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1、 专题 11.9 离散型随机变量的均值与方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题 知识点一 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn(1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差 称 D(X)ni1(xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差.
2、知识点二 均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数).知识点三 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p).【知识必备】1.若 x1，x2相互独立，则 E(x1x2)E(x1)E(x2).2.均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X).3.超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nMN.考点一 离散型随机变量的均值与方差【典例 1】（江苏淮阴中学 2019 届模拟）为迎接 2022 年北
3、京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开 展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14，16；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过 3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求 的分布列与数学期望 E()，方差 D().【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0，40，80 元，两人都付
4、0 元的概率为 p11416124，两人都付 40 元的概率为 p2122313，两人都付 80 元的概率为 p311412116231416124，则两人所付费用相同的概率为 pp1p2p312413124512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为 0，40，80，120，160，则：P(0)1416124；P(40)1423121614；P(80)141612231416512；P(120)1216142314；P(160)1416124.的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E()01244014805121201416012480
5、.D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003.【方法技巧】(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.【变式 1】（河北石家庄二中 2019 届模拟）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲
6、地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【解析】(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，P(X0)11211311414，P(X1)1211311411213114112113141124，P(X2)11213141211314121311414，P(X3)121314124.所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望 E(X)0141112421431241312.(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)
7、P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.考点二 二项分布的均值与方差【典例 2】（辽宁大连八中 2019 届模拟）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过 w立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求 a，b，c 的值及居民月用水量在 22.5 内的频数；(2)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应将 w 定为多
8、少？(精确到小数点后 2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月用水量不超过 2.5 立方米的人数记为 X，求其分布列及均值.【解析】(1)前四组频数成等差数列，所对应的频率组距也成等差数列，设 a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131，解得 d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25.居民月用水量在 22.5 内的频数为 0.2510025.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于 2.5 的频率为 0.70.8，为使 80%以上居民月用水价格为
9、4 元/立方米，应规定 w2.50.80.70.32.83.(3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知 P(A2.5)0.7，由题意，XB(3，0.7)，P(X0)C030.330.027，P(X1)C130.320.70.189，P(X2)C230.30.720.441，P(X3)C330.730.343，X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 XB(3，0.7)，E(X)np2.1.【方法技巧】二项分布的均值与方差.(1)如果 B(n，p)，则用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机
10、变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(ab).【变式 2】（福建双十中学 2019 届模拟）某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40只统计质量，得到结果如表所示：质量(g)5，15)15，25)25，35)35，45)45，55 数量(只)6 10 12 8 4(1)若购进这批生蚝 500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在5，25)间的生蚝
11、的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望.【解析】(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 140(61010201230840450)28.5(g)，所以购进 500 kg 生蚝，其数量为 500 00028.517 544(只).(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为25，由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，P(X0)35481625，P(X1)C14251353216625，P(X2)C24252352216625，P(X3)C3425335196625，P(X4)25416625，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81625 21662
12、5 216625 96625 16625 E(X)081625216625396625316625485.考点三 均值与方差在决策问题中的应用【典例 3】（山东青岛二中 2019 届模拟）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资
13、公司选择一个合理的项目，并说明理由.【解析】若按“项目一”投资，设获利为 X1万元.则 X1的分布列为 X1 300 150 P 79 29 E(X1)30079(150)29200(万元).若按“项目二”投资，设获利 X2万元，则 X2的分布列为：X2 500 300 0 P 35 13 115 E(X2)50035(300)130115200(万元).D(X1)(300200)279(150200)22935 000，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000.所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，
14、但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.【方法技巧】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【变式 3】（湖北荆州中学 2019 届模拟）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5
15、年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X 40X120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，得 p1P(40X120)5500.1.由二项分布，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过
16、120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p39104491031100.947 7.(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元).安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装 2 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下：Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装 3 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 400，因此 P(Y3 400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得 Y 的分布列如下：Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.