处_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（收敛、发n=l 2散）.C8（2）若l i m q =2,则基级数%炉的收敛半径为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.c“+i M（3）（3）x 的收敛域.=1 （4）3 +（：1）”.的收敛域n=0 38 2?i +l（5）y（-i）n-的收敛域_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.“I 2 I n（6）2）的收敛域.2.求下列基级数的收敛域：XE=12n+1班级:姓名:学号:8En=l2 n-l2x3n产,1 自 救”微积分练习册 第十一章 无穷级数8 0 03.若 基 级 数 的
44、收 敛 域 是 -9,9,写出Z 4 x”的收敛域n=l=14.利用逐项求导或逐项积分，求卜.列级数在收敛区间内的和函数(1)X T,(T X 1)/J=l班级：姓 名：学号:2?1-i产 1P(Tx 0)(2)ax,(a 0 且 w 1)(3)s i n2 x班级:姓名:学号:(4)(1 +x)l n(l +x)2.将 函数/(8)=了 在/=1 处展开成幕级数.微积分练习册 第十一章 无穷级数3.将函数“x)=一展开成(x-2)的基级数.3+12x4-14.将函数/(x)-展开成(x-2)的基级数.x+X-2班级:姓 名：学号:5.将函数/(x)=e 3 x在x=1处展开成幕级数生 86.
45、设/“=s i n xcosxdx,n=0,1,2-,求，/.?i=0微积分(下)练习册模拟试卷一微积分(下)模拟试卷一一、填 空 题(3 X 5 =1 5)及1.设由方程x+y+z 二 夕 确 定 是 的 函 数，则k=dx2.设 f(x,y,z)=(2)三，则(1,1,1)=.X3 .j j J _.2 _ y2dM y=.x2+y2 0 也 0),证明：若收敛，则收敛.a”n=n=l微 积 分（下）练习册模拟试卷二微 积 分（下）模拟试卷二一、单项选择题（每小题3分，共5小 题15分）I.二元函数Z=/（x,y）在点（工。,。）的偏导数存在，是在该点可微的（）A.充分条件 B.必要条件
46、C.充要条件 D.无关条件2.设 D 是 圆 域 +y2 4 a 2,伍0）。是D在 第 一 象 限 部 分 区 域，则jj(x+y+l)d c r=()0A.4 jj(x+y+l)d(r 6 J J(x+y+)d(y3.下列级数中发散的级数是（）挖，这a点3n=i n（n+1）,I=I n“J nC.jua1 D.OC C 1”=1乙4.微分方程y y=e +l的一个特解应有形式（式中“力 为常数）（）A.aex+h B.axex+bx C.ae+bx D.axe+b5.函数z =x y在（0,0）点处一定为（）A.极大值 B.极小值 C.无法确定 D.不取得极值二、填 空 题（每小题3分，
47、共5小 题15分）1.z =*在 点（2,I）处的全微分d z =.2.a2-x2-y2d a =其中+D8 2/73.若级数V Q，“L）收敛，贝 I li m un=_ _ _ _ _ _ _.急 n+1 1 84 .幕 级 数 二 的收敛域是.5 .若是二阶线性非齐次微分方程的两个解为3+/,丁、+3+f 且相应齐次方程的一个解为x,则 该 非 齐 次 方 程 的 通 解 为.班级：姓 名：学号：三、计 算 题（每小题7 分，共 7 小题4 9分）1.求 过 点（3,I,-2）且 通 过 直 线 二=二=三 的 平 面 方 程.5 2 1a2 72.设z =/（盯,/+*,其 中/具有二
48、阶连续偏导数求箸.oxoy3.交换积分次序求 dx,Xy dy.J。j 7 1 74.求级数X x T，(l x 1)的和函数.n=l微 积 分(下)练习册模拟试卷二5.求微分方程包 y t a n x =s e c x满足y(0)=0的特解.dx76.求 差 方 程 一5匕=3,%=的特解.7.在抛物线上求.点p,使P处的切线、抛物线及两坐标轴所围图形的面积达到最小.班级：姓 名：学号:四、应 用 题（每小题8分，共 2 小 题 16 分）1 .求由曲面z =X?+2/及 =6-2 2 一 所围成的立体体积.2.欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3 元，侧面造价为每平方米1元，现
49、想用36 元造一个容积为最大容器，求它的尺寸.五、证 明 题（本题5分）设/（x）在 x =0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 l im3 =0,证明级数X f。Xf/d）绝对收敛.=1 习题771.(1)(2)(3)(4)2.4.习题参考答案M V,V ID,III；(一3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1),(一3,-2,1),(3,一2,-1)；(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；(Q,Q,-Q),(-Q,Q,Q),(-Q,-Q,Q),(Q,-Q,Q)7,-74 30,-726 2；3.(6,1,19),(9
50、,-5,12)；2 2(-1,2,4),(8,-4,-2)；5.V 34,V 4 1,5;6.(0,1,-2)习题7-2-1 11.(1)-25;(2)&-a;(3)(-2,5,-14);(4)2;(5)k(3,1,-2);2 V 142.-2；1；2；3；3.同 附 2卜 2,c os a =-1/2,c os p72121,CO S T =-,a =,22 22 34.(3)/777T；6.1062习题7-4 (-)1.3x 7y +5 z-4 =0;(2)9y z 2=0;(3)+BB2+ClC2=0,A=4=GA2 B2 C2(4)2;(5)-+-+=l；(6)(1,-3)；2.2x