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1、第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数用代数的方法研究几何问题称为解析几何用代数的方法研究几何问题称为解析几何平面解析几何平面解析几何一元微积分一元微积分空间解析几何空间解析几何多元微积分多元微积分本章的主要内容本章的主要内容 :1 1 向量和向量的运算向量和向量的运算;2 2 空间曲面和曲线空间曲面和曲线;3 3 空间的平面和直线空间的平面和直线;4 4 二次曲面二次曲面.1第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系一一一一.空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系图图9-1 9-1 空间直角坐标系空间直角坐标系右手系右手系x 轴轴,横轴横轴y 轴轴,纵轴
2、纵轴z 轴轴,竖轴竖轴坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴面面面面面面坐标平面坐标平面第二卦限第二卦限:第三卦限第三卦限:第四卦限第四卦限:第五卦限第五卦限:第六卦限第六卦限:第七卦限第七卦限:第一卦限第一卦限:第八卦限第八卦限:三个坐标面把空间分隔成三个坐标面把空间分隔成 八个部分，每个部分称为卦限。八个部分，每个部分称为卦限。3M M点点P,Q,R称为点称为点M 在坐标轴在坐标轴 上的上的投影投影.分别叫做点分别叫做点M 的的横坐标横坐标,纵坐标纵坐标,竖坐标竖坐标.点点M 记为记为:点点M 的坐标的坐标 PQR空间一点空间一点唯一确定一个唯一确定一个有序数组有序数组一个有序数组一个有序数组确定唯
3、一点确定唯一点4既不在原点既不在原点,也不在坐标轴或坐标面上，也不在坐标轴或坐标面上，坐标轴和坐标平面上的点的特征坐标轴和坐标平面上的点的特征 5-空间两点间的距离公式。空间两点间的距离公式。二二二二.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式x1x2y2y1z1z2P P特殊的特殊的6解解即即为等腰三角形。为等腰三角形。的三角形是一等腰三角形。的三角形是一等腰三角形。例例1 求证以求证以三点为顶点三点为顶点因为因为7例例2.在在 Z 轴上求与两点轴上求与两点 A(-4,1,7)和和 B(3,5,-2)等距离的点。等距离的点。解得解得所求的点为所求的点为解
4、解8数量或标量数量或标量：只有大小的量只有大小的量,如长度如长度,面积面积,体积体积,温度等；温度等；向量或矢量向量或矢量：不仅有大小不仅有大小,而且有方向而且有方向,如速度如速度,加速度加速度,力力,位移等；位移等；有向线段的方向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段来表示向量用有向线段来表示向量:有向线段的长度表示向量的大小有向线段的长度表示向量的大小,记作：记作：M1M2向量用向量用等表示。等表示。第二节第二节 向量及其加减法向量及其加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法 一一一一.向量概念向量概念向量概念向量概念自由向量自由向量：与起点无关的向量（简称向量）。与起点无关的
5、向量（简称向量）。单位向量单位向量：模等于模等于 的向量。的向量。零向量零向量：模等于零的向量。记作模等于零的向量。记作注注：零向量的起点和终点重合，：零向量的起点和终点重合，方向可任意。方向可任意。原点原点 O 为起点为起点,M 为终点的向量为终点的向量 点点 M 对于点对于点 O 的向径的向径:两个向量相等两个向量相等：大小相等，大小相等，方向相同方向相同。记作。记作向量的模向量的模：向量的大小。记作向量的大小。记作两个向量平行两个向量平行：两个两个非零非零向量的方向相同或相反。向量的方向相同或相反。规定规定：零向量与任何向量平行。：零向量与任何向量平行。记作记作10二二二二.向量的加减法
6、向量的加减法向量的加减法向量的加减法向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：则则11向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：向量加法符合下列规律：向量加法符合下列规律：(1)(1)交换律：交换律：(2)(2)结合律：结合律：则则12n 个向量的和：个向量的和：负向量负向量：与：与 的模相同而方向相反的向量叫做的模相同而方向相反的向量叫做 负向量。负向量。记作记作 向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则 13两个向量的差两个向量的差:规定：规定：特别地：当特别地：当 时，有时，有其中等号当其中等号当 与与 同向或反向时成立。同向或反向时成立。14三三三三.向量与数的乘法（数乘向
7、量）向量与数的乘法（数乘向量）向量与数的乘法（数乘向量）向量与数的乘法（数乘向量）向量向量与实数与实数的乘积记作的乘积记作规定：规定：规定：规定：是一个向量，是一个向量，当当 当当 时，时，时，时，它的模它的模:它的方向它的方向:与与 相同相同相反相反15数乘的运算规律数乘的运算规律 :(1)(1)结合律结合律:(2)(2)分配律分配律:定理定理定理定理1 1 1 1 证证充分性充分性 设设取取必要性必要性 显然显然(数乘向量及平行的定义数乘向量及平行的定义)。当当 与与 反向时，反向时，取负值。取负值。当当 与与 同向时，同向时，取正值；取正值；规定规定:先证先证的存在性：的存在性：(1)与
8、与同向同向;16即有：即有：大小相等大小相等 再证再证的唯一性：的唯一性：证毕证毕(2)(2)17模为模为1 1规定规定 时，时，则，则 设设表示与表示与 同方向的单位向量，同方向的单位向量，方向相同方向相同；则则（1）与与由于由于 的模为：的模为：（2）与与的的模也相同模也相同。18例例1 在平行四边形在平行四边形 ABCD 中，设中，设求：求：其中其中 M 是平行四边形的对角线的交点。是平行四边形的对角线的交点。解解19小结：小结：1空间直角坐标系、坐标轴、坐标平面、卦限空间直角坐标系、坐标轴、坐标平面、卦限2空间内的点及其坐标空间内的点及其坐标3空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式4向量的概念向量的概念5向量的加法与减法向量的加法与减法6数乘向量数乘向量20