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1、 专题 11.9 离散型随机变量的均值与方差 1.（广东省河源一中 2019 届期中）口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的期望为()A.13 B.23 C.2 D.83【答案】D 【解析】因为口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个，所以取出的球的最大编号 X 的可能取值为 2,3，所以 P(X2)1C2313，P(X3)C12C11C2323，所以 E(X)21332383.2.（陕西省安康一中 2019 届期末）已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4)，且 P(X1)0.5
2、，P(X2)0.3，则 P(X0)()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】B 【解析】因为随机变量 X 服从正态分布 N(a,4)，所以曲线关于 xa 对称，且 P(Xa)0.5.由 P(X1)0.5，可知 a1，所以 P(X0)P(X2)0.3，故选 B.3.（甘肃省张掖一中 2019 届期中）已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在98,104内的产品估计有()(附：若 X 服从 N(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5)A.4 093 件 B.4
3、772 件 C.6 827 件 D.8 186 件【答案】D 【解析】由题意可得，该正态分布的对称轴为 x100，且 2，则质量在96,104内的产品的概率为 P(2X2)0.954 5，而质量在98,102内的产品的概率为 P(X)0.682 7，结合对称性可知，质量在98,104内的产品的概率为 0.682 70.954 50.682 720.818 6，据此估计质量在98,104内的产品的数量为 10 0000.818 68 186(件).4.（福建省厦门一中 2019 届期末）某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮
4、通过，否则不通过.已知队员甲投篮 1 次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X 的期望是()A.3 B.83 C.2 D.53【答案】B 【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P21323232389，未通过的概率为19.X 服从二项分布 XB3，89，由二项分布的期望公式，得 E(X)38983.5.（一中 2019 届期中）某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设 为回答正确的题数，则随机变量 的数学期望 E()()A.1 B.43 C.53 D.2
5、【答案】B 【解析】由已知得 的可能取值为 0,1,2,3.P(0)12122316，P(1)121223121223121213512，P(2)12122312121312121313，P(3)121213112.E()0161512213311243.6.（浙江省衢州一中 2019 届期末）已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4【答案】C【解析】由 0.5m0.21 得 m0.3，E(X)10.530.350.22.4，D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20
6、.22.44.7.（江苏省镇江一中 2019 届期中）一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(nN*)个黑球.现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)1，则 E(X)()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1，p12，E(X)4p4122.8.（湖南省益阳一中 2019 届期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已
7、打局数 X 的期望 E(X)为()A.24181 B.26681 C.27481 D.670243【答案】B【解析】依题意，知 X 的所有可能值为 2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为23213259.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(X2)59，P(X4)49592081，P(X6)4921681，故 E(X)259420816168126681.9.（河南省新乡一中 2019 届期中）已知随机变量 的分布列为 1 2 3 P 0.5 x y 若 E()158，则 D()_.【答案】556
8、4【解析】由分布列性质，得 xy0.5.又 E()158，得 2x3y118，可得x18，y38.D()1158212215821831582385564.10.（湖北省鄂州一中 2019 届期末）在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数 为，则数学期望 E()_，方差 D()的最大值为_.【答案】p 14【解析】记事件 A 发生的次数 可能的值为 0，1.0 1 P 1p p 数学期望 E()0(1p)1pp，方差 D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)14.故数学期望 E()p，方差 D()的最大值为14.11.（安徽省马鞍山二中 2019 届模拟）从装有
9、除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球个数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)()A.85 B.65 C.45 D.25【答案】B【解析】由题意，XB5，3m3，又 E(X)53m33，m2，则 XB5，35，故 D(X)53513565.12.（安徽省宣城一中 2019 届模拟）某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮 1 次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X 的期望是()A.3 B
10、.83 C.2 D.53【答案】B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 p89，通不过的概率为19.由题意可知，甲 3 个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0，1，2，3，则 P(X0)1931729；P(X1)C138919224729；P(X2)C2389219192729；P(X3)512729.随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 1729 24729 192729 512729 数学期望 E(X)017291247292192729351272983，或由二项分布的期望公式可得 E(X)83.13.（广西省百色一中 2019 届模拟）设随机变量 服从正态分布 N(，2)，
11、函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12，则 等于()A.1 B.2 C.4 D.不能确定【答案】C 【解析】当函数 f(x)x24x 没有零点时，1640，即 4，根据正态曲线的对称性，当函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12时，4.14.（四川省宜宾一中 2019 届模拟）已知离散型随机变量 X 的分布列如表所示，若 E(X)0，D(X)1，则 P(X1)_.X 1 0 1 2 P a b c 112【答案】23【解析】E(X)0，D(X)1，abc1121，1a0b1c21120，12a02b12c221121，且a，b，c0,1，解得a512，b14，c14，P(X1)P(X
12、1)P(X0)5121423.15.（山东省临沂一中 2019 届模拟）一个人将编号为 1,2,3,4 的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为，则 的期望值为_.【解析】将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有 A44种不同放法，放对的个数 可取的值有 0,1,2,4.其中，P(0)9A4438，P(1)C142A4413，P(2)C24A4414，P(4)1A44124，所以 E()03811321441241.16.（广东省东莞一中 2019 届模拟）某商场在儿童节举行回馈顾客
13、活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到 3 次为止.设甲每次击中的概率为 p(p0)，射击次数为 Y，若 Y 的数学期望 E(Y)74，则 p 的取值范围是_.【答案】0，12【解析】由已知得 P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2，则 E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p374，解得 p52或 p12，又 p(0，1)，所以 p0，12.17.（山东省泰安一中 2019 届模拟）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月、12 个月、1
14、8 个月、24 个月、36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、300元、300 元、400 元、400 元，从 2018 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：贷款期限 6 个月 12 个月 18 个月 24 个月 36 个月 频数 20 40 20 10 10 以上表中选择的各种贷款期限的频数作为 2019 年自主创业人员选择的各种贷款期限的概率.(1)某大学 2019 年毕业生中共有 3 人准备申报此项贷款，计算其中恰有 2 人选择的贷款期限为 12 个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为 X 元
15、，写出 X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019 年全市有 600 人申报此项贷款，则估计 2019 年该市共要补贴多少万元.【解析】(1)由题意知，每人选择的贷款期限为 12 个月的概率为25，所以 3 人中恰有 2 人选择的贷款期限为 12 个月的概率 PC232523536125.(2)由题意知，享受的补贴为 200 元的概率 p115，享受的补贴为 300 元的概率 p235，享受的补贴为 400元的概率 p315，所以随机变量 X 的分布列为：X 200 300 400 P 15 35 15 所以 E(X)200590054005300(元)，所以 2019 年该市政府共要补贴
16、 w600300180 000(元).故 2019 年该市政府需要补贴 18 万元.18.(石家庄 2019 届模拟)某厂有 4 台大型机器，在一个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%?(2)已知 1 名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给每位工人 1 万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有 2 名工人，求该
17、厂每月获利的均值.【解析】(1)1 台机器是否出现故障可看作 1 次试验，在 1 次试验中，机器出现故障设为事件 A，则事件A 的概率为13.该厂有 4 台机器，就相当于 4 次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X，则 XB4，13，P(X0)C042341681，P(X1)C14132333281，P(X2)C24132232827，P(X3)C3413323881，P(X4)C44134181.X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 827 881 181 设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为 Xn，即 X0，X1，X2
18、，Xn，这 n1 个互斥事件的和事件，则：n 0 1 2 3 4 P(Xn)1681 1627 89 8081 1 8990%8081，该厂至少需要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%.(2)设该厂每月可获利 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为 18,13,8，P(Y18)P(X0)P(X1)P(X2)89，P(Y13)P(X3)881，P(Y8)P(X4)181，Y 的分布列为：Y 18 13 8 P 89 881 181 则 E(Y)18891388181811 40881(万元).故该厂每月获利的均值为1 40881万元.19.（福建省
19、南平一中 2019 届模拟）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪 80 元，每单送餐员抽成 4 元；乙公司，无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元，超出40 单的部分送餐员每单抽成 7 元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 (1)现从记录甲公司的 50 天送
20、餐单数中随机抽取 3 天的送餐单数，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元)，求 X 的分布列和数学期望 E(X)；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【解析】(1)记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M，则 P(MC325C35023196.(2)设乙公司送餐员的送餐单数为 a，当 a38 时，X386228，当 a39 时，X396234，当 a40 时，X406240，当 a41 时，X40617247，当 a
21、42 时，X40627254.所以 X 的所有可能取值为 228,234,240,247,254.故 X 的分布列为：X 228 234 240 247 254 P 110 15 15 25 110 所以 E(X)228110234152401524725254110241.8.依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 380.2390.3400.2410.2420.139.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为 80439.7238.8 元.由得乙公司送餐员的日平均工资为 241.8 元.因为 238.8241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.20.（江西省新余一中 2019 届模拟）计划在某水库建
22、一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X 40X80 80X120 X120 发电机最多 可运行台数 1
23、 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，得 p1P(40X80)10500.2，p2P(80X120)35500.7，p3P(X120)5500.1.由二项分布可知，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 PC04(1p3)4C14(1p3)3p3(0.9)44(0.9)30.10.947 7.(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元).安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率
24、为 1，对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000(万元).安装 2 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200)P(40X 80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下：Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以 E(Y)4 2000.210 0000.88 840(万元).安装 3 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003
25、 400，因此 P(Y3 400)P(40X80)p10.2；当 80X120 时，两台发电机运行，此时 Y5 00028009 200，因此 P(Y9 200)P(80X120)p20.7；当 X120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得 Y 的分布列如下：Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以 E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620(万元).综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.1.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移
26、动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则 p()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B 【解析】由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布，即 XB(10，p)，所以 DX10p(1p)2.4，所以 p0.4 或 0.6.又因为 P(X4)P(X6)，所以 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，所以 p0.5，所以 p0.6.2.(2018浙江卷)设 0p1，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 1p2 12 p2 则当 p 在(0，1)内增大时()A
27、.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小【答案】D【解析】由题可得 E()12p，所以 D()p2p14p12212，所以当 p 在(0，1)内增大时，D()先增大后减小.3.(2017全国卷)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_.【答案】1.96【解析】有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中 p0.02，n100，则 D(X)np(1p)1000.020.981.96.4【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_【答案】53
28、【解析】由题意，该组数据的平均数为67889 1086 ，所以该组数据的方差是22222215(68)(78)(88)(88)(98)(108)63 5.(2016 全国卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器
29、三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2.可知 X 的所有可能取值为 16、17、18、19、20、21、22，P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.
30、20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.04 4 040.当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.