《福州第三中学2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷(含解析)35555.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福州第三中学2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷(含解析)35555.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 学年高考数学模拟测试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若22nxx的二项式展开式中二项式系数的和为 32，则正整数n的值为（）A7 B6 C5 D4 2集合2|4,My yxxZ的真子集的个数为()A7 B8 C31 D32
2、3已知复数z满足(1)2zi，其中i为虚数单位，则1z（）Ai Bi C1 i D1i 4设等差数列 na的前 n 项和为nS，且80S，33a ，则9S()A9 B12 C15 D18 5如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A212 B212 C612 D312 6已知函数 2ln2,03,02xxx xf xxx x的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对称点在 1ykx的图像上，则实数k的取值范围是（）A1,12 B1 3,2 4 C1,1
3、3 D1,22 7如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A3 B4 C5 D6 8已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一个焦点为F，点,A B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于,M N两点，若|MN|=2，ABF的面积为 8，则C的渐近线方程为（）A3yx B33yx C2yx D12yx 9已知12,F F是双曲线222:1(0)xCyaa的两个焦点，过点1F且垂直于x轴的直线与C相交于,A B两点，若2AB，则2ABF的内切圆半径为（）A23 B33 C3 23 D2 33 10已知等比数列 na的各项均为正数，设其前 n 项和nS，若1
4、4nnna a（nN），则5S（）A30 B312 C15 2 D62 11已知函数ln(1),0()11,02xxf xxx，若mn,且()()f mf n，则nm的取值范围为（）A32ln 2,2)B32ln 2,2 C1,2)e D1,2e 12盒中装有形状、大小完全相同的 5 张“刮刮卡”，其中只有 2 张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出 2 张，则至少有一张有奖的概率为()A12 B35 C710 D45 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知关于x的不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，则实数a的取值范围为_ 14实数,x y满足2201
5、020 xyxyxy，则2zxy的最大值为_ 15已知平面向量,2am，1,3b，且bab，则向量a与b的夹角的大小为_ 16在三棱锥PABC中，ABBC，三角形PAC为等边三角形，二面角PACB的余弦值为63，当三棱锥PABC的体积最大值为13时，三棱锥PABC的外接球的表面积为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）11 月，2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得
6、1 分，未命中者得-1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过 1 轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；（2）若经过n轮投球，用ip表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.求,p pp；规定00p，经过计算机计算可估计得11(1)iiiipapbpcpb，请根据中,p pp的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列 np的通项公式.18（12 分）设函数2()|()f xxaxaaaR（1）当1a 时，求不等式()5f x 的解集；（2）若存在 1,0a，使得不等式(
7、)f xb对一切xR恒成立，求实数b的取值范围 19（12 分）已知直线l的参数方程为1 324xtyt （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos4.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点(1,2)P，直线l与曲线C交于,A B两点，求|ABPAPB的值.20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B，2B，F为其右焦点，1111B A B F，且该椭圆的离心率为12；（）求椭圆C的标准方程；（）过点1A作斜率为k的直线l交椭圆C于x轴上方
8、的点P，交直线4x 于点D，直线2A D与椭圆C的另一个交点为G，直线OG与直线1A D交于点H若11APAH，求取值范围 21（12 分）如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB2，AF1，M 是线段 EF 的中点 求证：(1)AM平面 BDE；(2)AM平面 BDF.22（10 分）在直角坐标系xOy中，圆 C 的参数方程1 cossinxy（为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2 sin3 33，射线:3OM与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段P
9、Q的长.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】由二项式系数性质，()nab的展开式中所有二项式系数和为2n计算【题目详解】22nxx的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5nn 故选：C【答案点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键 2、A【答案解析】计算2,3,0M，再计算真子集个数得到答案.【题目详解】2|4,2,3,0My yxxZ，故真子集个数为：3217.故选：A.【答案点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算
10、能力.3、A【答案解析】先化简求出z，即可求得答案.【题目详解】因为(1)2zi，所以2 12 1211112iiziiii 所以111zii 故选：A【答案点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.4、A【答案解析】由80S，33a 可得1,a d以及9a，而989SSa，代入即可得到答案.【题目详解】设公差为 d，则1123,8 780,2adad 解得17,2,ad 9189aad，所以9899SSa.故选：A.【答案点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.5、D【答案解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截
11、面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为43，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d，而截面到球体最低点距离为312，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.6、A【答案解析】可将问题转化，求直线 1ykx关于直线1y 的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k的取值范围即可【题目
12、详解】可求得直线 1ykx关于直线1y 的对称直线为1ymxmk，当0 x 时，ln2f xxxx，ln1fxx，当xe时，0fx，则当0,xe时，0fx，f x单减，当,xe时，0fx，f x单增；当0 x 时，232f xxx，322fxx，当34x ，0fx,当34x 时，f x单减，当304x时，f x单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1ymx与 232f xxx（0 x）相切时，得0，解得12m ；当1ymx与 ln2f xxxx（0 x）相切时，满足ln21ln1yxxxymxmx，解得1,1xm，结合图像可知11,2m ，即11,2k ，1,12k 故选：A【答案点睛】本题
13、考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 7、A【答案解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，执行上述的程序框图：第 1 次循环：满足判断条件，2,1xy；第 2 次循环：满足判断条件，4,2xy；第 3 次循环：满足判断条件，8,3xy；不满足判断条件，输出计算结果3y，故选 A【答案点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 8、B【答案解析】由双曲线的对称性可得ABFAFFS
14、S即8bc，又222bMNc，从而可得C的渐近线方程.【题目详解】设双曲线的另一个焦点为F，由双曲线的对称性，四边形AFBF是矩形，所以ABFAFFSS，即8bc，由22222221xycxyab，得：2byc，所以222bMNc，所以2bc，所以2b，4c，所以2 3a，C的渐近线方程为33yx.故选 B【答案点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.9、B【答案解析】首先由2AB 求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【题目详解】由题意1b 将xc 代入双曲线C的方程,得1ya 则
15、22,2,3aca,由212122 2AFAFBFBFa,得2ABF的周长为 2211|22|42|6 2AFBFABaAFaBFABaAB,设2ABF的内切圆的半径为r,则1136 22 32,223rr,故选：B 【答案点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.10、B【答案解析】根据14nnna a，分别令1,2n，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前 n 项和公式进行求解即可.【题目详解】设等比数列 na的公比为q，由题意可知中：10,0aq.由14nnna a，分别令1,2n
16、，可得124a a、2316a a，由等比数列的通项公式可得：11121142162a a qaa q a qq，因此552(12)31 212S.故选：B【答案点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.11、A【答案解析】分析：作出函数 f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数 f x的图象，如图所示，若mn，且()f mf n，则当ln(1)1x时，得1xe，即1xe，则满足01,20nem，则1ln(1)12nm，即ln(1)2mn，则22ln(1)nmnn，设
17、22ln(1),01h nnnne ，则 21111nh nnn，当 0h n，解得11ne，当 0h n，解得01n，当1n 时，函数 h n取得最小值 11 22ln(1 1)3 2ln2h ，当0n 时，022ln12h；当1ne 时，11 22ln(1 1)12h eeee ，所以32ln 2()2h n，即nm的取值范围是32ln 2,2)，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.12、C【答案解析】先计
18、算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【题目详解】从 5 张“刮刮卡”中随机取出 2 张，共有2510C 种情况，2 张均没有奖的情况有233C（种），故所求概率为3711010.故选:C.【答案点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、,3 【答案解析】先将不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立,转化为3ln1lnxxexax任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxxexf
19、xx，求出 f x在1,内的最小值,即可求出a的取值范围.【题目详解】解：由题可知，不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，即33ln3ln31111lnlnlnlnxxxxxxexx exeexexxaxxxx，又因为(1,)x，ln0 x，3ln1lnxxexax对任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxxexf xx，其中1,x，由不等式1xex，可得：3ln3ln1xxexx，则 3ln13ln113lnlnxxexxxxf xxx ，当3ln0 xx时等号成立，又因为3ln0 xx在1,内有解，min3f x，则 min3af x，即：3a ，所以实数a的取值范围：,3.
20、故答案为：,3.【答案点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.14、52【答案解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【题目详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2zxy过点C时直线的截距最大，z 取最大值 由12021032xxyxyy 1 3(,),2 2C同理(0,2),B(1,0),A 52Cz，2Bz，2Az 52cz取最大值 故答案为：52【答案点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对
21、于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.15、4【答案解析】由bab，解得4m，进而求出2cos,2a b，即可得出结果.【题目详解】解：因为()bab，所以 1,31,11 30mm，解得4m，所以 22224,21,32cos,24213a b，所以向量a与b的夹角的大小为4 都答案为：4.【答案点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题 16、8【答案解析】根据题意作出图象,利用三
22、垂线定理找出二面角PACB的平面角,再设出,AB BC的长,即可求出三棱锥PABC的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥PABC的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥PABC的外接球的表面积.【题目详解】如图所示：过点P作PE 面ABC,垂足为E,过点E作DEAC交AC于点D,连接PD.则PDE为二面角PACB的平面角的补角,即有6cos3PDE.易证AC 面PDE,ACPD,而三角形PAC为等边三角形,D为AC的中点.设,ABa BCb,22ACabc.33sin232cPEPDPDEc.故三棱锥PABC的体积为 223
23、111322121212224cccabcVababcab 当且仅当22abc时,3max1243cV,即2,2abc.,B D E三点共线.设三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R.过点O作OFPE于F,四边形ODEF为矩形.则21ODEFR,6cos323DEOFPDPDE,1PE,在Rt PFO中,222211RR,解得22R.三棱锥PABC的外接球的表面积为248SR.故答案为：8【答案点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.三、解答题：共 70
24、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析；（2）1231743,636216ppp；116177iiippp，11156nnp.【答案解析】（1）经过 1 轮投球，甲的得分X的取值为1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件A，乙投中为事件B，,A B相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p，由两轮的得分可计算出2p，计算3p时可先计算出经过 2 轮后甲的得分Y的分布列（Y的取值为2,1,0,1,2），然后结合X的分布列和Y的分布可计算3p，由00p，代入11(1)iiiipapbpcpb，得两个方程，解得,a c，从而得到数列np的递推式，变形后得1nnpp
25、是等比数列，由等比数列通项公式得1nnpp，然后用累加法可求得np【题目详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A，乙命中为事件B，,A B相互独立，由题意1()2P A，2()3P B，甲的得分X的取值为1,0,1，(1)()P XP AB 121()()(1)233P A P B，(0)()()()()()()P XP ABP ABP A P BP A P B12121(1)(1)23232，121(1)()()()(1)236P XP ABP A P B，X的分布列为：X 1 0 1 P 13 12 16（2）由（1）116p，2(0)(1)(1)(0)(1)pP XP XP XP XP X
26、111117()2662636，同理，经过 2 轮投球，甲的得分Y取值2,1,0,1,2：记(1)P Xx，(0)P Xy，(1)P Xz，则 2(2)P Yx，(1)P Yxyyx，2(0)P Yxzzxy，(1)P Yyzzy，2(2)P Yz 由此得甲的得分Y的分布列为：Y 2 1 0 1 2 P 19 13 1336 16 136 3111111131143()()3362636636636216p，11(1)iiiipapbpcpb，00p，1212321papbppapbpcp，71136664371721636636ababc，6(1)717babc，代入11(1)iiiipap
27、bpcpb得：116177iiippp，111()6iiiipppp，数列1nnpp是等比数列，公比为16q，首项为1016pp，11()6nnnpp 11210()()()nnnnnppppppp111111()()(1)66656nnn【答案点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过 2 轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率 18、()|23xx.(),0.【答案解析】()1a 时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求
28、不等式 5f x 的解集即可；()不等式 f xb的解集为R，等价于 minf xb，求出 f x在1,0a 的最小值即可【题目详解】()当1a 时，21,1123,1221,2xxf xxxxxx 1x 时，不等式 5f x 化为215x，解得2x，即21x 12x 时,不等式 5f x 化为35，不等式恒成立，即12x 2x 时,不等式 5f x 化为215x，解得3x，即23x 综上所述，不等式 5f x 的解集为|23xx ()不等式 f xb的解集为R minf xb 2222f xxaxaaxaxaaaa 2min2f xaab对任意1,0a 恒成立 22211aaa 当0a 时，
29、22aa取得最小值为0 实数b的取值范围是,0【答案点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型 19、（1）4320 xy；22220 xyxy（2）5【答案解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【题目详解】解：（1）直线l的参数方程为1 324xtyt （t为参数），转换为直角坐标方程为4320 xy.曲线C的极坐标方程为2 2cos4.转换为2cos2sin，转换为直角坐标方程为22220 xyxy.（2）直线l
30、的参数方程为1 324xtyt （t为参数），转换为标准式为315425xtyt （t为参数），代入圆的直角坐标方程整理得2430tt，所以124 tt，1 23t t.2121 2121 21 2|45ABPA PBttt tttt tt t.【答案点睛】本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化，及求三角形面积需要熟记极坐标系与参数方程的公式，及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路 20、（）22143xy；（）5(3，3)【答案解析】（）由题意可得11B A，1B F的坐标，结合椭圆离心率，1111B A B F 及隐含条件列式求得a，b的值，则椭
31、圆方程可求；（）设直线1:(2)AD yk x，求得D的坐标，再设直线2:3(2)A D yk x，求出点G的坐标，写出OG的方程，联立OG与1AD，可求出H的坐标，由11APAH，可得关于k的函数式，由单调性可得取值范围【题目详解】（）1(,0)Aa，1(0,)Bb，(c,0)F，11(,)B Aab，1(,)B Fcb，由1111B A B F，得21bac，又12ca，222abc，解得：2a，3b，1c 椭圆C的标准方程为22143xy；（）设直线1:(2)(0)AD yk xk，则与直线4x 的交点(4,6)Dk，又2(2,0)A，设直线2:3(2)A D yk x，联立223(2)
32、143yk xxy，消y可得2222(1 12)484840kxk xk 解得22242(1 12kGk，212)1 12kk，联立22(2)143yk xxy，得2268(34kPk，212)34kk，直线26:121kOG yxk，联立26121(2)kyxkyk x，解得22242(125kHk，212)125kk，11APAH，(2Px，)(2PHyx，)Hy，PHyy，22222125129443344343PHykkykkk，函数24()343f kk在(0,)上单调递增，5()(3f k，3)【答案点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在
33、考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力 21、（1）见解析（2）见解析【答案解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设 ACBDN，连结 NE.则 N22,022，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M22,122.NE22,122，AM22,122.NEAM且 NE 与 AM 不共线NEAM.NE平面 BDE，AM平面 BDE，AM平面 BDE.(2)由(1)知AM22,122，D(2，0，0)，F(2，2，1)，DF(0，2，1)，AMDF0，AMDF.同理 AMBF.又 DFBFF，AM平面 BDF.22、（1）2cos；（2）2【答案解析】（1）首先利用221cossin
34、对圆 C 的参数方程1xcosysin（为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐标方程（2）设11P（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11，；设22Q（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22，可得PQ【题目详解】（1）圆 C 的普通方程为2211xy，又cosx，siny 所以圆 C 的极坐标方程为2cos.（2）设11,，则由23cos解得11，13，得1,3P；设22Q,，则由2 sin3 333解得23，23，得3,3Q；所以Q2【答案点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.